广东省江门市恩平黄冈实验中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2026一2027学年第一学期高二年级第一次月考数学试卷 2026年10月 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中，设AB=ā，AD=b,AA=c,E是A'C'的中点，则AE=(), D' E B A D B 第3题图 2a+6+c B.1 C.a+ib+c 2 2 D.a+b+c 2.已知一组样本数据：8,9,7,9,6，该组数据的众数是() A.6 B.7 C.8 D.9 3.已知A,B为两个随机事件，P(A)=0.2,P(B)=0.5,则下列结论错误的是() A.若A≤B,则P(AB)=0.5 B.若A,B独立，则P(AB)=0.4 C.若A,B独立，则P(A+B)=0.6 D.若A,B互斥，则P(A+B)=0.7 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n(n-40),则下列判断正确的是() A.ag>0,a21<0B.a20>0,421<0 C.ag<0,a21>0 D. ag<0,a20>0 5,已知曲线y=x-x在点0,0)处的切线为L,曲线y=sinx+acosx在点 处的切线为2，若（⊥12， 则实数a的值为() A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.在四面体OABC中，点M满足OM=3MA,N在BC上，若MN=xAB+yOC,则x-y=() A.0 B. 3 1 c.分 n.} 7.已知方程x3-3x2-a=0有三个不同且成等差数列的实数解，则a=() A.0 B.-2 C.-3 D.-4 8.已知函数f(x)是定义在R上的单调递增函数，且恒有ff(x)-e-2x=e+9,其导函数为f'(x), 其中：是自然对数的底数，当xc[3]时，不等式/()大(a+号引a+ha>0)恒废立，则实数a的取 值范围是( A.(e,+o) B. (g.o c.(2v6,+∞ D.(1,+o) 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9.某学校有学生5000人，其中男生3000人，女生2000人，希望获得全体学生的身高信息，按照比例分 配的分层抽样原则抽取了容量为500的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm,方差为17cm2；女 生身高样本均值为160cm,方差为30cm2.下列说法中正确的是() A.女生样本容量为2000 B.每个男生被抽入到样本的概率均为 C.所有样本的均值为166cm D.所有样本的方差为46.2cm2 10.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3 和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件A=“两个球颜色不同”，B=“两个球标号的和为奇 数”，C=“两个球标号都不小于2”，则() A.A与B互斥 B.A与C相互独立 c.P月 D.P(BC)=P(B)P(C) 11.已知函数f(x)=ad+logb(x+1)(a>b>0,且a≠1，b≠1)的最小值为1，则下列式子一定正确的 是() C.Ina=-inb 1 A.a<1 B.b<1 D.a=e5 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设空间向量=(1，-1，-3)，b=（,0,-1),若（ā-b1ā，则t的值为 13.某校有8名学生参加物理知识竞赛，其成绩如下：65,71,78,82,85,88,90,93，假设这8名学 生成绩的第60百分位数是N若在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为， 14.设正实数d满足：存在数列{an},使得对于任意neN,均有a+a2+…+am=2m-1,且{an}中有某 连续9项ak,ak,…,ak是公差为d的等差数列，则d的最小值为 2 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮 眼的瑰宝.基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛.学校在竞赛后，随机抽查了100人 的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图， 频率/组距 0.035 0.025 0.015 a 0.005 O 405060708090100分数 (1)求a的值并估计样本的平均数： (2)若本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）： (3)现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从[80,90)和[90,100]两组中抽取6人，再从这6人中随机抽 取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在[90,100]这一组的概率。 16.正方体ABCD-AB,CD,E,F,G分别为AB,AA,AD的中点. D G (1)在线段B,D,上存在一点O,使BOW面EFG,试确定点O的位置： (2)求平面EFG与平面A,ADD夹角的余弦值. 17.已知等差数列{an}前n项和为Sn,且S,=-27,S。=-40. (1)求数列{an}的通项公式an: (2)设bn=an+2”,记数列{bn}的前n项和为Bn,求Bn: (3)设数列 的前n项和为Tn,求Tn. 3 8。教材中介绍牛顿用“切线法求方程的近似解时，给出一个数列国，满定x一©N一 这个数列被称为函数f(x)的“牛顿数列已知数列{，}为函数f(x)=x2-x的牛顿数列，x= e-x>1, 且数列{a}满足a,=n, x-1 (1)求a1和a2: (2)证明数列{an}是等比数列，并求an: (3)若不等式[2+元(-)]a1≥3n-1对任意n∈N恒成立，求实数元的取值范围. 19.已知函数f(x)=2ax3-3a2-6e*(x-2). (1)当a=0时，证明：f(x)≤6e. (2)已知f(x)有三个极值点，记为x,x2,x. (i)求a的取值范围； (i)证明：（x+x2+x-3)(xx2-1)<0. 4高二年级10月份供题训练数学参考答案及解释 题号 2 3 7 8 9 10 答案 B D A C C B CD BCD 题号 11 答案 BC 1.B 【详解】在平行六面体ABCD-'B'C'D'中，根据向量加法的三角形法则，可得：AE=AA+AE 因为点E是AC的中点，所以AE=AC 在平行四边形AB'CD中，由向量加法的平行四边形法则可知：AC=A'B+AD 又因为在平行六面体中，AB=AB=ā，AD=AD=b,所以A'C=ā+b. 从而-a+列+5 2 又因为a6所以在=8+a+0=a+号6+8 2 2.D 【分析】根据众数的定义求解 【详解】给出的样本数据中9出现了2次，出现次数最多，故众数为9， 3.A 【分析】分别根据相互独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率公式，包含事件的概率的定义及公式 计算可得。 【详解】对于A:因为A≤B,所以P(AB)=P()=02,故A错误： 对于B:因为A,B独立，所以A与B也相互独立， 所以P(AB)=P()P(B)=(1-P(4)P(B)=1-0.2)×0.5=0.4,故B正确： 对于C:若A,B独立，根据并事件的概率公式得P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.2+0.5-P(4)P(B)=0.7-0.2×0.5=0.6,故C正确： 对于D:A,B互斥，由概率的加法公式可得P(A+B)=P(A)+P(B)=0.2+0.5=0.7,故D正确. 4.c 【详解】Sn=n(n-40)=n2-40n 当n≥2，an=S。-Sn1=(n2-40n）-(n-12-40(n-1)]=2n-41 n=1时，a=S1=-39,也满足an=2n-41,所以an=2n-41。 答案第1页（共12页） 令an=0,2n-41=0→n=20.5 n<20.5时，an<0,故ag<0,a20<0, n>20.5时，an>0,故a21>0, 因此ag(0,a210. 5.A 【分析】分别计算两条曲线在对应点处的切线斜率，结合两直线垂直斜率乘积为-1，列方程求解a. 【详解】对函数y=。x-x求导，得y=-1, 将x=0代入导函数，得l的斜率k=y儿x0=02-1=-1, 对函数y=sinx+acosx求导，得y=cosx-asinx, 将x-代入导酒数，得马的斜率与=y儿cos子-asin受=0， 2 2 由l⊥2，得两直线斜率满足k·k2=-1,代入斜率得(-1)×(-a)=-1,解得a=-1. 6.C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将MN分别用基底OA,OB,OC表示，通过对应系数相 等建立方程组求解x,y的值即可. 详解】由题意，在四面体OABC中，OM-3MM,所以OM=0M 因为点N在BC上，设ON=(1-2)OB+0C,其中元∈R,则Mm=ON-OM=1-)OB+0C-3OA, 4 又因为MN=xAB+yOC=xOB-OA+yOC=-xOA+xOB+yOC, -x=-3 3 由于OA,OB,OC不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等，可得 x=1-:解得x= (y=λ 1 之1x=1-3=,所以y=4， 311 则x-y=442故C正确 7.B 【分析】已知三次方程三根成等差数列，设三个解为m-d,m,m+d(d≠0)，展开多项式，对比方程各项系 数求出m,d,再算出参数a,最后验证根满足条件. 【详解】依题意，设三个解为m-d,m,m+d(d≠O), 故原方程可化为：[x-(m-d)](x-m)[x-(m+d]=x3-3xr2+3m2-d)x+(md2-m）=0 答案第2页（共12页） 原方程为x3-3x2+0x-a=0, 由二次项系数得-3m=-3→m=1, 由一次项系数得3m2-d2=0→3-d2=0→d2=3, 由常数项得md-m3=-a,所以a=-2, 当a=-2,方程为x3-3x2+2=0, 三个解为x=1-V5,=1,x=1+V5，显然三个实数互不相等，成等差数列，完全满足题目的条件. 8.B 【分析】由单调函数性质设内层为常数求出f(x),变形不等式构造单调函数g()脱去外层，转化为a>。 在区间上恒成立，求h=e的最大值得到a的取值范围 X 【详解】因为f(x)是R上的单调递增函数，且ff(x)-e*-2x)=e3+9为常数， 因此f(x)-e-2x必为常数， 设f(x)-e-2x=C(C为常数)，则f(x)=e+2x+C, 所以f(C)=e+2C+C=e+3C,结合f(C)=e3+9, 得方程eC+3C=e3+9,得C=3, 又函数y=e*+3x单调递增，故C=3是唯一解，因此f(x)=e+2x+3, 所以r-e+2.当[] 不等式/<a+到aa+nsa>0)恒成立， 得e+2气a+到a+hx[}o0恒成立 即e+2xr+2n(w).xez3.a0恒度.立 构造函数g(t)=e'+2t,则g(x)=xe+2x, 可得g(ln(ax》=ln(axe+2n(ax)=a-ln(ax)+2ln(ax)=(axe+2)ln(ar, 所以gkaa(m儿.[3a≥0恒废立 而g'()=e'+e'+2=e'(t+1)+2, 设m(t)=g(t),m(t)=e'(t+2),令m(t)=0得t=-2, 答案第3页（共12页） 当1e(-o,-2),m'(t)<0,m()单调递减， 当t∈(-2，+oo),m'(t)>0,m(t)单调递增， 所以8()最小值为g(-2)=e2(-1)+2=2- e2>0, 因此g'(t)>0恒成立，g(t)在R上单调递增， 由g()<g(n(ar》,可得x<ln(a),分离变形得a>e 令到-可得()-任- 当x[别小时，(<0，A(竿河道减。 当x∈(1,3]时，h(x)>0,h(x)单调递增， 所以实数a的取值范围是 9.CD 【分析】分层抽样等比例性质求男女生样本容量，再由古典概型的概率求每个男生被抽入到样本的概率判 断A、B;利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D. 【详解】由题可知：男生身高样本均值x=170cm,方差S=17cm2; 女生身高样本均值x2=160cm,方差S=30cm2, A:由500×2000 5000 200人，故A错误； B:由500×3000 5000 300人，故每个男生被抽入到样本的概率为300=， 3010故B错误， C:所有样本的均值为无=170×300+160x200=16cm,故C正确： 500 D:所有样本的方差 -引+(-门+引+(6-]-07+170-16]+引30+160-16]462m故DE确 10.BCD 【分析】先列出不放回摸2个球的所有等可能基本事件，计算各事件对应的概率，再结合互斥事件、相互 独立事件的定义逐一判断选项， 答案第4页（共12页） 【详解】样本空间2={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个等可能基本事件： A=0,3.0,4.(2,3.2,4},P0=6 42 B={1,2),1,4),(2,3),(3,4)},P(B)= 42 63 C={2,3)2,4.6,4},PC=62 31 选项A:互斥事件要求交集为空，AB={(1,4),(2,3)}≠⑦，A、B可同时发生，不互斥，A错误： 选项B:AC232.4W,P4O名{PM0POx'1 3×23,满足独立事件判定条件，B正确： 选项C:4B=0,.2,3》,P4B名}C正确 选项D:BC=《236,B0=名行风到P0-号对有等式成立，D正确 11.BC 【分析】对于A:当a<1,则0<b<a<1,所以f(x)在(-1，+o)上单调递减，不存在最小值：对于B.若 b>1,则a>b>1,所以f(x)在(-1，+o)上单调递增，不存在最小值；对于C.结合AB及函数的最小值 可知x=0是极小值点，从而可判其正误；对于D.举反例，取b=a=,则f0<l,矛盾 【详解】A.当a<1,则0<b<a<1,所以f(x)=a+log(x+l)在(-1，+oo)上单调递减，不存在最小值，矛 盾，A错误： B.若b>1,则a>b>1,所以f(x)=a+log（x+1)在(-1，+o)上单调递增，不存在最小值，矛盾，所以b<1, B正确： C.由AB可得a>l,0<b<1,故lna>0,nb<0, 1 而f'(x)=alna+ (x+1)nb' 1 因为)y=aha为(-l,+o)上的增函数，y=+hb为(-，+w)上的增函数， 故f'(x)为(-1，+o)上的增函数， 当x-1时，f'(x)→-o0,当x→+o时，f'(x)→+o, 故f'(x)在(-1，+o)存在唯一的零点x, 且x∈(-l,xo)时，f'(x)<0,x∈(x,+oo)时，f'(x)>0, 故f(x)在(-l,)上为减函数，在(o,too)为增函数，故f(x)n=f(), 若x。<0,则f(x)<f(0)=1,与题设矛盾： 答案第5页（共12页） 若x。>0,则f(x)<f(0)=1,与题设矛盾 故x。=0,故lna+ 1=0,故正确： In Da=e,取=2a=,则f0=6+lb!2=G-1k1,矛后，D错误 12.8 【分析】由向量的坐标运算求得ā-b,然后通过向量垂直数量积为零建立方程，解得的值. 【详解】à=(1，-1，-3)，b=(t,0,-1) 所以ā-b=(1-1,-1,-2) (a-b)1a, ∴(a-b)a=0,即1-t+1+6=0,t=8. 故答案为：8 这à 【分析】首先根据题意得到N,再利用古典概型公式求解即可. 【详解】因为8×0.6=4.8，所以这8人成绩的第60百分位数是从小到大排列的第5个数，即N=85, 若在这8人中随机选取两人，共有28种情况，分别是 (65,71),(65,78),(65,82),(65,85),(65,88),(65,90),(65,93),(71,78),(71,82),(71,85),(71,88),(71,90),(71,93), (78,82),(78,85),(78,88),(78,90),(78,93),(82,85),(82,88),(82,90),(82,93),(85,88),(85,90),(85,93) (88,90),(88,93),(90,93), 其中两人的成绩都低于N=85的情况有6种， 分别为(65,71)，(65,78)，(65,82)，(71,78)，(71,82)，(78,82)， 所以在这8人中随机选取两人，则这两人的成绩都低于N的概率为 63 8-14 故答案为：14 14合 【分析】根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续9项的起点项，来进行分类讨论 列出方程组求解 【详解】由题知，令Sn为数列{an}的前n项和，记cn=am-2+am1+an, 当n=1时，G=S,=3,当n≥2时，c=Sn-a)=(21--(2”-l=2”, 答案第6页（共12页） 3,n=1 则cn= 2,n≥2，neN,令a2,4m1,an连续三项作为一个组块 设这连续9项为ak=x+id(i=0,1,8),若这9项正好为连续的三个组块， 3x+3d=c=21 则3x+12d=C42=22,1∈N,可得2=22，矛盾，无解： 3x+21d=C43=23 若这9项中只有两个完整的组块，当这9项下标为31+2,31+3，，31+10， 则 (x+2d)+(x+3d）+(+4d)=2,相减可得9=c-c2=243-22=22, 1(x+5d)+(x+6d+(x+7d)=c43 当这9项下标为3+33x+4…+I1,则+dt+2t+3d-c:， (x+4d)+(x+5d)+(x+6d)=c43 两式相减得91=c-62=2-22=22,所以d=2 g,lEN, 所以当1=0时，1最小，且为2_4 15.(1)a=0.010,68.5 (2)78.6 g 【分析】(1)利用所有矩形面积（频率）之和为1，列方程求出a:每组用区间中点代表本组数据，用“中 点×本组频率”再求和，得到样本平均数 (2)从低分段向上累加频率，得到分数线落在[70,80)这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到 0.1. (3)两组分别抽取4人和2人：给6个人编号，列举法求出概率. 【详解】(1)因为小长方形面积和为1， 所以10×(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)=1,解得a=0.010, 则平均数为0.010×10×45+0.015×10×55+0.025×10×65+0.035×10×75+0.010×10×85 +0.005×10×95=68.5: (2)由题意可得：本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员， 即求第80百分位数， 又10×(0.010+0.015+0.025)=0.5<0.8， 10×(0.010+0.015+0.025+0.035)=0.85>0.8, 答案第7页（共12页） 则分数线在[70,80)内，且设分数线为x, 可得0.5+0.035×(x-70)=0.8, 解得x≈78.6，即获奖分数线为78.6. (3)由题意得两组的频率之比为2：1，现从两组中用分层抽样的方法抽取6人， 则从[80,90)中抽取4人，记为a,b,c,d, 从[90,100]中抽取2人，记为A,B, 所有可能的情况为(a,b),(a,c),（a,d),(a,A),（a,B),(b,c,(b,d), (bA,(b,B),(c,d),(c,A,(c,B),（d,A),(d,B),（A,B),共15种， 其中至少有1人的分数在90,100]的情况有(a,A),（a,B),(b,A),(b,B), (c,A),（c,B),(d,A),(d,B),（A,B),共9种， 政所求楼率P名一-号 16.(1)0为线段B,D,的中点 2) 3 【分析】(1)根据题意，在正方体中构造正六边形，即可证明四边形BMNO为平行四边形，再由线面平行 的判定定理即可得到结果： (2)根据题意，由面面角的定义即可得到∠ELA为平面EFG与平面AADD夹角，代入计算，即可得到结 果 【详解】(1) D G B 取BC,CC,CD的中点分别为H,I,J,连接EH,HⅢ，J,JG, 连接GH,EJ,FI,而GH,EJ,FI都经过正方体中心，两两相交，所以多边形EFGH为平面六边形，且边 长相等，故EFGH为平面正六边形. 取EH,GJ的中点，记为M,N,取B,D的中点为O,连接BO,MN. 答案第8页（共12页） :BM∥ON,BM=ON,∴.四边形BMNO为平行四边形，故BO∥MN, ,MNc面EFG,BO丈面EFG,∴.BO∥面EFG,故线段B,D的中点O满足题意. (2) B 延长DA,GF相交于K,过A作AL⊥GK,交GK于L,连接EL, :EA⊥面A,ADD,AL⊥GK,∴.∠ELA为平面EFG与平面A,ADD夹角， 设正方体边长为2，则EM=1,AL=5,am∠ELA=E4-N2, AL 故Cos∠ELA三5，÷.平面EFG与平面4ADD,夹角的余弦值为V3 3 17.(1)an=7-2n (2)Bn=-n2+6n+2m+-2 6)T.-55-2m n 【详解】(1)设{an}公差为d,由S,=-27,S。=-40得， g+127 a1=5 ,解得 +10x9d=-40 1d=-2' 10a+2 ∴.an=5-2n-1)=7-2n: (2)由bn=an+2"得bn=7-2n+2”, a=8+202）-nx5+-k-2+2-2-n46m+2-2: 1-2 2 (3)1=1 1(11） a,a1(7-2m)5-2m)25-2n7-2n x-00(日…52m72]2n5”2m 18.(1)4=1,42=2 (2) 答案第9页（共12页） 由1)知出2则4三2x。-1号 2xn-1 所以a1=ln,=n。 x-1气x-1 =2咖-2a>0, 故=2（非零常数），且4=1≠0，所以数列{a}是以1为首项，2为公比的等比数列， a 故an=1×2m-1=2- 【分析】（1)根据题设定义得x2元。一，再结合条件，即可求解： (2)根据条件可得1 进而可得a1=2an,再由等比数列的定义，即可求解： x-1 (3)由(2可得2（八≥22恒废立，令6=-2，再分a为奇数和得数，求出6，的最大位， 2 即可求解， 【详解】(1)因为f(x)=x2-x,'(x)=2x-1, f(x）-x-x-x=号 所以x=,f(x =x-2x-12x-1 e2 5。>1,则名2x2g,e1e e e2 又a=h前以a=h点-h产=he=l,4=b点hg-he-2 -1 e-1 e2 e-1 (2)略 (3)由(2)知an=2"，则a1=2”,由[2+元()]a≥3n-1,得到[2+元(-)]2”≥3n-1, [2+(r]小2，包即2(-少≥2-2， 2" -2.则012- 当n≥2时，6-b.<0,所以n之2时.数列6，}单调递减，且么=-，=- 46=-6-2引 又不等式[2+元-(-)]a1≥3n-1对任意neN恒成立， 答案第10页（共12页） 所以当n为奇数时，-2≥31-2恒成立，所以-2之-1，得到2≤1， 2" 当n为偶数时，元≥31-2恒成立，所以元≥-3 2 综上所述，实数入的取值范围为 19.(1)证明：当a=0时，f(x)=-6e(x-2),则f'(x)=6(x-1)e. 令f'(x)<0,得x>1,f(x)在(1，+o)上单调递减，令f'(x)>0,得x<1,f(x)在(-o,1)上单调递增， 所以f(x)≤f(I)=6e,即f(x)≤6e. (2)(i)（e,+∞) (i)由f'(x)=6ar2-6ar-6e*(x-1)=6(x-1)(ar-e）=0,得x=1或m=e, 因为f(x)有三个极值点，所以f'(x)有三个异号零点， 所以关于x的方程ax=e有两个不等于1的解. 易=0不是方程瓜=e的群，设g(创-则g()=,少e x2 令g(x)<0,得x<0或0<x<1,g(x)在(-oo,0),(0,1)上单调递减，令g(x)>0,得x>1,g(x)在(1，+o) 上单调递增. 当x>0时，g(x)m=g()=e,若x→0，则g(x)→+o0,若x→+0，则g(x)→+o. 当x<0时，8(x)<0,若x→-0，则g(x)→0，若x→0，则g(x)→0. 所以a>e,即a的取值范围是(e,oo). (i)证明：不妨设x<x2<为· 由(i)知，当a>时，f(x)有三个极值点，且1为其中一个极值点，则0<x<x2=1<, 且a此=e,ax=e,等式两边取对数并整理得，x-nx=lna,x一lhx=lna. 设h(x)=x-lnr,则h(x)=h(x)=lna, 则)=1=，则h()在(0,1)上单调递减，在(L,+∞)上单调递增， 先证x+x3>2,即证x>2-x,因为2-x>1,且h(x)在(1，+0)上单调递增，所以只需证h(x)>h(2-x), 即证h(x)>h(2-x). 令F(x)=h(x)-h(2-x),0<x<1, 答案第11页（共12页) 则r=+N2--1+=26-<0, x'2-xx(2-x) 则F(x)在(0，)上单调递减，所以F(x)>F()=0,则h(x)>h(2-x),则x+x>2,则x+x2+x-3>0. 再运<1，商迷<名因为0分1，且4()在@)上年调运减，所以兴需运a()>个 即证 令G)=-h日x1,则G)=+日+'-(>0.则c()在+)止 单调递增，所以c()>G0=0,则(>A日 则xx<1,所以xxx<1. 故(x+x2+本-3)(xx,-)<0 答案第12页（共12页)