专题02 基本不等式求最值问题13题型（期中专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题02 基本不等式求最值问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直接法求最值 1．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 2．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）函数的最大值为 . 【答案】/ 【分析】先确定函数的定义域，分、、三种情况讨论，时，利用基本不等式求最值，比较函数值即可求解. 【详解】根据函数解析式有：，解得， 当时，有， 当且仅当，即时，等号成立. 当时，， 当时，， 综上所述，当时，取得最大值. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式即可求解最值. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当时取等号，故最小值为， 故答案为： 4．（24-25高三上·上海·期中）若，，，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】由已知，， 则， 即，， 当且仅当，即，时，取等号， 即的最大值是， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据基本不等式的应用可得，结合计算即可求解. 【详解】由，得，当且仅当时等号成立， 所以， 即的最小值为. 故答案为： 7．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为且， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：B 题型二 配凑法求最值 8．（24-25高一下·云南昆明·期末）函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先配凑再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为3. 故选：C. 9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，可得， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：C. 10．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 11．（2020高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 【答案】1 【分析】将变形为，然后利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，上式等号成立， 故当时，． 12．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 【答案】100 【分析】利用基本不等式的变形，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最大值为. 故答案为： 13．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时取等号， ∴的最大值为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）通过减加，将目标式配凑成积为定值，然后利用基本不等式可得； （2）通过乘以除以，将目标式配凑成和为定值，然后利用基本不等式可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，故函数的最小值为. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的最大值为. 题型三 分式分离法求最值 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 16．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 17．（2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ． 【答案】 2； 0 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，， 则，， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 18．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6. 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 题型四 消元法求最值 20．（2023高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为 【答案】8 【分析】根据题意，由条件可得，然后结合基本不等式即可得到结果. 【详解】因为，且，所以， 则，当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为8． 故答案为: 21．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意得，代入得，再由均值不等式即可求解. 【详解】由有：， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：B. 22．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】通过等式代入消元，构造“”的型式后用基本不等式得出结果. 【详解】∵ ∴， ∵，∴ 则 当且仅当时取“=” 故答案为：2 23．（2023高一·全国·课后作业）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】由题可得代入，结合基本不等式即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 当且仅当，即时取等. 故答案为：. 24．（2022高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据题设条件，求出，代入所求式，将其整理，运用基本不等式即可求得. 【详解】由可得：，将其代入，则有：， 因，故有：， 当且仅当时等号成立，即时，取得最小值. 故答案为：. 题型五 乘“1”法求最值 25．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据基本不等式中“1”的应用直接计算即可求得结果. 【详解】因为，则； 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值是16. 故选：C 26．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 27．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】把“”写成，再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为3． 故答案为：3 28．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由，得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 故答案为：6 29．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 【答案】2 【分析】由基本不等式的乘“1”法求解即可； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是2. 故答案为：2. 30．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 31．（24-25高二上·上海·期中）已知x、y均为正实数，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意利用乘“1”法可得的最小值为，即可得结果. 【详解】因为x、y均为正实数，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 可知的最小值为，所以的最大值为. 故答案为：. 32．（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 又， 由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 33．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 34．（2024高三·全国·专题练习）若正实数满足，则最小值为 【答案】 【分析】“１”的妙用，凑出定值，利用基本不等式求解即可. 【详解】由于都为正数，且． 由 ，当且仅当，时， 即时，等号成立.所以有最小值． 故答案为：． 题型六 双换元法求最值 35．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设为正实数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，将所求代数式转化为关于的代数式，再结合基本不等式及1的代换求解即可. 【详解】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 36．（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：把用表示化简，再应用基本不等式计算得出最大值；法二：令，再化简应用基本不等式计算得出最大值； 【详解】法一：由实数 满足， 设，解得， 则， 当且仅当，及时等号成立， 所以的最大值为. 法二：令， 则 ， 由得， 故， 当且仅当即即时，取“=”， 故选：D. 37．（2025高一·全国·专题练习）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 【分析】解法1：双变量换元法，设，，可得，再利用1的妙用可求最小值. 解法2：配凑法，可得，利用基本不等式可求最小值. 解法3：权方和不等式，可得，可求最小值. 【详解】解法1：设，， 则，所以 ． 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以的最小值为． 解法2：因为，则， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． 解法3：， 当且仅当，即，，即，时取等号． 所以的最小值为． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知为实数，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】解法1：令，，解出代入，利用基本不等式即可求解；解法2：齐次化令可得，令，代入整理利用基本不等式求解即可. 【详解】解法1：令，，则，，且， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是. 解法2：当时，由得无解，所以， 令， 则， 令， 则，显然， 所以， 当时，无解，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即的最小值为， 故答案为： 39．（22-23高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设出，，则，故，由基本不等式求出，得到. 【详解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 题型七 构造不等式求最值 40．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：由题意得，利用基本不等式得，进而解二次不等式即可求解； 解法2：令得代入得，由即可求解. 【详解】解法1：因为实数满足，所以． 再由，可得（当且仅当时等号成立）， 解得，所以， 故的最大值为． 故选：A. 解法2：令，则，代入可得，， 整理得，得， 故． 故选：A. 41．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式得到，解不等式，求出答案. 【详解】因为，所以． 因为，所以． 令，则，解得或． 因为，所以（取等号）． 故的取值范围是． 故选：A 42．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 43．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 【答案】A 【分析】由已知等式化简后用基本不等式即可解得结果. 【详解】∵，，， ∴， 令，则，即， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为4． 故选:A． 题型八 齐次化求最值 44．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 【答案】B 【分析】根据题意整理得，令，利用基本不等式求得，进而整理可得，结合对勾函数求最值. 【详解】∵， 令， ∵，，则，当且仅当，即时等号成立， 故，可得， 又∵在上单调递增，则， ∴，即S的最大值是. 故选：B. 45．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值． 【详解】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由基本不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． 46．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 47．（21-22高二下·湖南长沙·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】，，，即有且， 将代入得， 令，，， ， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值，即的最小值是. 故选：D. 题型九 万能K法 48．（2023·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，把方程化为，根据方程有解，利用，求得，进而求得的最大值. 【详解】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 故选：B. 49．（23-24高三下·浙江·阶段练习）若正数，，满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】将看成关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，再将问题转化为关于的不等式有解，从而，进而得到结果. 【详解】解：把式子看作是关于的方程，则问题等价于关于的方程有解，则，即，则问题转化为关于的不等式有解，则，化简得，所以，此时，，符合条件. 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程，注意转化思想在解题中的应用，属于中档题. 题型十 待定系数法 50．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 【答案】D 【分析】由基本不等式结合待定系数比例即可得解. 【详解】设，， 令，解得，所以， 即，当且仅当，时，等号成立． 故选：D. 51．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 【答案】 【分析】设，则利用基本不等式计算可得. 【详解】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 52．（23-24高三上·安徽池州·阶段练习）已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以的最大值为，选C. 53．（2022高三·全国·专题练习）为正整数，求的最小值为 . 【答案】4 【分析】引入参数k使之满足，结合基本不等式的应用即可求出结果. 【详解】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 故答案为：4. 题型十一 多次使用基本不等式求最值 54．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】64 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】法一：因为，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最小值为64． 法二：因为，，， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为64． 故答案为：64. 55．（20-21高三上·浙江·阶段练习）已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得出，利用不等式的性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】，，， 由于、、均为正数，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 56．（2020·天津·一模）已知，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】化简原式为，两次运用基本不等式可得结果. 【详解】 ， 当且仅当，即等号成立， 所以，的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 57．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 58．（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 . 【答案】16 【分析】利用均值不等式求的最大值表达式，再利用均值不等式求解作答. 【详解】因，则，当且仅当，即时取“=”， 因此，，当且仅当，即时取“=”， 所以，当时，取最小值16. 故答案为：16 题型十二 基本不等式的综合应用 59．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2）9 【分析】（1）方法一：利用基本不等式求解，方法二：利用二次函数求解； （2）根据已知条件构造基本不等式求解即可. 【详解】（1）方法一：因为，所以， 所有， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为； 法二： 函数图象开口向下，对称轴为，由， 所以当时，的最大值为 （2）∵， ， ∴， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 60．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知，求的最小值 （2）已知，，若，求的最大值； 【答案】（1）9；（2）2 【分析】（1）先将变形配凑得，再利用基本不等式即可求解. （2）由题设结合基本不等式得，即，解该不等式即可得解. 【详解】（1） 因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号. 所以的最小值为9. （2）（1）因为，，依题意得， 令，则，即， 又，所以，即，从而， 由及，得，， 故当，时，取得最大值为2. 61．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由条件结合基本不等式求的最值； （2）由条件可得，由此可得，展开结合基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为，，且， 所以，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 即的最大值为； （2）因为正数，满足， 所以， 故 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 62．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 63．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可求解. （2）利用基本不等式即可求解. （3）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以，当且仅当时取等号， 故最小值为4，此时. （2）因为， 所以，当且仅当时取等， 故最大值为. （3）因为， 所以，当且仅当时取等号， 故所求最大值为. 题型十三 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 64．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将恒成立转化为最值，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】对于任意，恒成立，则 而，当且仅当时取等号，所以. 故选：D. 65．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 66．（2021高一·上海·专题练习）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值． 【详解】由，知，，， 由，得， 又， ，当且仅当， 即时，取得最小值9， ，的最大值为9． 故选：． 67．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数，利用基本不等式求在时的最小值即可确定实数的取值范围. 【详解】对任意的，使得均成立，可转化为：， 根据基本不等式，时，（当且仅当时取等）， 因此，，. 故答案为：. 68．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 69．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】变形得，利用基本不等式求的最小值，进而解决恒成立问题. 【详解】因为，，所以由，得，即恒成立； 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立； 因此的最小值为4，则，解得或； 故答案为： 70．（24-25高三上·天津·阶段练习）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】由题意可得的最大值，由，运用基本不等式，及解方程，可得，进而得到的最小值． 【详解】由题意可得的最大值， 由 ，（当且仅当取得等号）， 则， 当，即时，， 故的最大值为． 即有． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：，根据得. $专题02 基本不等式求最值问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 直接法求最值 1．（2025·上海金山·三模）若，，且，则的最小值为 ． 2．（24-25高一上·甘肃白银·阶段练习）函数的最大值为 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则函数的最小值是 ． 4．（24-25高三上·上海·期中）若，，，则的最大值是 . 5．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为 . 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，，且，则的最小值为 . 7．（25-26高一上·上海·开学考试）已知且，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C．2 D．4 题型二 配凑法求最值 8．（24-25高一下·云南昆明·期末）函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 11．（2020高一·全国·专题练习）已知，求的最大值； 12．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 13．（24-25高三下·上海·阶段练习）设，，若，则的最大值为 . 14．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）求函数的最小值； （2）求函数的最大值. 题型三 分式分离法求最值 15．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 16．（24-25高一上·上海·开学考试）若，则的最小值为 . 17．（2022高一上·上海·专题练习），则的最小值是 ，此时a＝ ． 18．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）已知，求的最小值 19．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 题型四 消元法求最值 20．（2023高三·全国·专题练习）已知，若，则的最小值为 21．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知正实数满足，则的最小值是（    ） A． B．4 C．5 D． 22．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知，若，则的最小值为 ． 23．（2023高一·全国·课后作业）已知正实数x，y满足，则的最大值是 . 24．（2022高三·全国·专题练习）已知实数满足，则的最小值是 ． 题型五 乘“1”法求最值 25．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试），，，则的最小值是（    ） A．12 B．13 C．16 D．18 26．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 27．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，，且，则的最小值为 ． 28．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 29．（24-25高一上·上海嘉定·期末）若，则的最小值是 . 30．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 31．（24-25高二上·上海·期中）已知x、y均为正实数，且，则的最大值为 ． 32．（24-25高一上·上海·阶段练习）设且，则的最小值为 . 33．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 34．（2024高三·全国·专题练习）若正实数满足，则最小值为 题型六 双换元法求最值 35．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）设为正实数，且，则的最小值为 . 36．（24-25高一·江苏·假期作业）若实数 满足，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 37．（2025高一·全国·专题练习）已知，是正实数，且，求的最小值． 38．（2025高三·全国·专题练习）已知为实数，且，则的最小值是 ． 39．（22-23高一上·山西·期中）若非零实数，满足，则的最大值为 . 题型七 构造不等式求最值 40．（2025高一·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 43．（24-25高一上·安徽宿州·阶段练习）已知x，y均为正数，，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．7 D． 题型八 齐次化求最值 44．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）已知，，，则（    ） A．S的最大值是 B．S的最大值是 C．S的最大值是 D．S的最大值是 45．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 46．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 47．（21-22高二下·湖南长沙·阶段练习）已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 题型九 万能K法 48．（2023·湖南衡阳·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 49．（23-24高三下·浙江·阶段练习）若正数，，满足，则的最大值是 . 题型十 待定系数法 50．（23-24高三上·河北邢台·期末）设，若，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．4 51．（23-24高一下·安徽安庆·开学考试）已知实数，，满足，则的最大值为 52．（23-24高三上·安徽池州·阶段练习）已知x，y，z为正实数，则的最大值为 A．1 B．2 C． D． 53．（2022高三·全国·专题练习）为正整数，求的最小值为 . 题型十一 多次使用基本不等式求最值 54．（2024·全国·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ． 55．（20-21高三上·浙江·阶段练习）已知正实数、、满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 56．（2020·天津·一模）已知，则的最小值为 . 57．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 58．（2022·天津·一模）设，那么 的最小值是 . 题型十二 基本不等式的综合应用 59．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知求的最大值； （2）已知，求的最小值． 60．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知，求的最小值 （2）已知，，若，求的最大值； 61．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）（1）已知，，且，求的最大值； （2）若正数，满足，求的最小值； 62．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 63．（24-25高一上·河南周口·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值： (1)若，求的最小值； (2)已知，且，求的最大值； (3)若，求的最大值. 题型十三 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 64．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）对于任意，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 65．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 66．（2021高一·上海·专题练习）已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（    ） A．3 B．4 C．8 D．9 67．（24-25高二下·上海·期末）若对任意的，使得均成立，则实数的取值范围 ． 68．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是 ． 69．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若对任意正实数a，b；不等式恒成立，则实数k的取值范围为 . 70．（24-25高三上·天津·阶段练习）若不等式对于一切正数恒成立，则实数的最小值为 . $