专题03 线段的双（多）中点模型（几何模型讲义）数学浙教版2024七年级上册

专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知点、、、在数轴上的位置如图所示，为的中点，若，点所对应的数为，则点所对应的数是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点A坐标，再求出点C坐标． 【详解】,B为m 则A点坐标为： B点与A点互为相反数，所以B点坐标为： 故选：D 【点睛】本题考查数轴上的点的位置和坐标，找到不同点之间是数量关系是本题关键． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 【答案】（1）；（2）；（3） 或 【分析】本题主要考查图形和数字的变化规律，线段的中点的性质，发现图形和数字得变化规律是解题的关键． （1）仿照阅读材料求解即可； （2）仿照阅读材料求解即可； （3）根据线段中点的性质得出，进而仿照阅读材料求解即可． 【详解】解：（1）设① 将等式①的两边同时乘以2得： ② 将②式减去①式，得：， ∴． 故答案为：． （2）设① 将等式两边同时乘3，得：② 将②式减去①式，得 ∴，即 （3）∵，、是线段和的中点， ∴， 同理可得 …… ∴ 设① ∴② 将①式减去②式，得 ∴ 3．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 【答案】1或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，进行分类讨论是解题关键．先根据线段中点坐标公式求出点B表示的数，再分别表示出运动t秒时两点表示的数，然后分P在Q的左边与P在Q的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】解：∵点C表示的数为6，点A表示的数为， ∴点B表示的数是， 依题意可知，运动t秒时，P表示的数为：，Q表示的数为：， 点P与点Q之间的距离为2个单位长度时，分两种情况： ①P在Q的左边， ， ， 解得； ②P在Q的右边， ， ， 解得， 综上所述：当t为1或秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 故答案为：1或． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点C是上一点，，，若点D、E分别为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查线段的和差和线段中点的定义，解题的关键是根据题意，求出，根据、分别是的中点，则，，根据，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵、分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 例2（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了线段和差，线段的中点等知识，分点在点右侧与点在点左侧两种情况考虑是解题的关键．分点在点右侧与点在点左侧两种情况画出图形求解． 【详解】解：当点在点右侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ； 当点在点左侧时，如图所示． ， ， ． 是中点，是的中点， ， ， ． 综上所述：线段MN的长度为5 cm． 故选：B． 例3（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段和线段的公共部分是线段，且，点E、F分别是、的中点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查线段的和差，涉及线段的中点、一元一次方程的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 设，由线段中点的性质得到，再根据线段的和差得到，转化为解一元一次方程即可． 【详解】解：设， 点E、F分别是、的中点， 解得 ， 故答案为：4． 例4（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查线段中点和线段的和与差，分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点在线段上或点在线段的延长线上，分别利用中点求出，的长度，然后利用线段的和与差求解即可． 【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图， ∵，, ， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴； 当点在线段上时，如图， ∵，,， ∴， ∵、分别是线段的中点与的中点， ∴， ∴， 综上所述，线段的长度是或， 故答案为：或． 例5（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图，点A、B、C、D在数轴上，点A表示的数是，点D 表示的数是9，． (1)线段 ； (2)若点B 以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C 以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，， 求t的值． (3)若线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，M是中点，N为中点，运动t秒后，求线段的长度． 【答案】(1)9 (2)运动秒或秒后， (3) 【分析】本题主要考查数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间距离，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． （1）根据数轴上两点之间距离的计算即可求解； （2）根据题意表示出移动后点B，C表示的数，结合两点之间距离的计算，分类讨论，列方程求解即可； （3）分别表示出移动后点A，B，C，D表示的数，结合两点之间距离，中点的计算列式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，点D 表示的数是9，， ∴， ∴点B表示的数是，点C表示的数是， ∴， 故答案为：； （2）解：点B表示的数是，点C表示的数是，点B 以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C 以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴移动时点B表示的数为，点C表示的数为， 当点B在点C的左侧时，， 解得，； 当点B在点C的右侧时，， 解得，； 综上所述，运动秒或秒后，； （3）解：根据题意，移动后点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ∵M是中点，N为中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， 当点B，C重合时，， 解得，， ∵运动t秒后， ∴点C在点B的右边， ∴． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查线段的中点有关的计算，先根据线段中点定义求得，再分和两种情况，画出图形，分别求解即可． 【详解】解：∵，点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的三等分点， 若，如图，则；    若，如图，则，    综上，的长为或， 故选：D． 例2（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 【答案】(1)7 (2)的长为3或5 (3)当或或时，点或点三等分线段 【分析】本题主要考查线段中点的性质及和差关系，熟练掌握线段中点的性质及和差关系是解题的关键． （1）首先根据得到，，然后由线段中点的概念得到，然后利用线段的和差关系求解即可； （2）根据题意分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论，然后分别根据线段的和差关系求解即可； （3）根据题意分点E为线段靠近点B的三等分点，点为线段靠近点的三等分点和点运动到线段靠近点的三等分点，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：如图， 因为，， 所以，． 因为为中点， 所以． 因为， 所以， 所以； （2）解：①当点在点的左侧时，如图， 因为，， 所以点是的中点， 所以， 所以． 因为， 所以； ②当点在点的右侧时，如图， 因为，， 所以， 所以， 所以． 其他情况不存在，舍去． 综上所述，的长为3或5． （3）解：当点E为线段靠近点B的三等分点时， 此时，， 所以， 所以点D向右运动了秒，即； 当点为线段AB靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即； 当点运动到线段靠近点的三等分点时，， 所以点向右运动了（秒），即． 综上所述，当或或时，点或点三等分线段． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3  （2）或11；（3）①；②存在，，理由见解析 【分析】本题考查了数轴上两点间距离，数轴上线段的中点对应的数的表示，数轴上动点的问题，绝对值得非负性的应用，一元一次方程的应用，熟练利用一元一次方程解决数轴上动点问题是解题关键． （1）利用绝对值，乘方的非负性求出a，b值的大小再利用题中给出的方法求出结果即可； （2）由题意可知，D点可能在A点左侧，也可能在B点右侧，根据列出方程求解即可； （3）①设C点为m，则为，为，根据点C为线段的左三等分点，列式结算即可；②由题意得， ， ，，，，得出，，，根据的值为定值，进行求解即可． 【详解】解：， 且， ，， A、B两点的中点表示的数为， 故答案为：； （2）设点D表示的数为x， ∵ 当点D在点A左边时，， 解得：， 当点D在点B右边时，， 解得：， 点为或11； （3）①设C点为m，则为，为， 点C为线段的左三等分点， ， ∴， 解得， 点C表示的数为； ②存在．理由如下： 由题意得，，，，，， ，，， ， 随着t的变化，上式的值为定值，   解得． 例4（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 例5（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，比较有难度．根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵、是和的中点， ∴，， ∴， ∵，是和的中点， ∴，， ∴， …… 发现规律：， ∴ ∴ 两式相减，得， 故答案为：． 1．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点为线段的中点，点在线段上．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，由可得，进而由中点定义可得，再根据线段的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，先根据题意得出，，再根据线段中点的定义得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∵点E是线段的中点，点F是线段的中点， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，线段，延长到，使．若为的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，掌握两点间的距离求法，将线段进行合理的分段求值是解题的关键．根据，求出的值，进而可求出的值，根据中点的定义求出，由图可知，代入所求即可． 【详解】解：，， ， ， 为的中点， ， ， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）点，，在同一直线上，，，则的长为 ，若点为中点，则的长为 ． 【答案】 或 或 【分析】本题考查线段的和与差，与线段中点有关的计算，分点，点在点的同侧和异侧，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当点，点在点的同侧时，如图： 则：， 当点为中点时，则：， ∴， 当点，点在点的异侧时，如图： 则：， 当点为中点时，则：， ∴； 故答案为：或，或． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，数轴上线段中点的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用两点间的距离公式求得线段的长，然后结合路程速度时间求得点表示的数； （2）先用含有的式子表示点和点表示的数，然后根据、相距4个单位列出方程，再解方程求得的取值； （3）先利用中点公式求得点和点表示的数，再计算的线段长度． 【详解】（1）解：， 点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：， 故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ， 解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， ， 线段的长度为10． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 【答案】①8，②，（1）8或4，（2）12或28 【分析】本题考查了含绝对值的方程的求解，以及利用数轴和图形解决问题，关键是在知识迁移部分，要结合题意进行分类讨论. 问题提出：①②两题，解含绝对值的方程，先判断绝对值里面的式子的符号，如为正，则结果不改变符号，如为负，则需改变符号，从而通过解方程，得到结果； 知识迁移：（1）通过数轴得到各点对应的数值，结合图形，得到相应的线段长，注意需分类讨论； （2）提出一个新的定义——折中点，利用新的定义来解决问题，需根据题意进行分类讨论. 【详解】解：问题提出：， ①当时，， ∴； 故答案为：； ②当时，， ∴， ∴. 故答案为：； 知识迁移：（1）∵线段的长为，设在数轴上对应的数为， ∴点到点的距离表示为：， 又∵点D是的中点， ∴， ∴点D表示的数为， ①若在点左侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴； ②若在点右侧，则， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上对应的点为， ∴， 综上，线段的长为或； （2）如图， ①在上， ∵点为线段的中点，， ∴， ∵点是折线的“折中点”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，在线段上， 同理：，，， ， ， 故答案为：或． 10．（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】（1）根据，得出，利用点对应的数是20，即可得出a，b的值； （2）设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足，表示出，，然后列方程求解即可； （3）设运动的时间为t，则，，表示出，然后根据中点的性质得到，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 11．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了许多重要的规律．若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为20． (1)填空：、两点间的距离是__________，线段的中点表示的数为__________ (2)若点、分别从、两点同时出发，向右运动，速度分别为5个单位长度每秒、3个单位长度每秒，则运动了多少秒时，到原点的距离与到原点的距离相等？ (3)若点、仍然以（2）中的速度分别从、两点同时出发向右运动，同时，动点从原点出发也向右运动，点的速度为2个单位长度每秒，设运动时间为秒，当、、三点中其中一点是另外两点连成的线段的中点时，求的值． 【答案】(1)60； (2)秒或30秒 (3)5或20或80 【分析】本题主要考查了数轴的几何意义，点的平移的性质，数轴上点和数的对应关系等内容，解题的关键是熟练掌握数轴的几何意义． （1）利用给出的两点之间距离公式和线段中点公式进行求解即可； （2）根据给出的两点之间距离公式和平移的性质进行求解即可； （3）根据给出的两点之间距离公式和中点公式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题目要求得， ， 线段的中点表示的数为， 故答案为：60，； （2）解：设运动了秒，点表示的数为，点表示的数为，分两种情况： ①当点在原点左侧时，，解得：； ②当点在原点右侧时，，解得：； 综上，运动了秒或30秒时，到原点的距离与到原点的距离相等； （3）解：根据题意可得，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当点是线段的中点时，，解得：； ②当点是线段的中点时，，解得：； ③当点是线段的中点时，，解得：； 综上所述，满足条件的值为5或20或80． 12．（24-25六年级下·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)14.5或20.5 (3)是定值；17.5 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离及中点的计算，一元一次方程的应用，理解题意，熟练运用数轴上两点之间的距离是解题关键． （1）根据线段的和差求解； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）设运动时间为t，再用t表示M，N表示的数，再利用中点公式求解． 【详解】（1）解：∵B为线段的中点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意得：B点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：， 解得：或； （3）解：设运动时间为t， 由题意得：A点表示的数为：，B点表示对数为：，C点表示的数为：，D点表示的数为：， 则：M点表示的数为：，N点表示的数为：， ∴， ∴线段的长为定值，定值为17.5． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6； (2)①17；②同意，见解析． 【分析】（1）根据题意，图中共有条线段，解答即可； （2）①根据线段的中点，线段的和差表示解答即可； ②分在线段上运动，点在线段上运动，点C在的延长线上时，都在的延长线上，解答即可． 本题考查了线段条数的计算，线段中点的计算，线段的和差计算，熟练掌握计数方法，线段的中点计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段， 故答案为：6． （2）解：① ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． ②当在线段上运动时，根据①得； 当点在线段上运动，点C在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 当都在的延长线上时， ∵M是的中点，N是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴， ∵，， ∴． 综上所述，线段的长度不变． 故同意． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）【初探】如图①，数轴上点A，B分别表示数，4，线段的中点C表示的数是多少？请你完善下面两名同学的解法． 小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是 ； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程 ； 【延伸】如图②，数轴上点A，B分别表示数a，b，用含a，b的式子表示线段的中点C所表示的数． 【应用】如果数轴上点A，B分别表示数，4，点P，Q分别从点A，B两点同时出发，设P，Q运动时间为t． ①当点P，点Q都以每秒2个单位长度的速度分别沿数轴向左，向右运动，2秒后的中点M表示的数为 ，t秒后的中点M表示的数为 ； ②当点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，的中点E表示的数为 （用含t的代数式表示）；当t= 秒时，点E与点B重合． 【答案】初探：1；；延伸：C点表示的数：；应用：①1，1；②；． 【分析】本题考查一元一次方程，数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，线段的中点，线段的长度，掌握知识点是解题的关键． (初探)根据数轴上两点的距离，即可解答； (延伸)设点C表示的数是x，则，推导出，则，即可解答． (应用)①先求出可得到，则点P表示的数为，推导出，即可解答； ②可得到，则点P表示的数为，推导出，即可解答． 【详解】解：(初探)小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程； 故答案为：1；． (延伸)设点C表示的数是x，则， ∵点C是的中点， ∴， ∴， 解得． (应用)①由题意，得 ∴，点P表示的数为， ∵点M是的中点， ∴， ∴点M表示的数是． ∴2秒后的中点M表示的数为1，t秒后的中点M表示的数为1． 故答案为：1，1． ② ∴，点P表示的数为， ∵点E是的中点， ∴， ∴点E表示的数是． 当点E与点B重合时，点E表示的数是4， 即，解得． 故答案为：；． 15．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在单位长度为的数轴上，设A、B、C、D四点在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中，，线段的长度分别为，． (1)请求出线段的长度； (2)若线段分别以每秒的速度同时开始向右匀速运动．设线段的中点分别为M、N点，运动时间为t秒，其中． ①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？ ②在线段的运动过程中，线段的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)①不存在t的值，使点B与点M恰好重合；②线段的长是固定值，线段的长为定值2 【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离、整式的加减运算、一元一次方程的应用、数轴上的动点问题等知识点，弄清各点表示的数成为解题的关键． （1）由，点A在数轴上表示的数是，求出点B在数轴上表示的数是；由，点D在数轴上表示的数是15，求出点C在数轴上表示的数是，即可得线段的长度为； （2）①当运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的为，可得点M对应的数为，根据点B与点M恰好重合，得，解得，而，故不存在t的值，使点B与点M恰好重合；②求出点M对应的数为，点N对应的数为，可得． 【详解】（1）解：∵，点A在数轴上表示的数是， ∴点B在数轴上表示的数是； ∵，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是， ∴； ∴线段的长度为． （2）解：①当运动t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∵点M为中点， ∴点M对应的数为， ∵点B与点M恰好重合时， ∴， ∵， ∴不存在t的值，使点B与点M恰好重合； ②在线段的运动过程中，线段的长是固定值，理由如下： 由①知，点A表示的数为，点C表示的数为，点M对应的数为， 当运动时间为t秒时，点B表示的为，点D表示的数为， ∵点N为中点， ∴点N对应的数为， ∴． ∴在线段的运动过程中，线段的长为定值2． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式，一元一次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 【答案】（1）4；（2）①10，②7或1 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的有关计算，线段的和差，关键是注意分类讨论． （1）根据线段中点进行求解即可； （2）①根据已知先得到，再利用求出最后结果； ②分M点在C点左边、M点在C点右边两种情况讨论． 【详解】解：（1），点是的中点， ． 点是线段的中点， ． （2）①，， ， ， ． ②，， ． 当点在点左边时，，， ． 当点在点右边时，，， ． 综上可得的长为7或1． 20．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 【答案】(1)A表示的数是，B表示的数是2 (2)7或13 (3)当时，原点O为的中点 【分析】本题主要考查数轴上的点与有理数，线段的和与差，线段中点，掌握数轴上的点与有理数的关系，能够表示出线段的和与差并分情况讨论，理解线段中点的含义是解题的关键． （1）根据点C表示的数和B，C之间的距离可求出B表示的数，然后再根据A，B之间的距离即可求出A表示的数； （2）根据M是的中点，求出的长度，然后分N点在C的左侧和右侧两种情况，当N在C左侧时，，当N在C右侧时，，最后利用即可得出答案； （3）原点O为的中点时，，分别用含t的代数式表示出，，然后建立方程，解方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：如图，∵点C表示的数是6，， ∴B表示的数是． ∵， ∴A表示的数是， ∴A表示的数是，B表示的数是2； （2）解：∵，M是的中点． ∵， 因为， 当点N在点C的左侧时，，此时； 当点N在点C的右侧时，，此时； 综上，的长7或13； （3）解：∵A表示的数是， ∴ ∵C表示的数是6， ∴， ∵点P、点Q同时出发，且运动的时间为t秒， ∴，， ∴，， 当原点O为的中点时，， ∴．解得， 故当时，原点O为的中点． 21．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4. (3)或3 (4)不发生变化，． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，两点间距离和数轴，熟练掌握点的移动以及点所表示的数之间的关系是解题的关键． （1）根据题意即可得到答案； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q两点表示的数相等，列方程求解即可； （3）t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，根据题意列方程即可； （4）将点M表示的数为：，点N表示的数为，即可得到答案． 【详解】（1）解：①，线段的中点表示的数为； ②由题意可得点P表示的数为，点Q表示的数为， 故答案为∶①10，；②，； （2）解：t秒后，点P表示的数为，点Q表示的数为， P、Q两点相遇时，， 解得：， 此时相遇点所表示的数为：； （3）解：t秒后，点P表示的数为， 点Q表示的数为，， 又， ， 或， 解得：或； （4）解：不发生变化，理由如下∶ 点M，N分别为，的中点， 点M表示的数为：， 点N表示的数为， ． 点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度不发生变化，． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线段的双（多）中点模型 关于线段的计算，这类题型对于刚上初中的学生来说，是第一个要面对的几何难题。我们在解决这一类问题时，首先要有一个明确的思路，知道解题的方向，其次是如何根据思路列出相关的数量关系，最后就是正确计算问题。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由线段和差确定解题方向，然后辅以线段中点来解决。但是，对于有公共部分的线段双中点模型，可以写出的线段和差种类较多，这就增加了思考的难度。 如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.线段的双中点模型 4 模型2.线段的多中点模型 6 11 双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。 ‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌ ‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌ 1．（2025·河北衡水·模拟预测）已知点、、、在数轴上的位置如图所示，为的中点，若，点所对应的数为，则点所对应的数是(   ) A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·模拟预测）【实例】求值： 解：设① 将等式两边同时乘2，得：② 将②式减去①式，得：， 即 【运用】（1）_______________﹔ 【拓展】（2）计算：； 【迁移】（3）如图，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点、；第三次操作：分别取线段和的中点、；连续这样操作次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和的值为多少 3．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，已知数轴上的点C表示的数为6，点A表示的数为，点B是的中点，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒，另一动点Q，从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点Q之间的距离为2个单位长度． 1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：. 证明：①当点B在线段AC上，如图1， 图1 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM+BN，∴； ②当点B在线段AC的延长线上，如图2， 图2 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BM-BN，∴； ③当点B在线段CA的延长线上 图3 ∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）； ∵MN=BN-BM，∴； 2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：． 证明：∵、是和的中点，∴，， ∴，∵、是和的中点， ∴，，∴， ∵，是和的中点，∴，， ∴，……发现规律：， 模型1.线段的双中点模型 例1（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点C是上一点，，，若点D、E分别为的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知线段，C点是直线上的一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度（   ） A． B． C．或 D．或 例3（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，线段和线段的公共部分是线段，且，点E、F分别是、的中点，若，则的长为 ． 例4（24-25七年级上·山东青岛·期末）已知，点是直线上的一点，使得，、分别是线段的中点与的中点，则线段的长度是 ． 例5（25-26七年级上·重庆·阶段练习）如图，点A、B、C、D在数轴上，点A表示的数是，点D 表示的数是9，． (1)线段 ； (2)若点B 以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C 以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，， 求t的值． (3)若线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，M是中点，N为中点，运动t秒后，求线段的长度． 模型2.线段的多中点模型 例1（24-25六年级下·山东济南·期末）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点（把一条线段平均分成三等分的点），若，则的长为（　　） A． B． C．或 D．或 例2（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知点在线段上，，．点，点在直线上，满足，且点在点的左侧． (1)当为中点时，求的长； (2)点F（异于A，B，C三点）在线段上，，，求的长； (3)若点D从点处出发，以3个单位长度/秒的速度沿线段向右运动，点随之向右运动，设运动时间为秒，求出当点或点三等分线段时的值． 例3（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）【阅读材料】若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），则有①A、B两点的中点表示的数为；②A、B两点间的距离为． 【解决问题】 数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b，且满足， （1）直接写出A、B两点的中点C表示的数为______； （2）若数轴上有一点D，且，则点D在数轴上对应的数为______； 【拓展思考】 若数轴上两点A、B所表示的数分别为a和b（点A在点B的左侧），点C为线段上一点（点C不与A、B重合），当时，称点C为线段的左三等分点；当时，则称点C为线段的右三等分点． （3）①如图，若点C为线段的左三等分点，则点C表示的数为：______；（用含a、b的代数式表示）， ②在【解决问题】（1）的条件下，点F以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时，点M从点A出发以每秒3个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒6个单位的速度向右运动，点P为线段的左三等分，点Q为的中点．设运动时间为t秒，试探究下列结论：随着t的变化，是否存在m，使得的值为定值，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 例4（24-25七年级上·江苏南通·期末）综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 例5（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点、﹔第二次操作：分别取线段和的中点，﹔第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作2024次，则每次的两个中点所形成的所有线段之和 ． 1．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 2．（24-25七年级上·四川绵阳·期末）如图，已知点为线段的中点，点在线段上．若，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·陕西延安·期末）如图，延长线段至C使，延长线段至D使，点E是线段的中点，点F是线段的中点，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期末）如图，线段，延长到，使．若为的中点，则的长是 ． 5．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期末）点，，在同一直线上，，，则的长为 ，若点为中点，则的长为 ． 6．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 7．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 9．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，例如若有，求x的值．在解决此题时，我们可以进行以下思考： ①当时，此时可以解得___________． ②当时，此时可以解得___________． 【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题 （1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为，2，1，点D是线段的中点，若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段的长，求线段的长． （2）如图，有公共端点P的两条线段、组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长为___________． 10．（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 11．（24-25七年级上·贵州遵义·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合研究数轴我们发现了许多重要的规律．若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为20． (1)填空：、两点间的距离是__________，线段的中点表示的数为__________ (2)若点、分别从、两点同时出发，向右运动，速度分别为5个单位长度每秒、3个单位长度每秒，则运动了多少秒时，到原点的距离与到原点的距离相等？ (3)若点、仍然以（2）中的速度分别从、两点同时出发向右运动，同时，动点从原点出发也向右运动，点的速度为2个单位长度每秒，设运动时间为秒，当、、三点中其中一点是另外两点连成的线段的中点时，求的值． 12．（24-25六年级下·上海虹口·期末）线段和在数轴上运动，点A开始时与原点重合，且． (1)若，且点B为线段的中点，求线段的长． (2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为4个单位/秒，线段的速度为2个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值． (3)在（1）的条件下，线段和同时开始向左运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是，请直接写出线段的长；若不是，请说明理由． 13．（24-25六年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上． (1)图中共有 条线段； (2)若，，M是的中点，N是的中点． ①求的长度； ②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 14．（24-25七年级上·吉林·期末）【初探】如图①，数轴上点A，B分别表示数，4，线段的中点C表示的数是多少？请你完善下面两名同学的解法． 小聪：由题得：线段； ∵点C是的中点， ∴． ∴点C表示的数是 ； 小明：设点C表示的数是x，根据可列方程 ； 【延伸】如图②，数轴上点A，B分别表示数a，b，用含a，b的式子表示线段的中点C所表示的数． 【应用】如果数轴上点A，B分别表示数，4，点P，Q分别从点A，B两点同时出发，设P，Q运动时间为t． ①当点P，点Q都以每秒2个单位长度的速度分别沿数轴向左，向右运动，2秒后的中点M表示的数为 ，t秒后的中点M表示的数为 ； ②当点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点Q以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，的中点E表示的数为 （用含t的代数式表示）；当t= 秒时，点E与点B重合． 15．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在单位长度为的数轴上，设A、B、C、D四点在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中，，线段的长度分别为，． (1)请求出线段的长度； (2)若线段分别以每秒的速度同时开始向右匀速运动．设线段的中点分别为M、N点，运动时间为t秒，其中． ①当运动时间t为何值时，点B与点M恰好重合？ ②在线段的运动过程中，线段的长是否为某一固定值？如果是，试求出这个值；如果不是，请说明理由． 16．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 17．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 18．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】 如图，已知线段，点是线段的中点，点是线段的中点． 【问题探究】 （1）如图1，求线段的长； （2）如图2，点是线段上的一点，且满足， ①求线段的长； ②若点是线段上的一点，，求的长． 20．（24-25七年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知A，B，C是数轴上的三点，点C表示的数是6，，． (1)写出数轴上点A，点B表示的数； (2)点M为线段的中点，，求的长； (3)动点P，Q分别从A，C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，求t为何值时，原点O恰好为线段的中点． 21．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点表示的数为－2，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为． 【综合运用】 (1)填空： ①A，B两点间的距离_____，线段的中点表示的数为______； ②用含的代数式表示：后，点表示的数为_____，点表示的数为______． (2)当为何值时，P，Q两点相遇？并写出相遇点所表示的数． (3)当为何值时，？ (4)若为的中点，为的中点，在点运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $