专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东济宁·模拟检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用． （1）根据题意连接并延长至点，利用三角形外角性质即可得出答案． （2）①由可知，根据、的平分线交于点P，得出，，求出，因为，即可求解；     ②由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此． 【详解】（1）解：如图，连接并延长至点， 根据外角的性质，可得，， 又 ∵， ． （2）解：①由（1）可得，， ∵、的平分线交于点P， ∴，， ∴， 又 ∵， ． ②由（1）可得，， ， 又 ∵平分平分， ， ． （2025·广东汕头·模拟检测）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 【答案】（1） （2）， （3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，四边形内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． (1)根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． (2)先由邻补角性质求出，再根据三角形外角性质、角平分线的定义计算即可． (3)利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可． 【详解】（1），， ， ； （2）， ， ， ， ，分别平分外角，， ，， 即， 故答案为：，； （3），分别平分外角，， ，， 即． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的外角性质及三角形内角和定理， （1）连接，并延长，如图①所示：根据三角形外角的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理即可得到结论； （3）连接，如图③所示：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理即可得到结论． 掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接，并延长，如图①所示： ∵是的外角， ∴①， ∵是的外角， ∴②， ①②，得：， 即； （2）解：如图，设交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， 由（1）知：， ∴椅面和椅背的夹角的度数为； （3）连接，如图③所示： ∵，， 由（1）知： ③， ④， ③+④，得：， ∴， 即的度数为． 例2（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）在数学实践课上，珍珍将如图1所示的燕尾风筝抽象成如图2所示的图形，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，得到，推出，再求出的度数即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． 例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 例4（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ；（2）推理过程见解析；（3）；（4）减少，10 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长，交于点G，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，利用得到的度数，可得的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ， 故答案为：三角形的内角和等于； （2）∵， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长交于点F， ∵， ∴， 故答案为：； （4）延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 而图中， ∴应减少． 故答案为：减少，10． 例5（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查了三角形外角性质，熟记三角形外角性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）根据三角形的内角和定理及对顶角相等即可得到结论； （3）结合（2），根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图2，过点C作， ∴， ∵， ∴； （2）解：在图3中，有， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图， ∵， ∴， 由（2）知，， ∴． 例2（24-25八年级下·广东梅州·开学考试）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质即可找到之间的数量关系． （2）连接EF，可以把四个角之和集中在一个中，然后通过，即可求解． 【详解】（1）∵是的外角， ∴， ∴； 故答案为：； （2）连接，如图，    由（1）的结论可得：， ， ∵， ∴ ， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质妙用，作恰当的辅助线，使所求角之和集中在一起是解题的关键． 例3（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    【答案】（1）能完全重合，理由见解析；（2）证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过三边分别相等得出，即可作答． （2）同理得出，得出，，再结合，证明，即可作答． （3）因为以及角的运算得出，再证明，则，因为，得出，即可作答． 【详解】解：（1）能完全重合． 理由：在与中， ， ∴， ∴对折后能完全重合． （2）同理得出， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 例4（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，、、分别为三边上的点，． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，直接写出图中两对相等的角________（已知相等的角除外） (3)如图3，延长到，作和的平分线交于，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形外角和定理，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键 （1）由可得，又由，且可得进而证明垂直关系； （2）根据，再根据三角形的外角和定理即可找到两对相等的角； （3）先设设，，即可表示与，进而可得两角关系，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵，且， ∴， 即， 即； （2）解：∵，且， 又∵，， ∴， 由（1）可得， ∵，， ∴； 故答案为：；； （3）解：设，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 例5（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若与相交于点G，，请写出、所满足的等量关系式； (2)如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）连接，根据四边形内角和得到，再结合邻补角，得到，由角平分线的定义可得，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）延长交于点，由（1）可知，，从而得出，再由三角形外角的性质，得到，则，从而推出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， 在四边形中，，， ， ，， ， ， 、分别平分四边形的外角和， ，， ， ，， ， ， ， ， （2）解：如图2，延长交于点， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了邻补角，四边形的内角和，三角形内角和，三角形的外角的性质，角平分线的意义，平行线的判定等知识，用整体代换的思想是解本题的关键． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级上·全国·期末）如图，将沿翻折交于点D，又将沿翻折，点C落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确掌握翻折的性质是解题的关键． 由翻折得，，设，根据三角形内角和得到，求出，再利用三角形内角和求出的度数即可． 【详解】解：由翻折得，，， 设， ∴， 解得：， ∴． 故选：A． 例2（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在 中， D是上一点，将沿翻折后得到边交于点F．若 中有两个角相等，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∴，， 由折叠可知：， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得（不符合题意）； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或， 故答案为：或． 例3（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 【答案】/度 【分析】本题考查折叠的性质，四边形内角和定理及三角形内角和定理：根据得到，根据折叠得到，，，结合得到，，，结合四边形内角和求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．下列有两个结论 结论I：当为的平分线时，； 结论II：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或，请你对两个结论进行判断并说明理由． 【答案】结论I：正确，见解析；结论II：错误，见解析 【分析】此题主要考查翻折问题，平行线的性质，三角形的内角和定理，分类讨论是解题的关键．根据折叠的性质及角平分线的定义判断结论Ⅰ，分两种情况：当时和，结合折叠的性质分别计算可判定结论Ⅱ求解． 【详解】解：∵为的平分线， ∴， ∵将沿着翻折，得到， ∴， ∴、、三点共线， ∵ ∴故结论Ⅰ正确； 当时，如图，    由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，      由折叠可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故结论Ⅱ错误． 例5（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证： (2)若，（） ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)①；②存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或30 【分析】（1）根据平行线和翻折的性质，推出，进而推出，即，即可得证； （2）①根据三角形的内角和定理，求出的度数，翻折得到，进而求出的度数，根据三角形外角的性质，求出的度数，再根据翻折即可得出结果；②分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）， ． 翻折， ， ， ， 即 （2）①，， ， ，， ． ， ， 由翻折可知，； ②，则， 当时，，解得，， 当，，解得，， 当时，，解得，，， 不合题意，舍去， 综上可知，存在这样的的值，使得中有两个角相等，且或30． 【点睛】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质，三角形的内角和定理，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键． 1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键． 设，，则，，在中，由三角形内角和定理得，再求出，，由角平分线定义得，，进而得，再由角平分线定义得，，继而得，在中，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：设，， ∵，分别平分，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，分别平分，， ∴，， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴； 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合可判定④． 【详解】解：∵，的平分线交于点， ∴，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， 故④正确，符合题意； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 4．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形的外角性质、角平分线的定义以及平行线的性质．利用三角形的外角性质，可得出，由，利用“两直线平行，同位角相等”，可得出，，结合角平分线的定义，可得出，，再利用三角形的外角性质，即可求出的度数． 【详解】是的外角， ． ∵， ，． 平分，平分， ，， ． 又是的外角， ， 即， ． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由折叠可知，，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， 由折叠可知，， ， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识． 根据三角形外角的性质及角平分线的性质逐步计算，即可解答． 【详解】在中，，有 ∵外角和的角平分线交与点， ∴， ∴． ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴． 故答案为：，． 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【答案】/73度 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题，关键是由掌握平行线的性质和折叠的性质． 由平行线的性质以及折叠的性质推出，由折叠的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 【答案】60 【分析】本题主要考查了折叠问题以及平行线的性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 由由折叠的性质和平行线的性质即可解答题目． 【详解】解：，， ，， 由折叠可得，， ， 故答案为：60． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分平分，点为的两外角平分线的交点．对于以下结论：①；②；③；④．则一定正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查的与角平分线相关的三角形内角和定理的应用，四边形的内角和定理，先证明，，可判断②，进一步可判断④，①，再由，，可判断③，从而可得答案． 【详解】解：如图， ∵平分平分，点为的两外角平分线的交点． ∴，，，， ∴， 同理：， ∴，故②符合题意； ∵ ∴， ∴，故①不符合题意，④符合题意； ∵，， ∴，故③符合题意； 故答案为：②③④． 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，P是的两个外角和的平分线的交点，试探究与之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的外角的性质，结合角平分线的定义，得出，再根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵点P是的两个外角的平分线的交点， ，． ， ， ， 即． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的内错角相等是解题的关键．通过分析图形中的平行线和角平分线，利用平行线的内错角相等，以及角平分线将一个角分成两个相等的角的定义，逐步推导出结论． 【详解】证明：是的角平分线， ． ， ． ， ， ． 12．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在中，已知． (1)如图1，的平分线相交于点D． ①当时， 度； ②时， 度； ③猜测与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）． 【答案】(1)；40；，证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键． （1）①由三角形内角和定理、角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求；②求出，即可得到答案；③由三角形内角和定理和角平分线，采用①的推导方法即可求解； （2）由三角形外角性质得，然后结合角平分线的定义求解； （3）由折叠的对称性得，结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）①∵的平分线相交于点D． ∴，， ∴ 故答案为： ②∵ ∴ ∵的平分线相交于点D． ∴，， ∴ ∴ 故答案为：40 ③ 证明：∵，， ∴ ． （2）∵BF和CF分别平分∠ABC和∠ACE ∴，， ∴＝ 即． （3）由轴对称性质知： ， 由（1）③可得， ∴． 13．已知，平分． (1)如图1，平分，若，直接写出_______度； (2)如图2，，若，求． 【答案】(1)55 (2) 【分析】（1）延长交于点Q，则可得到，则，连接并延长到点R，则可得，，可得到和的关系，从而求解； （2）作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：如图1，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 连接并延长到点R，则可得：，， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为：55； （2）解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则． 【点睛】本题考查了平行公理推论、平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，通过作辅助线，构造平行线是解题关键． 14．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． (1)若，则 ； (2)如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． (3)在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，三角形内角和定理及外角性质等知识，熟记平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理及外角性质求解即可； （3）根据平行线的性质分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：分三种情况讨论， ①如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图， ∵， ∴， ∴， ③如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，或或． 15．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，，，，平分，平分，的反向延长线交于点G． (1)若，则_______； (2)请探索与之间满足的数量关系？说明理由； (3)求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角和的性质，需熟练掌握平行线的性质，由平行线的性质求解角度，解决本题的关键是得到这一关系． （1）通过辅助线构造平行线，根据平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”，可求解，再结合，即可得，再由“两直线平行，内错角相等”，可得，，由此可求解的度数； （2）通过辅助线构造平行线，根据平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”，可求解，再由“两直线平行，内错角相等”，可得，，由此可得与的数量关系； （3）延长交于点R，延长交于点Q，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得，再根据平行线的性质和角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：过点E作，过点F作，如图， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点E作，过点F作，如图， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ， 又∵， ∴， 即； （3）解：延长交于点R，延长交于点Q，如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点C作，根据平行线的判定和性质求解即可； （2）过点C作直线，根据平行线的性质，得到，再判定，得到，即可求出的度数； （3）过点F作，根据角平分线的定义，得到，再根据平行线的性质，得到，最后利用，即可求出的度数． 【详解】解：（1）过点C作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）过点C作直线， ， ， ， ， ； （3）过点F作， ， ， ． 18．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据角平分线的性质把用表示出来，再根据三角形内角和定理把用表示出来，然后把代入进行计算即可； （2）①先根据平角定义和已知条件求出，再根据折叠求出，然后根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的性质和三角形内角和定理把用表示出来，最后根据三角形内角和定理求出即可； ②同理①求解即可． 【详解】（1）解：、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①如图所示： ，， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：； ②，，， ， ， 由折叠可知：，， ， ， ， ， 、的角平分线交于点， 、的角平分线交于点， ， ， ， ， 故答案为：． 19．（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】 （1）的度数为，的度数为； 【问题再探】 （2）如图②，过点O作．[可直接使用问题（1）中的结论] ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度β与α之间的关系． 【答案】（2）①；②，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识． （2）①根据两个三角形有两个同角相等，则第三个角也相等即可求解； ②由，根据同位角相等两直线平行即可得； （3）由题意得；过点C作，分点在射线上与点在射线上两种情况考虑即可求解． 【详解】解：（2）①∵在中，， ∴． ②， 理由：∵， ∴， ∴． (3)若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到， ∵平分， ∴； 如图，过点C作； 当点在射线上时， ∵， ∴， ∴； 当点在射线上时， ∵， ∴， ∴． 综上，或． 20．（24-25八年级上·全国·期末）（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：． （）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想． （）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论． 【答案】 （）见解析； （），证明见解析； （） 【分析】（）利用平行线的性质即可得出结论； （）先判断出，进而得出，最后用三角形的内角和即可得出结论； （）先由（）知，，再利用角平分线的定义和三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】 解：（）如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （），证明如下： 由（）知，， ∵， ∴， ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 在中， ， 即； （），证明如下： 由（）知，， ∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，来证明和猜想角度之间的关系．通过作辅助线和利用已知条件，逐步推导出所需的结论． 21．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，中，延长至，延长至，已知、角平分线与角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，______． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）利用角平分线的定义得到，，利用三角形的外角的性质得到，再利用三角形的外角的性质解答即可得出结论； （2）利用（1）的结论得到，利用角平分线的定义和平角的应用求得，再利用直角三角形的性质解答即可； （3）延长交于点，延长交于点，利用三角形的内角和定理，平角的定义和（1）的结论得到，再利用三角形的内角和定理解答即可． 【详解】（1）证明：为的平分线， ， 为的平分线， 为的外角， ， ， 为的外角， ， ， ； （2）解：点是内角平分线与外角的平分线的交点， 由（1）的结论可得：， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）延长交于点，延长交于点，如图所示： ，， ， ， 点是内角平分线与外角的平分线的交点， 由（1）的结论可得：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理及其推论、平角的定义、四边形的性质，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 22．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的倒角模型之燕尾（飞镖）型、风筝模型、翻角模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就燕尾（飞镖）型、风筝（鹰爪）、翻角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.飞镖（燕尾）模型 6 模型2.鹰爪（风筝）模型 10 模型3.翻角模型 14 16 ‌ 燕尾模型（飞镖模型）‌因凹四边形的外轮廓酷似燕尾分叉或飞镖外形，教育工作者将其形象化命名以辅助记忆‌。凹四边形中，从顶点延伸的两条边如同燕尾分叉，而整体轮廓又像投掷的飞镖，这种具象化命名帮助学生快速联想图形特征。部分资料戏称其为“回旋镖模型”，强调角度关系循环往复的特点。‌ ‌鹰爪（‌风筝）模型‌强调图形末端的尖锐角如同鹰爪抓握状，更侧重动态联想。 翻角模型是‌动态几何思想‌与‌静态角度守恒‌的结合，通过操作发现不变量的过程，深化了对三角形刚性结构的理解。‌‌‌ 普及高峰期（‌2023–2025 年），这些倒角模型被纳入多地初中数学复习专题，配套口诀（如“见飞镖，找四角”、“内翻腋下和等上下和，外翻腋下差等折角倍”‌‌）广泛传播，这些模型将严谨的几何法则融入生活化的想象与口诀，让数学推理像解谜游戏一样充满乐趣！ （2025·山东济宁·模拟检测）如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们把这样的图形叫做“规形图”，叫“规角”． (1)观察“规形图”，试探究规角与、、之间的数量关系，并说明理由； (2)请你利用结论，解决下列问题： ①如图②，在中，、的平分线交于点P，若，则_________度． ②如图③，平分，平分，若的度数是_________． （2025·广东汕头·模拟检测）请认真完成下列的数学活动 我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？ 尝试探究 （1）如图①，与分别为的两个外角，试探究与之间的数量关系． 初步运用 （2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形．若，则 ．小明联想到了曾经解决的一个问题：如图③，在中，，分别平分外角，，则与之间的数量关系为 （请利用上面的结论直接写出答案）． 拓展提升 （3）如图④，在四边形中， ，分别平分外角，，设，试说明与的数量关系． 1）飞镖模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 图1 图2 图3 图4 图5 2）鹰爪模型：如图2，结论：∠A+∠O=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠CAO+∠COA； ∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。 3）鹰爪模型（变形）：如图2，结论：∠A+∠O=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA； 同理，∠2=∠DAO+∠DOA； ∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA） =∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。 条件：如图4，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时，结论：2∠C=∠1+∠2； 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。 条件：如图5，将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2∠C=∠2-∠1。 证明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C； 同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C； ∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C） =∠EC’F+∠FCE=2∠C。 图1 图2 飞镖模型拓展1：条件：如图1，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 飞镖模型拓展2：条件：如图2，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD； 结论：∠O=（∠D-∠B）。 证明：根据飞镖模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B， ∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB， ∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B）， ∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO， ∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B） 模型1.飞镖（燕尾）模型 例1（24-25七年级下·甘肃天水·期末）【模型建立】（1）如图①，凹四边形．因为酷似燕尾，所以称之为“燕尾型”求证：； 【模型应用】（2）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； 【模型迁移】（3）如图③，，，求的度数． 例2（24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）在数学实践课上，珍珍将如图1所示的燕尾风筝抽象成如图2所示的图形，已知，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 例3（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 例4（24-25七年级下·吉林长春·期末）【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 【迁移应用】 （3）如图④， ； （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 例5（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 模型2.‌鹰爪（‌风筝）模型 例1（24-25七年级下·河北石家庄·期中）我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． (1)已知：是的一个外角（如图1）．求证：． 证明：如图2，过点作．（请完成后面的证明） (2)如图3，线段相交于点，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”．请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系． (3)如图4，由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，猜想与的数量关系，并说明理由． 例2（24-25八年级下·广东梅州·开学考试）在课本第七章第5节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．已知：是的一个外角（如图1），则．    (1)如图2，线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出之间的数量关系 　 　． (2)如图3，这是由线段组成的一个“风筝”形状，若，运用（1）中得出的数量关系，求的度数． 例3（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）综合与探究 【操作探索】 在生活中，我们常用实物体验图形变换的过程．小颖同学利用一块风筝纸片完成了如下的操作： 如图1，已知四边形，，． （1）操作一：沿所在的直线对折，如图1．你认为左右两侧对折后能完全重合吗？并说明理由； （2）操作二：对折后，将风筝纸片剪成两个三角形（和），摆成如图2所示的图形，与相交于点，与相交于点．试说明． 【应用拓展】 （3）如图3，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，，若的面积为24，求与的面积之和．    例4（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，、、分别为三边上的点，． (1)如图1，当时，求证：． (2)如图2，直接写出图中两对相等的角________（已知相等的角除外） (3)如图3，延长到，作和的平分线交于，若，求的度数． 例5（25-26八年级上·重庆万州·开学考试）如图，四边形，、分别平分四边形的外角和，若，． (1)如图1，若与相交于点G，，请写出、所满足的等量关系式； (2)如图2，若，判断、的位置关系，并说明理由． 模型3.翻角模型 例1（24-25七年级上·全国·期末）如图，将沿翻折交于点D，又将沿翻折，点C落在上的处，其中，，则原三角形中的度数为（  ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在 中， D是上一点，将沿翻折后得到边交于点F．若 中有两个角相等，则 ． 例3（24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 例4（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折，得到．下列有两个结论 结论I：当为的平分线时，； 结论II：当的三边与的三边中有一组边平行时，的度数为或，请你对两个结论进行判断并说明理由． 例5（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在中，，点是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点．    (1)如图1，当时，求证： (2)若，（） ①如图2，当时，求的值． ②是否存在这样的的值，使得中有两个角相等．若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在中，，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，与的平分线交于点，的外角平分线所在的直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论①；②；③；④．正确的有：（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在中，点是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点，若，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期末）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，若，，则为 ． 6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，外角和的角平分线交与点，则 ，、的角平分线交于点，…，依次下去，则 ．（结果用含的式子表示） 7．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 8．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，点，分别在，上，，将沿折叠后，使点落在点处．若，则 ． 9．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，平分平分，点为的两外角平分线的交点．对于以下结论：①；②；③；④．则一定正确的是 ．（填写序号） 10．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，P是的两个外角和的平分线的交点，试探究与之间的数量关系． 11．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，是的角平分线，，交于点E，，交于点F．求证：． 12．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在中，已知． (1)如图1，的平分线相交于点D． ①当时， 度； ②时， 度； ③猜测与的数量关系，并加以证明． (2)如图2，若的平分线与和相邻外角的角平分线交于点F，求的度数（用含的代数式表示）． (3)在（2）的条件下，将以直线为对称轴翻折得到的角平分线与的角平分线交于点M（如图3），用含的代数式表示的度数（直接写出结果）． 13．已知，平分． (1)如图1，平分，若，直接写出_______度； (2)如图2，，若，求． 14．（2024七年级下·广东东莞·竞赛）如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接． (1)若，则 ； (2)如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由． (3)在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角） 15．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 16．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知，，，，平分，平分，的反向延长线交于点G． (1)若，则_______； (2)请探索与之间满足的数量关系？说明理由； (3)求的度数． 17．杨老师在数学课上告诉同学们，过某一个点作辅助线，构造平行线，就可以利用平行线的性质求角度．请根据杨老师提示的方法，解决下列问题： 【探究感知】（1）如图1，．，则的度数为________； 【类比应用】（2）如图2，．求的度数？ 【拓展延伸】（3）如图3，．与的平分线相交于点F，求的度数． 18．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）我们曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题；聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)问题再现： 如图，在中，、的角平分线交于点，若，则 ______． (2)问题推广： ①如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则 ______． ②如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，，则 ______． 19．（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在中，，三个内角平分线交于点O，的外角的角平分线交的延长线于点F． 【问题初探】 （1）的度数为，的度数为； 【问题再探】 （2）如图②，过点O作．[可直接使用问题（1）中的结论] ①求的度数； ②试判断线段和之间的位置关系，并说明理由； 【拓展探究】 （3）若，将绕点C顺时针旋转一定角度后得到，当所在直线与平行时，请直接写出此时旋转角度β与α之间的关系． 20．（24-25八年级上·全国·期末）（）如图，，点在之间，且在的左侧平面区域内一点，连结．求证：． （）如图，在（）的条件下，作出和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，并证明你的猜想． （）如图，在（）的条件下，作出的平分线和的平分线，两线交于点，猜想之间的关系，不用证明，直接写结论． 21．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）【问题探究】（1）如图1，在中，点是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，中，延长至，延长至，已知、角平分线与角平分线及其反向延长线交于，求的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，______． 22．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $