专题2.3绝对值与相反数（同步系列）讲义2025-2026学年 苏科版(2024)七年级数学上册

相反数与绝对值 【知识点一】相反数 一、相反数概念 相反数的概念 定义 如果两个数只有符号不同，也就是符号相反，数值相同.那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0． ①正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数； ②一个数的相反数再前面加一个负号，的相反数是. 性质 若和互为相反数，则或，当时，； 相反数的几何 意义 在数轴上，和在原点的两侧，且到原点的距离相等；若和互为相反数，则，. 重 要 提 示 （1） 互为相反数的两个数一定是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数。 （2） 互为相反数的两个数只是符号不同，数字部分是相同的。（特别的：0前面的正负号都一样） 知 识 拓 展 （1） 求一个具体数字的相反数时，只需要在前面加上一个负号即可，其他部分不变。 （2） 求一个数字或者数字与字母的乘积或者一个式子的相反数时，只需要在整体前加一个负号即可。 （3） 若已知两个式子互为相反数，那么两个式子加起来和为0即可。 （4） 一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的． （5）相反数的几何意义：到数轴原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数． 例1、下面说法：①的相反数是；②符号相反的数互为相反数；③的相反数是；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 练习： 1、相反数等于它本身的数是（ ）． 2、如图，在数轴上画出表示及它的相反数（ ）的点（分别用点、表示）． 3、的相反数是（ ），（ ）的相反数大于本身． 4、下列说法正确的是（ ） A．一个数的相反数一定是负数 B．和互为相反数 C．所有的有理数都有相反数 D．13和31互为相反数 5、我们可以用字母表示数，比如、都能代表一个数，在一个数的前面添上“”号，就得到这个数的相反数． （1）5的相反数是（ ）； 的相反数是（ ）； 0的相反数是（ ）； 数的相反数是（ ）； （2）-5的相反数是（ ）； - 的相反数是（ ）； -4的相反数是（ ）； 数的相反数是（ ）； （3）-（-2）的相反数是（ ）； +（-5）的相反数是（ ）； 数-（+a）的相反数是（ ）；数-（-a）的相反数是（ ）； -（-a-b） 与（ ）互为相反数． 二、多重符号化简 例2、下列各式中，化简正确的是　　 A． B． C． D． 练习： 1、下列各对数中，互为相反数的有　　 ①与；②与；③与；④与；⑤与；⑥与． A．6对 B．5对 C．4对 D．3对 2、（1）（ ）；（ ）； （2）一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是（ ）. 3、想一想． （1）当前面有2 010个负号时，化简结果为（ ）； （2）当前面有2 011个负号时，化简结果为（ ）； （3）当前面有2 012个负号时，化简结果为（ ）． 4、如果，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥ 【知识点二】绝对值的概念和性质 一、绝对值概念 绝对值的概念 定义 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作． 代数意义 几何意义 数轴上表示数的点与的距离叫做数的绝对值，记作． 特别提醒 （1）绝对值是本身的数是非负数：； （2）绝对值是相反数的数是非正数：. 总结： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 绝对值的性质 （1）非负性：； （2）双解性：若，则或． 【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0． 【例】若，则，，． 例1、的相反数是 （ ）． 练习： 1、绝对值等于3的数是（ ）． 2、若，则的值为（ ）． 3、一个数的绝对值等于它的倒数的绝对值，这个数是（ ）． 4、① 绝对值不大于3的整数（ ）； 1 绝对值大于2而小于5的负整数是（ ）． 5、若表示有理数，则-一定是（ ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 二、去绝对值符号 1．去绝对值符号的过程 （1）找到字母的取值范围 （2）讨论每个含绝对值部分的符号 （3）去绝对值符号： ①正数和0去绝对值符号是“本身”； ②负数去绝对值符号等于相反数，在原来整体的基础上加上“负号”. 2．多个符号的处理（奇负偶正） （1）“+”可以省略：； ；. （2）“--”得“+”：. （3）奇数个“-”得“-”，偶数个“-”得“+”：；. 练习： 1、若，则是（ ） A．3.2 B． C． D．以上都不对 2、若，则的值等于（ ） A． B．0 C． D． 三、绝对值比较大小 例2、有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是（ ） A． B． C． D． 练习： 1、若，，且，那么，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 四、绝对值的非负性 例3、（1）若与互为相反数，则　 　． （2）若、满足，则的值等于________； 练习： 1、若的相反数是，则（ ）． 2、当（ ）时，会有最小值，且最小值是（ ）． 3、-2017的绝对值是（ ），的相反数是（ ），与（ ）互为倒数． 4、若=0． 计算：（1）x，y，z的值． （2）求的值． 5、，则________． 【拓展】 例1、阅读材料，解答下列问题 例：当时，如则，故此时的绝对值是它本身 当时，，故此时的绝对值是零 当时，如则，故此时的绝对值是它的相反数 所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即 这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想 （1）比较大小：　 　7，　 　；（用，，填写） （2）请仿照例中的分类讨论的方法，分析猜想与的大小关系． 课堂练习： 1、与-4的和为0的数是（  ） A． B．4 C．-4 D． 2、将符号语言“”转化为文字表达，正确的是（    ） A．一个数的绝对值等于它本身 B．负数的绝对值等于它的相反数 C．非负数的绝对值等于它本身 D．0的绝对值等于0 3、下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 4、绝对值小于2016的所有的整数的和 ． 5、如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： （1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是（ ）。 （2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是（ ）、（ ） 6、如图，数轴上两点A、B表示的数互为相反数，若点B表示的数为6，则点A表示的数为（    ） A．6 B．﹣6 C．0 D．无法确定 7、如图，，，，是数轴上的四个点，已知，均为有理数，且，则它们在数轴上的位置不可能落在（ ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 8、用“⇒”与“⇐”表示一种法则：（a⇒b）＝﹣b，（a⇐b）＝﹣a，如（2⇒3）＝﹣3，则（2023⇒2018）⇐ （2023⇒2015）＝（ ） 9、已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，求a+b的值. 10、对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 11、若，求． 12、对于任意有理数m，当m为何值时，有最大值？最大值为多少？ 13、化简下列各数： (1)（ ）；(2)（ ）；(3)（ ）． 14、下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 15、在，，，中，正数的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 16、化简下列各式的符号： （1）﹣（＋4）； （2）＋（﹣）； （3）﹣[﹣（﹣）]； （4）﹣{﹣[﹣（﹣π）]}． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 17、如果，那么的关系（    ） A．相等 B．互为相反数 C．都是0 D．互为相反数或相等 18、化简： (1)； (2)； 19、已知－2的相反数是x，－5的相反数是y，z的相反数是0，求x＋y＋z的相反数． 20、若 ，则 的值是（ ） A． B． C．无意义 D．或无意义 21、已知，互为相反数，则 _____． 22、小亮把中山路表示成一条数轴，如图所示，把路边几座建筑的位置用数轴上的点，其中火车站的位置记为原点，正东方向为数轴正方向，公交车的站地为个单位长度（假设每两站之间距离相同）回答下列问题： (1)到火车站的距离等于站地的是（ ）和（ ）． (2)到劝业场的距离等于站地的是（ ）和（ ）． (3)在数轴上，到表示的点的距离等于的点有（ ）个，表示的数是（ ）． (4)如果用表示图中数轴上的点，那么表示该点到火车站的距离，当时，或．请你结合图形解释等式表达的几何意义，并求出当时，的值． 24、在，，0，这四个数中，绝对值最小的数是（     ） A．1 B． C．0 D． 25、已知下列有理数，在数轴上表示下列各数，并按原数从小到大的顺序用“＜”把这些数连接起来． ，，，0，， （1）试用“”“ ”或“”填空： ①　　； ②　　； ③　　； （2）根据（1）的结果，请你总结任意两个有理数、的差的绝对值与它们的绝对值的差的大小关系为　　； （3）请问，当、满足什么条件时，？ 26、有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列关系正确的是（ ） A．|a|＞|b| B．a＞﹣b C．b＜﹣a D．﹣a=b 27、某汽车配件厂生产一批圆形的零件，现从中抽取6件进行检查，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查记录如下表： 1 2 3 4 5 6 0 (1)找出哪件零件的质量相对好一些？ (2)若规定与标准直径相差不大于0.2毫米的产品为合格产品；则这6件产品中有哪些产品不合格？ 28、已知零件的标准直径是，超过标准直径的数量记作正数，不足标准直径的数量记作负数，检验员抽查了五件样品，检查结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径（） （1）指出哪件样品的直径最符合要求； （2）如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间是次品，误差的绝对值超过是废品，那么这五件样品分别属于哪类产品？ 课后练习： 1、如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作（ ）． 2、在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作（ ）． 3、把下列各数填入表示它所在的大括号： ，3，2.008，，，-0.15，0，，3.14，． 正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ } 4、下列说法正确的是（ ） A．在有理数中，零的意义仅仅表示没有 B．正有理数和负有理数组成全体有理数 C．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数 D．零既不是正数，也不是负数 5、下列说法不正确的是（ ） A．绝对值等于本身的数是非负数 B．倒数等于本身的数有2个 C．有理数可分为整数和分数 D．两个负数比较大小，绝对值越大的数越大 6、如图，表示数轴正确的是（ ） A． B． C． D． 7、已知点A，点B在数轴上，点A表示数为，A、B两点的距离为5，则点B表示的数是（ ）． 8、在数轴上标出下列各数，并用“＜”比较它们的大小：，，，，5． 9、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示，则，，0，1的大小关系为（ ）． 10、点A在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A点表示的数是（ ） 11、一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（　　） A． B．4 C．2 D．0 12、与（ ）互为相反数；是（ ）的相反数． 13、的相反数是（ ）；是（ ）的相反数． 14、（ ）；（ ）互为相反数． 15、，求（ ）． 16、给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若，则；④若，则，其中正确的有（ ）． 学科网（北京）股份有限公司 $