精品解析：上海市某校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

2025高一上交大附中9月月考试题 1. 已知二次函数的最小值是2，最大值是6，则的取值范围______． 2. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，过两点作直线交于点，则的长是______． 3. 菱形的面积为，点是中点，是上动点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为______． 4. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为__________. 5. 如图，点是反比例函数图像上一点，连结，过作的垂线与反比例函数的图像交于点，则______． 6. 已知为方程的两实根，则______． 7. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点B的坐标为，则点的纵坐标为________． 8. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①②④ 9. （1）记集合，集合或，证明：； （2）证明：形如且，不能表示成两个自然数的平方和. 10. 已知；，非空集合. （1）求实数的取值范围： （2）若是的充分条件，求实数的取值范围； （3）若是的必要条件，求实数的取值范围 11. 函数的图像与轴交于，与轴交于点 （1）求的值： （2）已知是函数图像对称轴上的一点，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的坐标： （3）已知是函数上一点，若是直角三角形，求出所有满足条件的点的坐标． 12. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． （1）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （2）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （3）对于求其所有子集的“交替积”的总和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025高一上交大附中9月月考试题 1. 已知二次函数的最小值是2，最大值是6，则的取值范围______． 【答案】 【解析】 【分析】由解析式配方可得，由条件可得，且时，，由此可求的范围. 【详解】函数解析式可化为， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值，最小值为， 因为当时，函数的最小值是2，最大值是6， 且时，， 所以，且时，， 即，且， 所以. 所以的取值范围为. 故答案为：. 2. 如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，过两点作直线交于点，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据圆的性质得到垂直平分，得到，在中，利用勾股定理，即可求解. 【详解】连结， 由题意可知垂直平分，则， 设，则， 所以中，， 即，得， 所以. 故答案为： 3. 菱形的面积为，点是中点，是上动点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，由条件证明，结合面积公式可得面积相等，结合条件求的面积，由此可得结论. 【详解】延长交于点，连接， 由已知， 所以，， 因为点是中点， 所以， 所以， 所以， 所以； 因为点是中点， 所以， 又菱形的面积为， 所以， 所以，又的面积为， 所以的面积. 故答案为：. 4. 若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为__________. 【答案】且 【解析】 【分析】分析可知，解方程得出，根据题意可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】对于方程，有，可得， 由可得， 因为关于的分式方程的解为负数， 则，解得且. 故答案为：且. 5. 如图，点是反比例函数图像上一点，连结，过作的垂线与反比例函数的图像交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设，由两点分别作轴的垂线，垂足分别为，由，得，由，可得答案. 【详解】设， 由两点分别做轴的垂线，垂足分别为， 且， 因为，所以， 所以， 所以，可得，即，所以， 所以. 故答案为：. 6. 已知为方程的两实根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得，接着得，进而得，将其代入即可得解. 【详解】由题得， 所以，所以， 所以. 故答案为： 7. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去……若点B的坐标为，则点的纵坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点B的坐标，求出直角三角形的三边长，结合旋转性质可得的长度，结合直线方程可得点的纵坐标. 【详解】因为轴，点B的坐标为，所以,则点的纵坐标为3， 代入可得，即，所以; 由旋转的性质可得, , 所以，； 设，则，解得或（舍）， ，即点的纵坐标为. 故答案为： 8. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．则称为一个“封闭集”，以下叙述： ①若为一个“封闭集”，则； ②若为一个“封闭集”且，则； ③若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或； ④若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或． 正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由封闭集的定义，逐项判断即可，同时③用举例，④用反证法即可. 【详解】对于①，因为为一个“封闭集”，由定义可知则，那么,正确； 对于②，因为为一个“封闭集，，所以，所以，正确； 对于③，,，都是封闭集，显然或不成立，错误 对于④，充分性：都是“封闭集”，若或，易知是“封闭集”， 必要性：若是“封闭集”，令, 假设且． 则存在,,同时, 因为是“封闭集”， 所以,，分两类情况讨论 若,又则所以，这与假设矛盾； 若,又则所以，这与假设矛盾； 故假设不成立，原结论是“封闭集”则或．必要性成立，故正确； 故选：D 9. （1）记集合，集合或，证明：； （2）证明：形如且，不能表示成两个自然数的平方和. 【答案】 （1）因为，则有： 若，则； 若，则； 综上所述：对任意，均与， 所以； （2）对于且，显然是奇数， 假设能表示成两个自然数的平方和，即， 可知的奇偶性相反，不妨设为偶数，为奇数， 由（1）可知：， 即，可得， 因为， 则，即， 可知为4的倍数， 对于可知： 若，则不为4的倍数； 若，则为4的倍数； 所以不为4的倍数， 两者相矛盾，假设不成立，所以不能表示成两个自然数的平方和. 【解析】 【分析】（1）根据题意讨论的奇偶性，结合子集的定义分析证明即可； （2）假设成立，设且的奇偶性相反，由（1）可得为4的倍数，分析是否为4的倍数即可证明假设不成立. 【详解】略 10. 已知；，非空集合. （1）求实数的取值范围： （2）若是的充分条件，求实数的取值范围； （3）若是的必要条件，求实数的取值范围 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合结合一元二次方程根的判别式即可求解. （2）由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. （3）先由题意得，从而得，求解该不等式组即可得解. 【小问1详解】 因为集合，所以. 【小问2详解】 因为是的充分条件，所以， 所以，所以. 【小问3详解】 因为是的必要条件，所以， 所以，所以. 11. 函数的图像与轴交于，与轴交于点 （1）求的值： （2）已知是函数图像对称轴上的一点，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的坐标： （3）已知是函数上一点，若是直角三角形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）或或. （3）或 【解析】 【分析】（1）在中，分别令，得； （2）设，分，，三种情况讨论求得M坐标； （3）设，分，，三种情况讨论求得点的坐标． 【小问1详解】 在中，令得或，故； 令得，故； 所以. 【小问2详解】 设对称轴与x轴交于点Q，设，作轴于N，连接， 则， ， ， 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①若，则，解得，故； ②若，则，解得，故； ③若，则，解得，故； 故若为等腰三角形，则或或. 【小问3详解】 设，有三种情况： ①当时，如下图： 过F作轴，垂足为D，则 ， 解得:(不合题意，舍去）； ， ②当时，如下图， 过F作轴，垂足为E，则， ，， ，，， ，解得:(不合题意，舍去)， ; ③当时：则F在以为直径的圆上，如下图，过B作交抛物线于G， 所以点F在上方，由②得， ， ， 由此可得:对称轴右侧，上方抛物线上的点一定在圆外， 点F在圆上，F不在抛物线上. 综上所述:点F的坐标分别是或. 【点睛】关键点点睛：遇到三角形为等腰三角形或直角三角形时要讨论哪两边相等或哪个角为直角. 12. 对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是2；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是2． （1）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （2）对于，求其所有子集的“交替和”的总和； （3）对于求其所有子集的“交替积”的总和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将集合的子集分为有9的子集，和去掉9之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （2）将集合的子集分为有的子集，和去掉之后的子集，再根据“交替和”的定义，即可求解； （3）首先求出集合的元素，再对集合分组，有的子集和去掉的子集为一组，求每一组“交替积”的和，即可求解. 【小问1详解】 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉9的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为9，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为 【小问2详解】 集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为； 【小问3详解】 集合， 其中除去外还有个非空子集， 把这把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积， 组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为0，共有组，所以，所有“交替积”之和应该为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，前2问是将集合分为有最大元素的集合，和去掉最大元素的集合，这样找到规律，最后一问，是将集合分为有元素的集合和去掉元素的集合为一组，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $