精品解析：河南省安阳市2025-2026学年高三上学期调研考试数学试题

2026届高三年级调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 2025年高考结束后，7款大模型产品挑战高考数学试卷，得分按照从高到低排列如下：，则这7个数据的分位数为（ ） A. 135 B. 136 C. 144 D. 145 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 5. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知任意正整数都可以表示为4个自然数（可重复）的平方和．设，其中，则有序数组的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压，治疗后患者血压降低值服从正态分布，则（ ） A. B. 10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5 C. 2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为 D. 3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 11. 已知正数满足，则（ ） A. 是的函数 B. 是的函数 C. D. 的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，若是偶函数，则__________. 13. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则__________. 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，已知，则取得最大值时，__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男､女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男､女消费者各100名，得到如下列联表： 男消费者 女消费者 合计 喜欢粗加工水产品 65 40 105 喜欢深加工水产品 35 60 95 合计 100 100 200 （1）从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为，事件“此人喜欢深加工水产品”为，求和； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？ 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）证明是等差数列，并求的通项公式； （3）若，记数列的前项和为，求. 17. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，. （1）求棱的长； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程. （2）若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性. （2）若有3个不同的零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则其共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等式求出复数，然后根据共轭复数的概念求出. 【详解】因为，所以. 所以所求共轭复数为. 故选：B. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数、根式的性质求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设，故，而， 所以. 故选：D 3. 2025年高考结束后，7款大模型产品挑战高考数学试卷，得分按照从高到低排列如下：，则这7个数据的分位数为（ ） A. 135 B. 136 C. 144 D. 145 【答案】B 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的求法，即可求得答案. 【详解】将得分按照从低到高排列如下：， 由于，故这7个数据的分位数为136， 故选：B 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则的实轴长为（ ） A. 12 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程，可得，即可求得渐近线方程，根据条件，可得，求得m值，即可得答案. 【详解】由题意可得，所以， 所以一条渐近线的方程为， 所以，解得，则，所以实轴长. 故选：C 5. 已知向量满足，且，设的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量垂直数量积为零及向量夹角公式可得，再借助二倍角公式计算即可得. 【详解】由，则， 故，则， 故. 故选：D. 6. 在两块平行放置的木板之间放有4个半径均为的球，4个球两两相切，且其中3个球均与同一块木板相切，则两木板之间的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正四面体的几何性质，利用勾股定理求解高，即可求解. 【详解】小球两两相切，其中3个小球与同一块木板相切， 则四个球心的连线构成棱长为2的正四面体，如图：为球心，是三棱锥的高，则 即正四面体高为， 故两木板之间的最小距离为， 故选：C 7. 过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求导数，再设切点，求切线斜率，利用点斜式得切线方程，切线过，将其代入切线方程得到关于的一个等式，又切点在曲线上，将切点代入曲线方程，得到关于的另一个等式，这两个等式联立求出切点的坐标，同理得到另一个切点的坐标，最后利用直线方程的两点式得到直线的方程. 【详解】，，设切点， 在处的切线斜率为， 在处的切线方程为， 在曲线上， ， 在处的切线方程为， 此切线过点， 将代入切线方程成立，即， 解得，， 当时，，当时，，或. 同理可得切点或， 是不同的切点，不妨设，， 直线的方程为，整理得. 故选：A 8. 已知任意正整数都可以表示为4个自然数（可重复）的平方和．设，其中，则有序数组的个数为（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】经过分析发现或，利用排列组合即可计算出结果． 【详解】∵， ∴， ①， 有序数组的个数为； ②， 有序数组的个数为； 故满足条件的有序数组的个数为， 故选：B． 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在临床试验中某基因编辑疗法能用于治疗遗传性高血压，治疗后患者血压降低值服从正态分布，则（ ） A. B. 10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5 C. 2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为 D. 3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解A,根据二项分布的概率即可求解CD，根据概率的性质即可求解B. 【详解】对于A, ，A错误， 对于B,根据正态分布可知一个人血压降低值大于20的概率为，但不能得到10位患者治疗后血压降低值大于20的人数一定不小于5，故B错误， 对于C, 根据正态分布可知一个人血压降低值大于20的概率为，则2位患者治疗后血压降低值都大于20的概率为，故C正确， 对于D, 3位患者治疗后血压降低值都不大于20的概率为，则3位患者治疗后至少有1位的血压降低值大于20的概率为，故D正确， 故选：CD 10. 已知函数，则（ ） A. 是周期函数 B. 的图象关于直线对称 C. 的值域为 D. 当在上有2个不同的实根时，的取值范围是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数表达式，结合三角函数性质，逐一分析选项即可. 【详解】由，可知，所以定义域为， 因为， 所以是周期为的周期函数，所以A正确； 由， 所以，所以的图象关于直线对称，所以B正确； 当时，，因为，所以， 当时，，因为，所以， 所以的值域为，所以C正确； 时，，， 则在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 又在上有2个不同的实根，所以. 不妨设，则 ， ，即，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以的取值范围是，所以D错误. 故选：ABC 11. 已知正数满足，则（ ） A. 是的函数 B. 是的函数 C. D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知易得，，构造，结合的单调性知，，进而判断AB；对于C，可得，设，，利用导数分析其单调性，进而判断即可；对于D，可得，设，利用导数分析其单调性，进而判断即可. 【详解】由，则，即(*)， 因为为正数，则，即， 设，，则(*)即， 而，则在上单调递增， 故， 即，，故B正确； 由求导得，，令，得，令，得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则时，，若取，则对应的值有两个，故不是的函数，即A错误； 对于C，由，可得， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，故C正确； 对于D，由，可得， 设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知且，若是偶函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的定义和指数的运算计算可得结果. 【详解】由题意，得，即，所以， 化简得，从而. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，若为上一点，为钝角，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】若垂直于准线于，易得，从而有、，令，，应用余弦定理列方程求参数，注意即可得. 【详解】如下图，若垂直于准线于，则，故， 所以，在中，故， 令，，而，则， 所以，整理得， 所以，而为钝角，结合三角形边角关系知， 当时，，不符合要求， 所以，，经验证满足要求， 所以. 故答案为： 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，已知，则取得最大值时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用正弦定理将边化角，得到，再结合三角形内角和以及两角和的正弦公式进行化简，然后对进行化简，最后根据基本不等式求出表达式取得最大值时的条件，进而求出的值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以，则， 又因为，所以， 即， 由于是锐角三角形，， 等式两边同时除以，得到 ,即， 因为，所以，则， 那么, 由，可得, 令，则， 对于，根据基本不等式得 ，即的最大值为， 此时， 因为，且， 所以. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 近年来水产品消费呈上升趋势，为了解男､女消费者对水产品类型的偏好情况，随机调查了男､女消费者各100名，得到如下列联表： 男消费者 女消费者 合计 喜欢粗加工水产品 65 40 105 喜欢深加工水产品 35 60 95 合计 100 100 200 （1）从调查的消费者中任选一人，记事件“此人是女性”为，事件“此人喜欢深加工水产品”为，求和； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关？ 附：. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）能认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据古典概型以及条件概率的计算公式，即可求得答案. （2）计算的值，根据独立性检验的原理，即可得结论. 【小问1详解】 由题意知女消费者有100名，故， 喜欢深加工水产品的消费者有95人，故， 女消费者中喜欢深加工水产品的人有60人，故, 故; 【小问2详解】 零假设：消费者对水产品类型的偏好与性别无关， 则， 由此可推断零假设不成立， 则依据小概率值的独立性检验，能认为消费者对水产品类型的偏好与性别有关. 16. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求； （2）证明是等差数列，并求的通项公式； （3）若，记数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）在递归关系中令可求. （2）利用可得，故可证是等差数列，求出可求的通项公式； （3）利用裂项相消法可求. 【小问1详解】 因为，故，解得或， 而，故. 【小问2详解】 因为，故， 整理得到：，故是等差数列，且首项为，公差为， 故，而为正项数列，故，故， 故当时，，而也满足该式， 故. 【小问3详解】 ， 故 . 17. 如图，在三棱柱中，是边长为3的正三角形，. （1）求棱的长； （2）求证：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）5 （2）证明：由（1）可知中，满足， 所以，且，，平面， 所以平面，且平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，结合勾股定理和余弦定理，即可求解； （2）根据（1）的结果，转化为证明平面，即可证明面面垂直； （3）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的法向量，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 中，由余弦定理， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设与平面所成的角为， 所以. 18. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程. （2）若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0. （i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）（i）设，，利用齐次化结合韦达定理可得，故可求直线所过的定点； （ii）设，联立直线方程和椭圆方程结合韦达定理可得，从而化简后可得，故可证. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故可设， 故椭圆方程为：，代入，故， 故即椭圆方程为：. 【小问2详解】 （i）由椭圆方程可得，故. 设直线，， 由题设，否则由直线关于轴对称可得重合， 这与题设矛盾. 又椭圆方程可化为， 整理得到：，联立直线方程和椭圆方程可得： ， 故， 设，则， 故（▲）， 又，故为▲的两个解， 因为直线关于轴对称，故， 因为的斜率存在且不为零，故，故， 故直线，令，故， 故直线过定点. （ii）由题设. 设，联立椭圆方程可得， 故， 故即. 又，故， 直线，，, 由可得，同理， 故 ， 故为的中点即. 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性. （2）若有3个不同的零点，且. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1）在上单调递增； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）代入后直接求导，再利用二次求导法即可得到其单调性； （2）（i）令，分离参数得，设，求导后得其极值，数形结合有，解出即可； （ii）等价转化为证明，再设新函数，求导后得其单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，定义域为． 设，则，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 故在上单调递增． 【小问2详解】 （i）由有3个不同的零点可得，令，得， 设，则，令，得或， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极小值为，极大值为， 又当时，，当时，，所以的大致图象如图所示： 由图可知当时，有3个零点，所以的取值范围是． （ii）由（i）得，且， 要证，即证， 因为，所以，所以， 所以只需证． 设，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，则．故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $