精品解析：陕西省西安市西安高新第三中学2025-2026学年九年级上学期开学数学练习卷

陕西省西安市高新三中2025-2026学年九年级（上）开学数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的、的值都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 5. 同一平面直角坐标系中，与（，为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为【 】 A. B. C. D. 9. 如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4 10. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 小明网购了一本《数独游戏》，同学们想知道书的价格，小明让甲乙两人猜，甲说：“最多15元．”乙说：“最少20元．”结果甲乙两人都猜错了，则这本书的价格（元）所在的范围是________． 12. 因式分解：________． 13. 把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于______． 14. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是___________________． 15. 如图，是边长为4的等边三角形，D是射线上一动点（点D在点C的右侧），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点D运动的过程中，线段长度的最小值是________． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中a＝tan30°＋＋（－）－1＋（－1）2022sin30° 17. （1）解不等式组 （2）解分式方程： 18. 解方程． 19. 李华同学寒假计划将社会实践活动与勤工俭学相结合，用元批发男、女两种款式的羽绒服进行销售，男款每件进价元，售价元；女款进价元，售价元，若购进男、女两种款式的羽绒服共件，其中男款羽绒服不少于件． （1）求李华同学男款羽绒服最多批发多少件？ （2）实际销售时，对男款羽绒服以每件优惠元（为整数）的价格进行优惠促销活动，女款羽绒服价格不变，则李华同学应如何进货，为多少元才能获得最大利润？ 20. 如图，在四边形中，，过点B作于点E，过点B作于点F．求证：． 21. 如图，正方形网格中，为格点三角形，（即三角形的顶点都在格点上） （1）按要求作图：将沿方向平移，平移的距离是长的倍，在网格中画出平移后的． （2）如果网格中小正方形的边长为，求的面积． 22. 如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积． 23. 如图， 在矩形中，， 点P从点 C 出发， 沿折线运动， 当它到达点 A时停止运动．点E为射线上一动点， 点F为边上一动点，的长度为点 P 运动路程的一半且， 的面积为2，设点 P的运动路程为，的面积记为， BE的长记为 （1）请直接写出分别关于x的函数表达式， 并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中，画出， 的图象， 并写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出不等式成立时x的取值范围 24. 问题提出 （1）如图1，一点是矩形内部一点，且，，延长交于点，连接，则的度数为________； 问题解决 （2）如图2，在菱形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在菱形内部），延长交于点，连接，，求的度数； 拓展探究 （3）如图3，在正方形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在正方形内部），连接，，过点作交的延长线于点，交于点，当是等腰直角三角形时，求的长度及五边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安市高新三中2025-2026学年九年级（上）开学数学练习卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）种． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解这两个定义，知道一些常见几何图形的对称性是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义一一判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知：在正三角形、平行四边形、矩形和圆这四种图形中， 正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形； 圆既是轴对称图形又是中心对称图形； 故既是轴对称图形又是中心对称图形的是矩形和圆，有2种， 故选B． 2. 若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查不等式的性质，根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．若，则，故此选项不符合题意； B．若，则，故此选项不符合题意； C．若，则，故此选项符合题意； D．若，则，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 如果把分式中的、的值都扩大倍，那么分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 扩大倍 C. 缩小为原来的 D. 不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的性质．把分式中的分子，分母中的，都同时变成原来的倍，就是用，分别代替式子中的，，看得到的式子与原式子的关系． 【详解】解：， 故选：C． 4. 四边形中，对角线与交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ∥，∥ C. ， D. ∥， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理求解即可求得答案． 【详解】解：、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； B、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； C、，， 四边形是平行四边形．故能判定这个四边形是平行四边形； D、，， 四边形是平行四边形或等腰梯形．故不能判定这个四边形是平行四边形． 故选：D． 5. 同一平面直角坐标系中，与（，为常数）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先看一条直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案． 【详解】解：A、一条直线反映，一条直线反应，不一致，故本选项不符合题意； B、一条直线反映，一条直线反映，一致，故本选项符合题意； C、一条直线反映，一条直线反映，不一致，故本选项不符合题意； D、一条直线反映，一条直线反映，不一致，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握在中，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴． 6. 已知关于的方程的解为正数，则的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴x=2+k， ∵该分式方程有解， ∴2+k≠1， ∴k≠-1， ∵x＞0， ∴2+k＞0， ∴k＞-2， ∴k＞-2且k≠-1， 故选：A． 【点睛】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型． 7. 如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，和交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接和交于点，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形中位线，由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线，可知为等腰三角形，则为的中线，即点为的中点，则为的中位线，根据三角形中位线定理可得答案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图可知，直线为线段的垂直平分线，为的平分线， ∴点为的中点， ，为等腰三角形， ∴为的中线， ∴点为的中点， ∴为的中位线， ， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证的度数为【 】 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，必须∠2+∠3=90°， ∵∠3=30°，∴∠2=60°． ∴根据入射角等于反射角，得∠1=∠2=60°．故选C． 9. 如图， 矩形中， 直线垂直平分， 与，分别交于点M， N． 若 ，，则矩形的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、垂直平分线的性质，连接，根据矩形的性质可得，再根据垂直平分线的性质可得，利用勾股定理求得，再由，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵直线垂直平分， ∴， 再中，， ∵， ∴在中，， 故选：A． 10. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，如图小陶家有一个中国结装饰，可以近似看作菱形，测得，，则此菱形周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：四边形为菱形，且，， ，，，， ， 在中，由勾股定理得：， 此菱形的周长， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 小明网购了一本《数独游戏》，同学们想知道书的价格，小明让甲乙两人猜，甲说：“最多15元．”乙说：“最少20元．”结果甲乙两人都猜错了，则这本书的价格（元）所在的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据甲、乙两人都说错了，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故答案为∶ ． 12. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式计算即可得出结果． 【详解】解：． 13. 把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，是正六边形的对角线，则等于______． 【答案】##84度 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和公式以及角度的计算． 根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角和正六边形的内角，然后根据四边形的内角和即可得到结论． 【详解】正五边形的内角，正六边形的内角， ∵是正六边形的对角线， ， 故答案为：． 14. 一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“速度提高了26千米/小时，现在该列火车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1个小时”结合路程、速度、时间的关系即可列出方程． 【详解】由题意所列方程为， 故答案为： 【点睛】解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确运用路程=速度×时间列出方程． 15. 如图，是边长为4的等边三角形，D是射线上一动点（点D在点C的右侧），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，F为的中点，连接，在点D运动的过程中，线段长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理、旋转的性质、等腰三角形的判定与性质，连接，取的中点，连接，由旋转的性质可得：，由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可得，由三角形中位线定理可得，结合平行线的性质可得点的轨迹为直线，且，再由垂线段最短即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∵为的中点，F为的中点， ∴为的中位线 ∴， ∴， ∴点的轨迹为直线，且， 当时，最短， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴线段长度的最小值为， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再求值：，其中a＝tan30°＋＋（－）－1＋（－1）2022sin30° 【答案】，3 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则化简分式，再根据实数混合运算法则计算a值，然后代入化简式计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当a=＋2－2＋ =1＋2－2＋ =时， 原式==3． 【点睛】本题考查分式化简求值，实数混合运算，熟练掌握分式混合运算法则、实数混合运算法则是解题的关键． 17. （1）解不等式组 （2）解分式方程： 【答案】(1)；(2) 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，熟练掌握相关解法是关键． （1）把每一个不等式的解集求出来，再取它们的公共部分即可. （2） 按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解方程，最后检验确定方程的解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 所以不等式组的解集为：； （2） 去分母得： 去括号得： 整理得：. 经检验：是原方程的根. 18. 解方程． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 19. 李华同学寒假计划将社会实践活动与勤工俭学相结合，用元批发男、女两种款式的羽绒服进行销售，男款每件进价元，售价元；女款进价元，售价元，若购进男、女两种款式的羽绒服共件，其中男款羽绒服不少于件． （1）求李华同学男款羽绒服最多批发多少件？ （2）实际销售时，对男款羽绒服以每件优惠元（为整数）的价格进行优惠促销活动，女款羽绒服价格不变，则李华同学应如何进货，为多少元才能获得最大利润？ 【答案】（1）件 （2）李华同学批发男款羽绒服件，批发女款羽绒服件时，为元才能获得最大利润 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意可以得到，然后即可得到的取值范围，从而可以得到李华同学男款羽绒服最多批发多少件； （2）根据题意，可以写出利润关于的函数解析式，再根据一次函数的性质，即可得到利润的最大值，以及此时和的值． 【小问1详解】 解：设李华同学男款羽绒服批发件，则女款羽绒服批发件， 由题意可得：， 解得， 男款羽绒服不少于件， ， 答：李华同学男款羽绒服最多批发件； 【小问2详解】 解：设利润为元， ， ，为整数，， 当，为整数时，随的增大而增大，此时，，取得最大值为，， 当时，； 当，为整数时，随的增大而减小，此时，，取得最大值为，， 答：李华同学男款羽绒服批发件，女款羽绒服批发件时，为元才能获得最大利润． 20. 如图，在四边形中，，过点B作于点E，过点B作于点F．求证：． 【答案】 证明：∵在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，先证明四边形为菱形，得出，再证明，即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】略 21. 如图，正方形网格中，为格点三角形，（即三角形的顶点都在格点上） （1）按要求作图：将沿方向平移，平移的距离是长的倍，在网格中画出平移后的． （2）如果网格中小正方形的边长为，求的面积． 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积． 22. 如图，已知点是中边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，且． （1）求证：四边形为矩形； （2）若是等边三角形，且边长为，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，即， ∴，． ∵点E是BC边中点， ∴BE=CE． ∴， ∴， ∴四边形ABFC是平行四边形． ∵， ∴平行四边形ABFC是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，即可证明，．根据题意得出BE=CE，即可证明，得出．最后根据平行四边形和矩形的判定条件即可证明四边形ABFC是矩形； （2）由题意易得出，再根据等边三角形的性质结合勾股定理即可求出，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴，即点为DF中点． ∵是等边三角形，且边长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形全等的判定和性质，等边三角形的性质以及勾股定理等知识．掌握特殊四边形的判定方法是解题关键． 23. 如图， 在矩形中，， 点P从点 C 出发， 沿折线运动， 当它到达点 A时停止运动．点E为射线上一动点， 点F为边上一动点，的长度为点 P 运动路程的一半且， 的面积为2，设点 P的运动路程为，的面积记为， BE的长记为 （1）请直接写出分别关于x的函数表达式， 并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的直角坐标系中，画出， 的图象， 并写出函数的一条性质； （3）根据图象直接写出不等式成立时x的取值范围 【答案】（1）； （2） 列表得 x … 1 2 3 4 5 … … 2 4 3 2 1 … … 8 4 2 1.6 … 描点，连线得， ； 当时，取到最大值4 （3） 【解析】 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数与不等式之间的关系：准确画出图象是解答本题的关键． （1）根据题意得到，利用求解即可得到，根据的长度为点P运动路程的一半且的面积为2列式即可得到； （2）填表，描点，连线即可得到答案；根据（1）的解析式及函数的性质写性质即可得到答案； （3）根据图象上下位置关系及交点直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：由题意可得， ∵点P运动路程为x， ∴， 当点P在上时，即：， ， 当点P在上时，即：， ， ∵的面积为2， ∴， ∴；； 【小问2详解】 解：列表得 x … 1 2 3 4 5 … … 2 4 3 2 1 … … 8 4 2 1.6 … 描点，连线得， ； 性质1：当时，取到最大值4； 性质2：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可得，在时，的图象在上方， ∴不等式成立时x的取值范围为：． 24. 问题提出 （1）如图1，一点是矩形内部一点，且，，延长交于点，连接，则的度数为________； 问题解决 （2）如图2，在菱形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在菱形内部），延长交于点，连接，，求的度数； 拓展探究 （3）如图3，在正方形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在正方形内部），连接，，过点作交的延长线于点，交于点，当是等腰直角三角形时，求的长度及五边形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）当的长度为或时，五边形的面积为110 【解析】 【分析】题目主要考查矩形、菱形、正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质及等边对等角，进行等量代换求解即可； （2）根据菱形及旋转的性质得出，再由各角之间的关系求解即可； （3）根据题意得出，然后分两种情况分析：和，作出相应图形，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵菱形，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）根据题意，点P在正方形内，由（2）得， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形时，分为和两种情况， 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴为等腰直角三角形， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 当时，在上截取， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理得：，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴当的长度为或时，五边形的面积为110． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $