2.2 数轴 导学案 2025--2026学年苏科版七年级数学上册

数轴 【知识点一】数轴的定义及应用 数轴相关概念 数轴定义 规定了唯一的原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 数 轴 画 法 （1） 画：画一条水平直线； （2） 取：在直线上取一点作为原点（通常取适中的位置，如果所需的都是正数，也可偏向左边），用这点表示0（相当于温度计上的）； （3） 选：选取适当长度作为单位长度； （4） 定：规定直线上从原点向右为正方向（箭头指的方向），向左为负方向； （5） 标：在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3、…从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3、…（如图所示） 重 点 提 示 （1） 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可. （2） 原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动． 知 识 拓 展 （1）单位长度的大小可根据各题的实际需要灵活选取,有时可每隔两个或更多个单位长度取一点，如图所示. （2）单位长度和长度单位是两个不同的概念,单位长度是指具体的多长为单位“1”,而长度单位是指厘米、分米、米、千米等. （3） 数轴的两端不能画点,两端（或一端）画点就成线段（或射线）了 数轴与有理数 的关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示无理数，比如：. 【注】画数轴的常见错误： ① 三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ② 单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样； ③ 方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱． 一些错误的数轴示例： 错误类型 错误示例 三要素缺失 单位长度不统一 方向不统一 一、数轴的画法 例1、下列数轴表示正确的是（ ） A． B． C． D． 练习： 1、判断下列“数轴”画得是否正确，如不正确，请指出错误原因． （1） （2） 正确（ ）不正确（ ） 正确（ ）不正确（ ） （3） （4） 正确（ ）不正确（ ） 正确（ ）不正确（ ） 2、下面图形是数轴的是（　　） A． B． C． D． 二、在数轴表示数 例2、在数轴上画出表示下列各数的点． 2，，0，，1.5，． 练习： 1、分别画出数轴，并在数轴上表示下列各数的点： （1）250，-150，500，-350； （2）0.2，-0.6，0.5，-0.8． 例3、从数轴上观察，不小于而且不超过4的整数有（ ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 练习： 1、一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 2、如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______． 例4、在数轴上与数相距2个单位长度的点表示的数为　　　．长为2个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖　　　个表示整数的点．最多能覆盖　　　个表示整数的点；长为2001个单位长度的木条放在数轴上，最少能覆盖　　　个表示整数的点，最多能覆盖 　　表示整数的点． 例5、如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处分别标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴向右滚动，那么数轴上的数2021将与圆周上的哪个数字重合（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 练习： 1、如图，将刻度尺放在数轴上（数轴的1个单位长度为，若刻度尺上和分别对应数轴上的1和0，则刻度尺上对应数轴上的数为　　　　． 2、数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是(    ) A． B． C．或 D．或 3、数轴上，表示数-3.5与2.5的两点之间整数点的个数是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 4、如图的数轴上有两处不小心被墨水淹没了，所标注的数据是墨水部分边界与数轴相交点的数据;则被淹没的整数点有_______个，负整数点有______个. 5、在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是（     ） A．1998 B．1999 C．2000 D．2001 6、用长为2012个单位长度的线段放在数轴上，能覆盖　 　 个整数点． 三、数轴上两点间的距离 例6、已知，，三点在数轴上从左向右依次排列，且，若为原点，则点所表示的数是（     ） A． B． C． D． 练习： 1、数轴上一个点到原点的距离为6，则这个点表示的数为______． 2、如图，数轴上的点、分别表示和，点在数轴上且到和的距离相等，则点表示的数是_____． 3、A，B是数轴上的两个点，它们到原点的距离分别为2和1，则A，B两点的距离为（　 　） A．1 B．3 C．1或 D．1或3 4、已知：点在数轴上的位置如图所示，点也在数轴上，且、两点之间的距离是2，则点表示的数是______． 四、数轴上点的移动 例7、数轴上点M表示有理数，将点M向右平移2个单位长度到达点N，点E到点N的距离为4，则点E表示的有理数为 _____． 练习： 1、在数轴上，将表示2的点沿数轴向右移动4个单位长度得到的数是______． 2、点先向右移动3个单位，又向左移动6个单位到达图中点，则点在数轴上表示的数为______． 3、如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合． 4、一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________． 5、一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________． 五、利用数轴比较大小 利用数轴比较大小的方法 用数轴比较有理数的大小 方法 图例 数轴上左边的数小于右边的数； 特别的：0是正负数的分界点，负数<0<正数. 重 要 提 示 （1）用数轴比较有理数大小的步骤: ①在数轴上表示要比较的数； ②观察各个数的位置； ③根据“左小右大”的原则，按大小顺序用不等号连接各数； （2）在数轴上，由“左小右大”知正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数 知 识 拓 展 （1） 由数轴可知：1是最小的正整数，没有最大的正整数；一1是最大的负整数，没有最小的负整数； （2） 用不等式表示正数和负数： ①正数大于0，反之：大于0的数都是正数，因此可以用“＞0”表示为正数; ②负数小于0，反之，小于0的数都是负数，因此可以用“＜0”表示为负数； ③≥0表示为非负数，≤0表示为非正数 例8、在数轴上表示下列各数：0，，，，，．并用“”将它们连接起来． 练习： 1、最大的负整数和最小的正整数分别为（ ） A．1和 B．和1 C．0和 D．和0 2、数轴上、、三点依次从左向右排列，表示的数分别为，，，则可能是（ ） A．0 B． C． D．3 六、数轴的实际应用 例9、数轴上的点A、B，如果点A对应的数是-2，点B对应的数是3，那么A，B两点的距离为______。 例10、（1）数轴上表示数字2的点向左移动3个单位长度，终点所表示的数为__________。 （2）数轴上表示数字-4的点向右移动3个单位长度，终点所表示的数为__________。 例11、若为整数，在与之间(不包含一和)有21个整数，则=_____________。 例12、一跳蚤在一直线上从点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离点的距离是　　　　个 单位． 练习： 1、数轴上的点A、B，如果点A对应的数是-2，A、B两点的距离为3，那么点B对应的数是_______。 2、数轴上的点A、B，如果点A距离原点的距离为2，A、B两点的距离为3，那么点B对应的数是__________。 3、（1）数轴上一个点向左移动4个单位长度，终点所表示的数为3，则移动前该点表示的数为__________。 （2）数轴上一个点向右移动2个单位长度，终点所表示的数为-1，则移动前该点表示的数__________。 （3）一个点从数轴的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，则终点表示的数为__________。 （4）一个点从数轴上某点出发，先向左移动2个单位长度，再向右移动7个单位长度，终点表示的数为-3，则移动前该点表示的数为__________。 4、在数轴上任取一条长度为的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为2016；如果把长度缩短至2014，则又能最多盖住_______个整点。 5、有一天，小明发现了一个巨大的数轴，他站在这个巨大数轴的原点处，第一次向右(此数轴向右为正方向)跳了1个单位长度，接着第二次向左跳了2个单位长度，第三次向右跳了3个单位长度，第四次向左跳了4个单位长度，依此规律一直跳下去，当他跳完第2014次停下。 （1）请问最后小明在原点O的_______边（填写“左”、“右”、“上”） （2）小明距离原点O有_______个单位长度。 （3）若此数独的单位长度为10米，问小明一共跳了_______米。 6、一辆货车从超市（点）出发，向东走3千米到达小李家（点），继续向东走1.5千米到达小张家（点），然后又回头向西走9.5千米到达小陈家（点），最后回到超市． （1）以超市为原点，向东为正，以1个单位长表示1千米，画出数轴，并在数轴上表示出、、、的位置． （2）小陈家（点）距小李家（点）多远？ （3）若货车每千米耗油0.5升，这趟路货车共耗油多少升？ 7、一辆货车从超市出发，向东走了3km，到达小刚家，继续向东走了4km到达小红家，又向西走了11km到达小英家，最后回到超市． （1）请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家有多远？ （3）货车一共行驶了多少千米？ 8、邮递员骑摩托车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局. （1）C村离A村多远？ （2）若摩托车每10千米需1.5升汽油，邮递员最后回到邮局时，一共用了多少升汽油？ 七、数轴上的动点初步 动点问题 动点问题：点在数轴上运动时，由于数轴右侧的方向为正方向，因此向右运动的速度可看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点所对应的数。即一个点表示的数为，向左运动个单位后表示的数为；向右运动个单位后所表示的数为。若涉及到求某种状态的运动时间，可以假设运动时间为t用字母t去表示动点在某一时刻所处位置所代表的数，根据题意列方程求解。 起始点 运动个单位 以速度，运动时间 向左运动 向右运动 距离公式和中点公式 距离公式 一般地，在数轴上，如果A对应的数为，B对应的数为，则这两点的距离公式为： 或（大数减小数） 中点公式 一般地，在数轴上，如果A对应的数为，B对应的数为，则AB中点对应的数，满足关系式： 例13、（1）已知数轴上点A对应的数为-3，点B对应的数为5，则A、B两点的中点对应的数为__________； （2）已知数轴上点A对应的数为-4，点B对应的数为，线段AB的中点对应的数为2.5，则b=__________；（3）如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D对应整数、、c、d，且，那么数轴的原点对应点是A、B、C、D中的点__________，线段AC的中点对应的数为__________。 例14、如图，点、在数轴上表示的数分别为和8，两只蚂蚁、分别从、两点同时出发，相向而行．的速度为2个单位长度秒，的速度为3个单位长度秒． （1）运动　　　　秒钟时，两只蚂蚁相遇在点；点在数轴上表示的数是　　　　； （2）若运动秒钟时，两只蚂蚁的距离为5，求出的值（写出解题过程）． 例15、个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位；． （1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数是　　　　； （2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数是　　　　； （3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是　　　　； （4）第次移动后这个点在数轴上表示的数是　　　　． 练习： 1、（1）若数轴上点A表示5，点B表示-7，则AB中点表示的数是__________。 （2）数轴上，表示数2、1的点分别为B，A，已知点B是A、C的中点，则点C对应的数是__________。 2、如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100， （1）求AB中点M对应的数； （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数； （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，设两只电子蚂在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。 3、推理探索： 数轴上点、、、、分别表示数0、、3、5、，解答下列问题． ①画出数轴表示出点，、、、； ②、两点之间的距离是　　　　；③、两点之间的距离是　　　　； ④、两点之间的距离是　　　　； ⑤请思考，若点表示数且，点表示数，且．则用含，的代数式表示、两点间的距离是　　　　； ⑥请归纳，若点表示数，点表示数，则、两点间的距离用含、的代数式表示是　　　　． 4、如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为，，4．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对齐刻度尺处，点对齐刻度尺处． （1）在图1的数轴上，　　个单位长，数轴上的1个单位长对应刻度尺上的实际长度是　　； （2）求数轴上点所对应的数； （3）在图1的数轴上，点是数轴上的一点，且满足，直接写出点表示的数和的实际长度． 【拓展】 例1、如图，已知在纸面上有一条数轴． 操作一： 折叠数轴，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示　　　　的点重合． 操作二： 折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： （1）表示的点与表示　　　　的点重合； （2）若数轴上，两点的距离为7，且折叠后，两点重合，则点表示的数为　　　　． （3）若在（2）中，两点之间存在一个点，满足、两点间的距离与、两点间的距离差为3，则点表示的数为　　　　． 例2、已知数轴上两点、对应的数分别是6，，、、为数轴上三个动点，点从点出发，速度为每秒2个单位，点从点出发，速度为点的3倍，点从原点出发，速度为每秒1个单位． （1）若点向右运动，同时点向左运动，求多长时间点与点相距46个单位？ （2）若点、、同时都向右运动，求多长时间点到点，的距离相等？ （3）当时间满足时，、两点之间，、两点之间，、两点之间分别有47个、37个、10个整数点，请直接写出，的值。 例3、甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点记为，乙选择的游戏起点记为；然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”的结果，、两点沿数轴同时移动，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动0.5个单位，点向左移动0.5个单位 甲胜 点向右移动2个单位，点向右移动1个单位 乙胜 点向左移动1个单位，点向左移动2个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布” 为正整数）． （1）如图，起点表示的数是，起点表示的数是3． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为　　，点最终位置表示的数为　　，此时、两点间的距离为　　． ②当时，其中平局次，甲胜次，求、两点最终位置表示的数．（用含、的代数式表示） （2）若起点表示的数是，起点表示的数是、均为整数，且，当、两点最终位置相距3个单位时，探究的值，直接写出结论．（用含、的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $