江苏省南京市中华中学2024-2025学年高二下学期5月学情调研数学试题

■■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 中华中学2024一2025学年度第二学期 5月学情调研高二数学 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [o] [o] [o] [o] [0] [o] [o] ] C1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 1 [5] [5] [5] [5J [5] [5] [5] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■ 缺考标记☐ [7] [7] [7] [7] [7] [ [7] [8] [8 [8] [8] [8] [8J [8] [8l [9] [g] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 、 单选题：本题共8小题，每小题5分， 共40分 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 1I[A][B][c][D] 三、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13. 14. 1 ■ 囚囚▣■ 第1页共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分) 囚囚■ 第2页共6页 16.(15分) ■ 第3页共6页 ■ 17.(15分) I B----- C 1 I I I ■ 囚■囚 第4页共6页 18.(17分) 囚■囚 第5页共6页 ▣ 19.(17分) ■ 第6页共6页 中华中学2024—2025学年度第二学期5月学情调研 高二数学 本卷调研时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合U＝R，A＝{x∈Z|x2＜6}，B＝{x|x2(x－2)＜0}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A． {0，1，2} B．{0，2} C．{1，2} D．{2} 【答案】B 【详解】 图中阴影部分表示的集合为 故选. 2．已知m，n∈R，则“(m－1)(n－1)＝0”是“(m－1)2＋|n－1|＝0”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】由，得或，则不一定成立，如； 由，得且，则必成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．关于x的不等式 ax2＋bx＋2＜0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)，则a－b的值是(   ) A．－14 B．－12 C．12 D．14 【答案】A 【详解】关于的不等式 的解集为，则的两个根为，且,故由韦达定理得 故 故选A 4．已知 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A．a＋＞b＋ B．a＋≥b＋ C．＞ D．b－＞a－ 【答案】A 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，已知，取，所以， 所以，故B错误； 对于C，，，故C错误； 对于D，已知，取， ，所以，故D错误.故选：A. 5．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是(    ) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝2 D．D(X)＝ 【答案】D 【详解】因为随机变量服从两点分布，其中，所以， 所以，， ，. 故D错误，ABC正确. 故选：D 6．已知随机变量X∽N(1，σ2)，且P(X≤0)＝P(X≥a)，则(1＋ax)3·(x2＋)4的展开式中x2的系数为(    ) A． 40 B． 120 C． 240 D． 280 【答案】D  【详解】因为，所以正态曲线关于对称， 因为，所以关于对称，所以，解得， 所以 的展开式的通项公式为，， 的展开式的通项公式为，， 要求的展开式中的系数，所以， 解得 或 的展开式中的系数为 ，故选D． 7．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是(    ) A．120 B．144 C．264 D．96 【答案】A 【详解】先涂，有4种选择，接下来涂，有3种选择，再涂,有2种选择， ① 当颜色相同时涂色方法数是：， ② 当颜色不相同时涂色方法数是：， 满足题意的涂色方法总数是：． 故选：A． 8．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数．当x≤2时，f(x)＝2f(x－1)，且当 x∈(－1，0]时，f(x)＝(x＋1)x．对x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，则m的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数， 所以函数关于对称， 因为当时，，当时，， 所以当时，，则， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 如图，画出函数图象 当时，令，解得或， 对，都有， 结合图象，得，的最小值为 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9．下列叙述正确的是(    ) A．不等式＜2的解集是{x|x＞} B．“0≤m≤4”是“mx2＋mx＋1≥0在R上恒成立”的充要条件 C．已知x∈R，则“x＞0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件 D．函数f(x)＝x2＋的最小值是2－2 【答案】BC 【详解】A选项，，解得或，A错误； B选项，当时，在上恒成立， 当时，要满足，解得， 综上，， 所以“”是“在上恒成立”的充要条件，B正确； C选项，，解得， 由于，， 则“”是“”的必要不充分条件，C正确； D选项，， 但无解，故等号取不到，D错误. 故选：BC 10．设x2025＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2025(x＋1)2025，则下列选项正确的是(   ) A．a1＝2025 B．a0－a1＋a2－…－a2025＝－22025 C．a0，a1，a2，…，a2025中最大的是a1013 D．＋＋＋…＋＝()2025 【答案】ABC 【详解】设，则， 二项式的展开式通式，由，选项A正确； 令，则，选项B正确； 因为，当时，系数为正，所以系数最大的是，选项C正确； 令，则，令， 则，，选项D错误. 故选：ABC. 11．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2＋x)＋g(－x)＝1，则(    ) A．f(x)的图象关于点(2，1)对称 B．f(x)是以8为周期的周期函数 C．g(x＋8)＝g(x) D．f(4k－2)＝2025 【答案】ABC 【详解】对于A，由题意， 且，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得， 所以的图象关于点对称，且，故A正确； 对于B，由， 可得，， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①知， 则，所以，故C正确； 对于D，又因为，所以， 令，则有2， 令，则有， 令，则有， 所以 ， 所以 ，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间为 ． 【答案】 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减．故答案为：. 13． 袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率P(B|A) ． 【答案】 【详解】由题意得，事件为：甲和乙只有一人摸到红球， ∴.∵事件的对立事件为：甲和乙都没有摸到红球， ∴，∴.故答案为：. 14．已知三个正整数的和为8，用X表示这三个数中最小的数，则X的期望E(X)＝ ． 【答案】 【详解】设这三个正整数分别为，则题意可得， 所以随机变量可能取值为1和2， 用隔板法可求得：事件总情况为种， 当时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有种； ②三个数中有两个1，有种，所以时，； 当时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有种； ②三个数中有两个2，有种，所以时，， 所以.故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题13分) 已知m∈R，命题p：x∈[－1，2]，不等式m2－m≥x2－2x－1恒成立，命题q：x∈R，x2＋4mx＋1＜0成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 若为真命题，则，即，解得， 因此，实数的取值范围；………………………………6分 （2）若为真命题， 则，解得或，………………………………8分 （i）若真假，则，可得；………………………………10分 （ii）若假真，则，可得或， 综上所述，实数的取值范围是.………………………………13分 16. (本小题15分) 某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表： 性别 安全知识测试成绩 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 根据小概率α＝0.01的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联 设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生的测试成绩为良好”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小．其中，表示事件发生的概率． 参考公式：，其中； 参考数据： 【详解】零假设为：认为本次安全知识测试成绩与性别无关联，……………2分 由列联表知，，，，， ， ， 因为，所以在小概率的独立性检验下，我们推断不成立， 所以有99%的把握认为本次安全知识测试成绩与性别有关联…………………………6分 ，， ，， ，， 根据条件概率公式，可得， 同理，………………………………10分 所以， 同理，， ， 所以， 所以． ………………………………15分 17． (本小题15分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，M为边CD的中点，且PC⊥BM． (1)求线段AB的长； (2)求平面PBM与平面PCD夹角的余弦值； (3)在线段PD上(不含端点)是否存在点N，使直线AN与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求线段PN的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，……………………………2分 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即；………………………………5分 （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为；………………………………10分 （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以.………………………………15分 18． (本小题17分) 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的选手积分，失败的选手积0分；而在比赛中以3：2取胜的选手积分，失败的选手积分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为p(0＜p＜1)． (1)若进入决赛的名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第场比赛中，当p＝时，设甲所得积分为，求的分布列及期望； (3)在第场比赛中，记甲3：1取胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值． 【详解】记比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级为事件， 则；………………………………4分 依题意的可能取值为， 所以， ， ， ． 所以的分布列为 所以的期望为…………………………10分 依题意，， 则， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， 所以．………………………………17分   19. (本小题17分) 已知函数f(x)＝a2ex－3ax＋2sinx，a≠0． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若a＞，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)证明：当a∈[1，＋∞)时，f(x)≥cosx． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，则， ，则， 故曲线在点处的切线方程为，即.…………………4分 （2）令， 则，因为，所以， 所以恒成立，所以是上的增函数. 因为在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以只需，又，故.………………………………10分 （3））因为，所以要证， 只需证， 令，该二次函数的图象的对称轴为直线， 令，则， 令，则，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递增. 问题可转化为证明，即证， 即证.令， 则，令， 则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，证毕.………………………………17分 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中华中学2024—2025学年度第二学期5月学情调研 高二数学 本卷调研时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合U＝R，A＝{x∈Z|x2＜6}，B＝{x|x2(x－2)＜0}，则图中阴影部分表示的集合为( ) A．{0，1，2} B．{0，2} C．{1，2} D．{2} 2．已知m，n∈R，则“(m－1)(n－1)＝0”是“(m－1)2＋|n－1|＝0”的(   ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．关于x的不等式 ax2＋bx＋2＜0的解集为(－∞，－)∪(，＋∞)，则a－b的值是(   ) A．－14 B．－12 C．12 D．14 4．已知 a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是( ) A．a＋＞b＋ B．a＋≥b＋ C．＞ D．b－＞a－ 5．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是(    ) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝2 D．D(X)＝ 6．已知随机变量X∽N(1，σ2)，且P(X≤0)＝P(X≥a)，则(1＋ax)3·(x2＋)4的展开式中x2的系数为(    ) A． 40 B． 120 C． 240 D． 280 7．用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，F涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是(    ) A．120 B．144 C．264 D．96 8．已知定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)为偶函数．当x≤2时，f(x)＝2f(x－1)，且当 x∈(－1，0]时，f(x)＝(x＋1)x．对x∈[m，＋∞)，都有f(x)≥－，则m的最小值为(    ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的.若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9．下列叙述正确的是(    ) A．不等式＜2的解集是{x|x＞} B．“0≤m≤4”是“mx2＋mx＋1≥0在R上恒成立”的充要条件 C．已知x∈R，则“x＞0”是“|x－1|＜1”的必要不充分条件 D．函数f(x)＝x2＋的最小值是2－2 10．设x2025＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2025(x＋1)2025，则下列选项正确的是(   ) A．a1＝2025 B．a0－a1＋a2－…－a2025＝－22025 C．a0，a1，a2，…，a2025中最大的是a1013 D．＋＋＋…＋＝()2025 11．已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(2＋x)＋g(－x)＝1，则(    ) A．f(x)的图象关于点(2，1)对称 B．f(x)是以8为周期的周期函数 C．g(x＋8)＝g(x) D．f(4k－2)＝2025 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数f(x)＝，则f(x)的单调递减区间为 ． 13．袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲和乙至少一人摸到红球，事件B：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率P(B|A) ． 14．已知三个正整数的和为8，用X表示这三个数中最小的数，则X的期望E(X)＝ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题13分) 已知m∈R，命题p：x∈[－1，2]，不等式m2－m≥x2－2x－1恒成立，命题q：x∈R，x2＋4mx＋1＜0成立． (1)若p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p、q有且只有一个是真命题，求实数m的取值范围． 16. (本小题15分) 某学校有2000人，为加强学生安全教育，某校开展了安全知识讲座，讲座结束后，学校组织了一场安全知识测试，将测试成绩划分为“不够良好”或“良好”，并得到如下列联表： 性别 安全知识测试成绩 合计 不够良好 良好 男 800 300 1100 女 700 200 900 合计 1500 500 2000 根据小概率α＝0.01的独立性检验，能否认为本次安全知识测试成绩与性别有关联 设事件A＝“选到的学生是男生”，事件B＝“选到的学生的测试成绩为良好”，用频率估计概率，通过计算比较与的大小．其中，P(X)表示事件X发生的概率． 参考公式：，其中． 参考数据： 17． (本小题15分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AD＝1，M为边CD的中点，且PC⊥BM． (1)求线段AB的长； (2)求平面PBM与平面PCD夹角的余弦值； (3)在线段PD上(不含端点)是否存在点N，使直线AN与平面PCD所成角的正弦值为，若存在，求线段PN的长；若不存在，请说明理由． 18．(本小题17分) 某学校高二年级乒乓球社团举办了一次乒乓球比赛，进入决赛的9名选手来自于3个不同的班级，三个班级的选手人数分别是2，3，4，本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名选手进行8场比赛，每场比赛采取5局3胜制，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束，根据积分选出最后的冠军．如果最终积分相同，则同分选手加赛决出排名，积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的选手积分，失败的选手积0分；而在比赛中以3：2取胜的选手积分，失败的选手积分．已知第6场是甲、乙之间的比赛，设每局比赛甲取胜的概率为p(0＜p＜1)． (1)若进入决赛的名选手获得冠亚军的概率相等，则比赛结束后冠亚军恰好来自同一个班级的概率是多少？ (2)在第场比赛中，当p＝时，设甲所得积分为，求的分布列及期望； (3)在第场比赛中，记甲3：1取胜的概率为f(p)，求f(p)的最大值． 19. (本小题17分) 已知函数f(x)＝a2ex－3ax＋2sinx，a≠0． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若a＞，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； (3)证明：当a∈[1，＋∞)时，f(x)≥cosx． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $