专题01集合与逻辑中常考参数问题16题型（期中专项训练）高一数学上学期沪教版必修第一册

专题01 集合与逻辑中常考参数问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 【答案】3或 【分析】 根据，所以，然后根据集合的性质分别进行讨论验证即可． 【详解】 因为，所以，解得或，符合题意． 故答案为：3或． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 【答案】 【分析】由，可得或，然后分情况求出的值，再利用集合中的元素的互异性判断即可 【详解】由，可得或， 由，解得，经过验证，不满足条件，舍去. 由，解得或，经过验证：不满足条件，舍去. ∴. 故答案为：. 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 【答案】3 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合的互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，，可得或，解不等式组与方程即可. 【详解】由已知，则，即，解得或； 又，则或，即或，解得； 综上所述或， 故答案为：. 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为 (1)若求实数取值范围; (2)求解集 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）对进行分类讨论，结合一元一次不等式的解法求得. （2）根据已知条件列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1）由于，所以； （2） 依题意 当时，不等式转化为，解集为空集. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 当时，不等式转化为，即不等式的解集为. 题型二 根据集合中元素的个数求参数 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】分与两种情况，根据题意讨论求解即可. 【详解】①当时，，此时集合，符合题意； ②当时，要使方程只有一解， 则，此时集合，符合题意； 综上，实数的值为或. 故答案为：或 7．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】当时，，符合题意. 当时，. 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 【答案】或 【分析】考虑和的情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得，此时有一个元素，满足要求， 当时，需要，解得， 综上，或. 故答案为：或 10．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 题型三 根据集合的包含关系求参数（重点） 11．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 12．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知集合，则 . 【答案】0或或 【分析】对集合是否为空集进行分类讨论，解方程即可. 【详解】根据题意可知, 若，可知，满足题意； 若，即时，可知, 若，可知或， 解得或; 综上可知或或. 故答案为：或或 13．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】分类讨论以确定集合是否是空集，再根据从而解得的取值范围． 【详解】当时，集合满足； 当时，要使得，则需满足，即满足此种情况的的取值范围为； 综上，当时，实数的取值范围为． 故答案为： 14．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，然后根据列不等式组即可求解. 【详解】由题意可得，又，， 所以，解得. 故选：B. 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 题型四 根据两个集合相等求参数 16．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知集合，，且，则集合 . 【答案】 【分析】利用集合相等与集合中元素的互异性求解即可. 【详解】因为， 当时，解得，此时不满足集合元素的互异性； 当时，解得或（舍去），即满足结合元素的互异性， 所以， 故答案为：. 17．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【答案】1 【分析】利用集合相等，分和两种情况求解. 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 18．（24-25高一上·上海·期中）1.若集合，则的值为 【答案】12 【分析】根据集合相等的表示及二次方程求解元素即可. 【详解】因为， 所以集合可表示为，所以. 故答案为：12. 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知.若集合，则的值为 . 【答案】 【分析】利用集合相等，判断元素的取值情况，求得，即可求得答案. 【详解】因为集合， 所以且，所以，所以，解得， 所以. 故答案为：. 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得，代入计算，即可求解. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性， 所以，则. 故答案为： 题型五 根据集合交集的结果求参数（常考点） 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得， ，， 当时，，可得； 当时，，显然成立； 当时，，可得； 综上所述，. 故答案为： 22．（2024高三·全国·专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】解二次不等式和绝对值不等式化简集合，再由集合交集的结果得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为， =或， 又，则， 如图1，图2，有或，解得或. 综上，所求的取值范围为或. 故答案为：或. 23．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值为 【答案】1 【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可. 【详解】由，可得直线与平行， 故，解得， 故答案为： 24．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 . 【答案】或 【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果. 【详解】由题意，集合中，可整理成， 所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集. 因为，所以直线与直线平行或有一个交点， 当两直线平行时，；当两直线交点为时，. 故答案为：或. 25．（2023高一上·上海·专题练习）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 26．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解出集合，再根据有两个元素列出不等式组求解. 【详解】，因为有两个元素， 所以或，解得或， 所以. 故答案为： 题型六 根据集合并集的结果求参数（常考点） 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据并集结果得到，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 28．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算，即可判断参数取值范围. 【详解】由已知解得：， 因为 所以． 故选：D． 29．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则的值等于 ． 【答案】 【分析】由两集合的并集和交集确定，进而可求解； 【详解】：因为， 而,, 所以，即是方程的根， 因此， 即 所以， 故答案为： 30．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 31．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，已知集合，集合． (1)求集合； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解分式不等式，即可求出集合； （2）解一元二次不等式化简集合，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）由等价于，解得， 所以； （2）由，即，解得， 所以， 因为，所以， 所以，解得，即的取值范围. 题型七 根据集合补集的结果求参数 32．（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，，求实数a的值. 【答案】 【分析】根据补集的定义得出关于a的方程，分类讨论两种情况：且或且，对每一种情况求解a的值，并且代入集合中进行验证得解. 【详解】由已知得： （1）且，由解得，代入中不满足，故不成立； （2）且，由得或， 当时，不满足， 当时，满足， 且时，，，满足题意， 所以. 33．（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 【答案】 【分析】利用可得答案. 【详解】因为，， 所以， 解得，或， 当时，，，不是的子集， 不成立，所以； 当时，，，，成立； 所以. 34．（21-22高一上·上海徐汇·期中）设全集{为小于20的非负奇数}，若，，且，则 . 【答案】 【分析】由题意求出全集，通过，，且，画出韦恩图，即可直接得到 【详解】因为{为小于20的非负奇数}， 因为，，且， 画出韦恩图，如图： 则. 故答案为： 35．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求； （2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a 【详解】（1），，由得， 当，则； 当，则； 当，则. 综上可得实数a组成的集合为； （2）由全集为A，，即得， ∴，∴，∴. 综上， 题型八 根据交并补混合运算求参数 36．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 【答案】或 【分析】由得，再分类讨论讨论和，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为， 当时，，则，此时满足； 当时，，则，解得； 综上，或. 37．（2023高一·上海·专题练习）设全集，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求出集合，再根据即可求出的取值范围 【详解】由可得， 又，， 所以 解得， 即实数的取值范围是， 故答案为： 38．（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集且，，，且，则的值为 ． 【答案】66 【分析】结合韦达定理，根据集合运算结果求解即可. 【详解】解：因为全集，， 所以3，9，12，15中有两个属于， 因为中的方程中，两根之积，所以， 所以，又，所以， 因为中的方程中，两根之和，所以， 则，所以． 故答案为：. 39．（22-23高三上·上海奉贤·期中）已知全集为实数集，集合，， (1)求A∩B; (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）求出集合A、B，再求交集即可； （2）求出集合C和，再利用集合间的包含关系列不等式求解. 【详解】（1）， 或， （2）或 ，则 又或， ，解得 40．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集 (1)若集合，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）解不等式化简集合，再利用给定运算的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）解不等式，得，即， 解不等式，得，即， 由，得，因此，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由（1）知，，， 由，得，因此或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型九 结合韦恩图求参数 41．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据维恩图可知阴影部分为集合，根据补集、交集运算求解； （2）转化为，分类讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 42．（24-25高一上·上海松江·期末）设全集，集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)条件选择见解析，. 【分析】（1）解不等式化简集合，再结合韦恩图求出集合. （2）选择条件①②③，利用交集、并集的结果，结合集合的包含关系分类列式求解. 【详解】（1）解不等式，得，则， 不等式，解得，则， 或，所以. （2）选择条件①，，则， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件②，，则， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 选择条件③，，而，因此， 当，即时，，满足，则； 当，即时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 43．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分； (2)已知，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图可知所求集合为，解不等式分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果； （2）根据并集结果可知，由此可构造不等式求得的范围. 【详解】（1）图中阴影部分表示的集合为， 由得：，； 由得：，； . （2），， 由得：，，，解得：， 实数的取值范围为. 44．（23-24高一上·河北·阶段练习）全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据交集和补集运算求解，然后利用有解求解的范围即可. 【详解】因为，，所以， 图中阴影部分表示的集合为，即， 由题意，或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为： 45．（23-24高一上·贵州遵义·期末）设全集，集合，集合，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）阴影部分表示的集合为，分别求解两个集合，求解集合的运算； （2）由题意可知，根据包含关系，比较端点值，即可求解. 【详解】（1）当时，， ，解得：，即， 则或，所以阴影部分表示的集合为； （2）由（1）可知， 若，则，， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是. 题型十 根据充分条件求参数 46．（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解. 【详解】“”是“”的充分条件，则. 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 47．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件转化为，即可根据集合间的关系求解. 【详解】设. 因为是的充分条件，所以， 所以. 故答案为：. 48．（23-24高一上·上海静安·期中）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件的定义求解. 【详解】因为是的充分条件， 所以， 所以. 故答案为： 49．（21-22高一上·全国·课后作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，根据子集关系列式解得参数范围即可. 【详解】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得. 故选：D. 50．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）设或，或， 因为是的充分条件，所以， 当时，即，此时，不满足题意； 当时，即，有，解得； 综上：m的取值范围为. （2）因为是的必要条件，所以， 当时，即，此时，成立； 当时，即，有，无解. 综上：m的取值范围为. 题型十一 根据必要条件求参数 51．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意得到是的子集，从而得到不等式，求出答案. 【详解】因为是的必要条件，所以是的子集， 故，解得， 故答案为： 52．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知命题：，命题：，若是的必要条件，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用解分式不等式和绝对值不等式化简命题，，再利用必要条件的定义得到关于m的不等式即可求解. 【详解】，即命题： ，即命题： 由是的必要条件，知 ，解得，则的取值范围是 故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 53．（21-22高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】是的必要条件     ，解得：， 即的取值范围为. 故答案为： 54．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可. （2）根据集合并集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）由，所以或，故集合. 因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，实数的值为或. （2）因为“”是“” 的必要条件，所以. 对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想有，须有， 此时：，该方程组无解. 综上，实数的取值范围是. 55．（22-23高一上·天津武清·阶段练习）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出集合，再求出，从而可求； （2）根据题设条件可得，从而可得关于参数的不等式组，从而可求参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，而，故 故. （2）因为非空，故即. 因为“”是“”的必要条件，故， 故，故. 题型十二 根据充分不必要条件求参数（难点） 56．（24-25高一上·上海·期中）已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】利用题给条件列出关于实数a的不等式，解之即可求得实数a的取值范围. 【详解】由p是q的充分非必要条件， p：，q：， 可得，即，则实数a的取值范围是 故答案为： 57．（24-25高一上·天津·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 58．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可. (2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以,即可求出a的取值范围. 【详解】（1）当时，化为，则， ，； 化为，则， 所以 （2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 又， 所以且等号不同时成立， 解得，即的取值范围为． 59．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集为，集合，. (1)当时，求、； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用分式不等式的解法可求得集合，利用并集的定义可求得集合，利用交集和补集的定义可求得集合； （2）由已知条件可得出，分、两种情况讨论，在时，直接求出实数的取值范围；在时，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 由可得，等价于，解得， 所以，， 所以，，， 故或. （2）解：由题可知：， 若集合，则，解得； 若集合，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 60．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们的交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【详解】（1）已知集合，当时，，即. 等价于，所以集合. 对于集合，这是一个分式不等式. 分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合. 由前面求出的，， 所以. （2）由集合，解不等式可得， 即，所以集合. 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集. 则有（等号不同时成立）. 解第一个不等式，得；解第二个不等式，得. 综上，实数的取值范围是. 题型十三 根据必要不充分条件求参数 61．（25-26高三上·上海·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式可求得的解集，由必要不充分条件定义可得两集合的包含关系，求得结果. 【详解】根据题意，解不等式，可得，即不等式的解集为， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：C. 62．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 63．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】解分式不等式和一元二次不等式，讨论的取值范围，确定，由充分必要条件的定义可得，结合集合间的包含关系建立不等式组，解之即可求解. 【详解】由题意，， ， 当即时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 则，解得，经检验满足题意； 当即时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以， 则，解得；经检验满足题意； 当即时，，满足. 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 64．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求和； (2)已知，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或， (2)或 【分析】（1）当时，得出集合，解分式不等式即可得集合，再根据补集和并集的运算，从而可求出； (2)由题意知，列出或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题可知，当时，则， 或， 则， 所以. （2）由题可知，是的必要不充分条件，则是A的真子集，又 所以或， 解得：或； 65．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合集合，集合. (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先求解出集合和集合，再根据交集和并集的定义进行计算. （2）根据是成立的必要不充分条件得出集合与集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】（1）已知，解不等式： 移项可得，通分得到，即. 此不等式等价于. 解，可得，所以. 已知，当时，. 解不等式，可得，即，所以. 所以. . （2）已知，解不等式，可得，即，所以. 因为是成立的必要不充分条件，所以. 则有（不能同时取等号），解得. 所以实数的取值范围是 题型十四 根据充要条件求参数 66．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式结合解一元二次不等式，即可得答案. （2）由是的充要条件，可知3和2是方程的两个根，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）若时，在上恒成立， ，即， （2）若是的充要条件，则3和2是方程的两个根， 由韦达定理知， 解之得. 67．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 【答案】(1)． (2)2 【分析】（1）由题意是B的真子集，构造不等式即可求解； （2）由题意得到，进而可求解. 【详解】（1）由题意 A 是B的真子集，所以，即， 所以实数的取值范围为. （2）因为是成立的充要条件，所以, 所以，即．即实数的值为2． 68．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充要条件知，不等式的解集相同，建立方程得解； （2）由充分不必要条件可化为，解不等式得解. 【详解】（1）因为是的充要条件， 所以， 解得. （2）因为是的充分不必要条件， 所以， 即，解得， 所以的取值范围. 69．（21-22高一上·全国·单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】答案见解析 【分析】若选择条件①，可得集合A是集合B的真子集，列出不等式组可得实数m的取值范围；若选择条件②，可得集合B是集合A的真子集，列出不等式组可得实数的取值范围；若选择条件③，列出方程组可得集合A等于集合B可得答案. 【详解】若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有，解得， 所以，实数m的取值范围是； 若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集， 则有，解得， 所以，实数的取值范围是； 若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合A等于集合B则有，方程组无解， 所以，不存在满足条件的实数. 题型十五 根据命题的真假求参数 70．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）若“对任意，”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】把命题“对任意，”是假命题转化为与轴至少有一个交点来解即可. 【详解】“对任意，”是假命题，则与轴至少有一个交点， ，即或. 故答案为：或. 71．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【分析】由题意可得“任意，使得”是真命题，结合一次函数性质即可求解. 【详解】解：若“存在，使得”是假命题， 则“任意，使得”是真命题， 所以，即. 故答案为：. 72．（24-25高一上·上海·期中）已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知，结合绝对值的性质分析求解即可. 【详解】若存在使不等式成立，可知， 因为，当且仅当时，等号成立， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 73．（24-25高一上·上海·期中）已知命题p：存在，使，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，使为真命题，讨论m的取值，结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知命题p：存在，使，命题p是假命题， 则，使为真命题， 当时，恒成立，符合题意； 当时，需满足，解得， 故实数m的取值范围是. 故答案为： 74．（24-25高一上·上海·阶段练习）若命题：“存在实数，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为其命题的否定为真命题，然后结合一元二次不等式恒成立，列出不等式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，命题的否定“，不等式恒成立”为真命题， 当时，即，当时，不等式为恒成立； 当时，不恒成立，即不满足； 当时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为： 题型十六 根据或且非的真假求参数 75．（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知集合，是否存在实数，使得是成立的________________？ (1)把充要条件补充在上面的问题中横线部分，若问题中的实数存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (3)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，转化为，列出方程组，即可求解； （2）根据题意，得到，转化为，列出不等式组，即可求解； （3）根据题意，转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：若存在实数，使得是成立的充要条件，即， 可得，此时方程组无解， 所以不存在实数，使得是成立的充要条件. （2）解：因为，可得，所以， 若存在实数，使得是成立的充分不必要条件，即， 可得且等号不能同时成立，解得，即， 即实数的取值范围为. （3）解：若存在实数，使得是成立的必要不充分条件，即， 可得且等号不能同时成立，解得，即， 又因为，所以，所以实数的取值范围为. 76．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）． (1)若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由一元二次不等式解出和，再取并集即可； （2）解含有参数的一元二次不等式得到，再根据是的充分条件得到结果即可； 【详解】（1）：实数满足，解得， 当时，：，解得， ∵和至少有一个为真，∴或，∴， ∴实数的取值范围为； （2）∵，由，解得， 即：， ∵是的充分条件， ∴，∴， 实数的取值范围是. 77．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】根据题意，分别求出、为真命题时的取值范围，再分“真假”和“假真”两种情况讨论，求出的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于方程，变形可得，解可得或， 若为真命题，则或，则有， 对于，只有一个实数满足不等式，则有，解可得或， 若命题和中有且仅有一个是真命题，有2种情况， ①假真，为假时，或；为真时，或， 假真不能同时成立，此时无解； ②真假，为真时，；为假时，且， 此时或； 综合可得：或，即的取值范围为． 故答案为：． 78．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，利用集合的运算结果得到，即可求解； （2）利用，将问题转化成或集合中元素是非正数，从而通过方程的解，求得，即可求解； （3）利用（1）和（2）中结果，分命题甲是真命题，命题乙是假命题和命题甲是假命题，命题乙是真假命题两种情况，即可求解. 【详解】（1）因为，又， 所以，解得， 所以当命题甲是真命题，实数的取值范围为. （2）因为，且，则或集合中元素是非正数， 又，所以中元素是方程的解， 当时，，解得， 当集合中元素是非正数时，设是方程的根， 因为，则且，解得， 所以当命题乙是真命题，实数的取值范围为. （3）当命题甲是真命题，命题乙是假命题时，，得到， 当命题甲是假命题，命题乙是真命题时，或，得到， 所以命题甲和乙中有且只有一个真命题，实数的取值范围为或. 79．（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于 的不等式对恒成立． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用二次函数的性质求命题为真命题时实数的取值范围； （2）先确定命题成立时实数的取值范围，再分类讨论求解得结果. 【详解】（1）命题：关于的方程有两个相异负根． 则，解得：. 若命题为真命题，则实数的取值范围为. （2）命题：关于的不等式对恒成立, ，解得：. 若这两个命题中，有且仅有一个是真命题， 若真假，，解得：， 若真假，，解得：， 综上：实数的取值范围为：. 80．（21-22高一上·上海杨浦·期中）已知为实数，命题甲:关于的不等式的解集为；命题乙:关于的方程有两个不相等的负实数根. (1)若甲为真命题，求实数的取值范围; (2)若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论，即可求解； （2）根据二次函数的性质，求得命题乙成立时的取值范围，结合（1）知，甲为真命题时，满足，求得甲乙都为假命题时，的取值范围，进而得到甲、乙至少有一个为真命题时，实数的取值范围. 【详解】（1）解：由命题甲:关于的不等式的解集为， 当时，不等式恒成立； 当时，则满足，解得， 综上可得，即实数的取值范围是. （2）解：由命题乙:关于的方程有两个不相等的负实数根， 则满足，解得， 又由（1）知，甲为真命题时，满足， 当甲乙都为假命题时，即满足，解得或， 所以甲、乙至少有一个为真命题时，可得， 求实数的取值范围. $专题01 集合与逻辑中常考参数问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 根据元素与集合的关系求参数 1．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，若，则 ． 2．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知集合，且，则 ． 3．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合，且，则实数的值为 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为．若，，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的不等式的解集为 (1)若求实数取值范围; (2)求解集 题型二 根据集合中元素的个数求参数 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合若集合为单元素集，则实数的值为 . 7．（24-25高一上·上海·期中）若集合只含有一个元素，则实数的取值范围为 ． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 9．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合至多有一个元素，则的取值范围是 . 10．（24-25高一上·山西·阶段练习）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 题型三 根据集合的包含关系求参数（重点） 11．（24-25高一上·上海·期末）已知集合，，且，则实数的值为 . 12．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知集合，则 . 13．（2025高一上·上海·专题练习）已知集合，，其中为实常数．若，则实数的取值范围是 14．（2025·河南·二模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·全国·单元测试）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 根据两个集合相等求参数 16．（20-21高一上·上海徐汇·期中）已知集合，，且，则集合 . 17．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 18．（24-25高一上·上海·期中）1.若集合，则的值为 19．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知.若集合，则的值为 . 20．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，，若，则 ． 题型五 根据集合交集的结果求参数（常考点） 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数a的取值范围是 22．（2024高三·全国·专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围是 . 23．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值为 24．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则 k的值为 . 25．（2023高一上·上海·专题练习）设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知集合，，若有两个元素，则实数a的取值范围是 . 题型六 根据集合并集的结果求参数（常考点） 27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是 . 28．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知集合，，若，，则的值等于 ． 30．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为 . 31．（24-25高一下·上海·阶段练习）设常数，已知集合，集合． (1)求集合； (2)若，求的取值范围． 题型七 根据集合补集的结果求参数 32．（24-25高一·上海·课堂例题）已知集合，，，求实数a的值. 33．（23-24高一上·上海·阶段练习）若全集，，，求实数的值. 34．（21-22高一上·上海徐汇·期中）设全集{为小于20的非负奇数}，若，，且，则 . 35．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知集合，且． (1)若，求实数a组成的集合． (2)若全集为A，，求m，a的值． 题型八 根据交并补混合运算求参数 36．（23-24高一上·上海徐汇·期中）已知全集，集合，若，求实数t的取值范围． 37．（2023高一·上海·专题练习）设全集，若，则实数的取值范围是 ． 38．（21-22高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集且，，，且，则的值为 ． 39．（22-23高三上·上海奉贤·期中）已知全集为实数集，集合，， (1)求A∩B; (2)若，求实数a的取值范围. 40．（23-24高一上·上海普陀·期中）设全集 (1)若集合，求实数a的取值范围； (2)若，求实数a的取值范围. 题型九 结合韦恩图求参数 41．（24-25高一上·贵州·阶段练习）已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 42．（24-25高一上·上海松江·期末）设全集，集合. (1)求图中阴影部分表示的集合 : (2)在① ; ② ; ③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围. 43．（22-23高一上·上海普陀·阶段练习）设全集为，集合，． (1)求如图阴影部分； (2)已知，若，求实数的取值范围． 44．（23-24高一上·河北·阶段练习）全集，，如图中阴影部分的集合为，若使得：，则的取值范围是 . 45．（23-24高一上·贵州遵义·期末）设全集，集合，集合，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)若，求实数的取值范围． 题型十 根据充分条件求参数 46．（24-25高一上·上海·阶段练习）若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为 ． 47．（24-25高一上·上海·阶段练习）设，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 48．（23-24高一上·上海静安·期中）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 49．（21-22高一上·全国·课后作业）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（  ） A．或 B．或 C． D． 50．（23-24高三上·上海·期中）已知或，或． (1)若是的充分条件，求实数m的取值范围； (2)若是的必要条件，求实数m的取值范围． 题型十一 根据必要条件求参数 51．（23-24高一上·上海崇明·阶段练习）已知：，：，若是的必要条件，则实数的取值范围是 . 52．（20-21高一上·上海闵行·期中）已知命题：，命题：，若是的必要条件，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 53．（21-22高一上·上海长宁·期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为 . 54．（24-25高一上·上海·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的值； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 55．（22-23高一上·天津武清·阶段练习）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围. 题型十二 根据充分不必要条件求参数（难点） 56．（24-25高一上·上海·期中）已知p：，q：，且p是q的充分非必要条件，则实数a的取值范围是 57．（24-25高一上·天津·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 58．（24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，． (1)若，求和B； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 59．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集为，集合，. (1)当时，求、； (2)若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围. 60．（24-25高一上·上海长宁·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型十三 根据必要不充分条件求参数 61．（25-26高三上·上海·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·上海·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，若“”是“”的必要非充分条件，则实数的取值范围为 . 64．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求和； (2)已知，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 65．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知集合集合，集合. (1)若，求和； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 题型十四 根据充要条件求参数 66．（24-25高一上·四川遂宁·阶段练习）命题或；命题. (1)若时，在上恒成立，求实数的取值范围； (2)若是的充要条件，求出实数的值. 67．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，集合． (1)若是成立的一个充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若是成立的充要条件，求实数的值． 68．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）已知． (1)若是的充要条件，求的值； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. 69．（21-22高一上·全国·单元测试）请在“①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件”这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.已知集合，，若是成立的________条件，判断实数是否存在？ 题型十五 根据命题的真假求参数 70．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）若“对任意，”是假命题，则实数的取值范围是 . 71．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是 . 72．（24-25高一上·上海·期中）已知存在使不等式成立，则实数的取值范围是 . 73．（24-25高一上·上海·期中）已知命题p：存在，使，若命题p是假命题，则实数m的取值范围是 ． 74．（24-25高一上·上海·阶段练习）若命题：“存在实数，使得不等式成立”是假命题，则实数的取值范围是 ． 题型十六 根据或且非的真假求参数 75．（24-25高一上·四川广元·阶段练习）已知集合，是否存在实数，使得是成立的________________？ (1)把充要条件补充在上面的问题中横线部分，若问题中的实数存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由； (2)把充分不必要条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由； (3)把必要不充分条件补充在上面的问题中横线部分.若问题中的实数存在，求出的取值范围，若问题中的不存在，请说明理由. 76．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）已知命题：实数满足，命题：实数满足（其中）． (1)若，且命题和中至少有一个为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 77．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知命题：关于的方程在上有解；命题：只有一个实数满足不等式．若命题和中有且仅有一个是真命题，则实数的取值范围是 ． 78．（24-25高一上·上海·阶段练习）命题甲：集合，且，命题乙：集合，且， (1)若命题甲是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题乙是真命题，求实数的取值范围； (3)若命题甲和乙中有且只有一个真命题，求实数的取值范围． 79．（22-23高一上·上海虹口·阶段练习）命题：关于的方程有两个相异负根．命题：关于 的不等式对恒成立． (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若这两个命题中，有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 80．（21-22高一上·上海杨浦·期中）已知为实数，命题甲:关于的不等式的解集为；命题乙:关于的方程有两个不相等的负实数根. (1)若甲为真命题，求实数的取值范围; (2)若甲、乙至少有一个为真命题，求实数的取值范围. $