湖北省恩施土家族苗族自治州2026届高三第一次质量监测暨9月起点考试数学试题

恩施州2026届高三第一次质量监测暨9月起点考试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设全集U={0,1,2},A={0,1},B={1,2}，则 A.{0,2} B.{1,2} C.{1} D.{0,1} 2．已知a=(1,x),b=(2,-1)，且a⋅b=1，则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3．若复数z满足i·z=1-i，则|z|= A.1 B.2 C.3 D.2 4．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，则 A.变量x与y不独立 B.变量x与y独立 C．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1 5．将函数y=tan2x的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则m的最小值为 A. B. C. D. 高三数学试卷 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 6．已知a<-1，当x∈[0,-a-1]时，的最小值是，则a= A.-2 B. C. D. 7．抛物线与直线x+2y-5=0交于A，B两点，O为坐标原点，且满足OA⊥OB，则p= A. B.1 C. D. 8．已知a，b为正实数，且a≤b+1，若恒成立，则m的最大值为 A. B. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9．已知ΔABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,，且，则下列说法正确的是 A. B.当B最大时，sinC-sinB=sinBcosA成立 C.若c=2a，则 D.若，则 10．正方体中，,AB=2,,E是棱AB上的动点（含端点），则 A.的最小值为2／6 B.若E是棱AB的中点，则点到平面的距离为 C.记四棱锥外接球的球心为0，则直线OE与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为［,1] D.若M，N分别是棱的中点，则在上的投影向量的模长为定值 11．已知函数，方程f(f(x))=m有三个不同的实根，则 A.方程f(x)=m有两个不同的实根 B.m∈[1,e] C.m-1是方程f(f(x))=m的一个根 高三数学试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．等差数列的公差为2，记前n项的和为若，则 13．平面直角坐标系中，直线y=a与y轴，曲线y=2lnx的交点分别为A，B，若曲线y=2lnx 在B点处的切线交y轴于C点，则 14．已知双曲线C的左右焦点分别为，直线与C 的右支交于A，B两点，P，Q分别为的内心，若，则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在直三棱柱中， （1）求证：平面 （2）求平面与平面的夹角的余弦值. B 16．（15分） 如图，正方形ABCD的边长为，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，其边长记为；然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，其边长记为；依此方法一直继续下去，则记第个正方形的边长为.已知 A H （1）求 （2）记第n个正方形区域未被第n+1个正方形区域覆盖的面积为Sn求使得成立的n的最小值. 高三数学试卷 第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 17．（15分） 恩 已知函数 （1）判断函数f(x)的单调性； （2）若，证明：g(x)>f(x); （3）证明： 18．（17分） 已知一个大盒子内装有6个黄乒乓球，,x(2≤x≤8)个白乒乓球. （1）现甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回，且甲乙摸球相互独立．已知乙在第1次恰好摸到白乒乓球的概率为 （i）求x的值； （ii）记ξ表示游戏结束时甲摸球的次数，求ξ的分布列和期望. （2）整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过3个黄乒乓球排在一起的概率为p，若，求x的最小值. 19．（17分） 已知O为坐标原点，椭圆Γ 的右焦点为F，过F的直线l交Γ于A，B 两点，P是Γ上一动点，且ΔOPF的面积最大值为 （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）若C是Γ上的另一点，满足四边形OACB为平行四边形． （i）求平行四边形OACB的面积； （ii）设C关于0的对称点为D，求证：A，B，C，D四点共圆． 高三数学试卷 第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三“起，点”考武 数学参考答案 (2025.09) ◆选择题 题号 6 > 9 10 11 答案 Y C B 0 D AD BCD ACD 填空题： 12.-9 13.24 1.解析：A∩B={,U={0,1,2},C(A∩B)={0,2, 2.解析：已知a=4x),b=(2,-1),且a.i=1,则x=1. 3.解析：因为iz=1-i,所以=1-，故=√2. 4.解析：X2≈0.837<x1=2.706,变量x与y相互独立. 5.解析：函数y=tan2x的图象平移后得到y=tan(2x+2m),其图象关于点(0,0)对称， 果么20-2m=xcZ)m-年低eZ,所以m的最小省为牙 21 <1,0≤x≤(a+D,f)=x2+=x+2-Q的最小值 4 若-a0号即-2水a-l,fa0-0+- 4a、 芳a+02分a-2.号-牙a=1,不合愿意合去，改= 7.解析：将直线x=-2y+5代入抛物线方程，得到y2+4py-10p=0, 设A(-2y+5,y),B(-2y,+5,y2),因为OA⊥OB,所以 0A0B=(-2y+5(-22+5)+%y2=5yy2-10(y+2)+25=0, 即-50p+40p+25=0,p= 2 第1页共10页 8.解析：ab+b+1≥ma+b)⊙ba+b)+1≥ma+b)台m≤b+1 a+b' 由期意可知加的最大的=6+方·又a≤b+1,所以 1 h2tb+6+行+，22 a+b 2 2 等号， 9.解析：cosB=+C一6=“十C一c≥C=，,B∈(0，，A正确， 2ac 2ac 当B= 5,sinC-sinB=0,sin BcosA≠0，显然不成立，B错误. 3 若c=2a,则6V5a.o8c=+c-,-5-,c<2 .C错误. 2ab 22a242 3 图ccE1b0c.合0A5mmA子5D 2 2 正确. 图1 图2 图3 10.解析：如图2，AE+C≥AC=√42+22=2V5,A错误. 1 2×1×2×2 如图3，V4-,D=Vn4,d= 3VD-48B1= 2 2W6 3 B正确. 1 x25×√2 2 四棱锥A一ABCD外接球的球心O即为该正方体的外接球球心，直线OE与面ABCD所成 角的正切值的取值范闺为 ),c正确 记向量NWE与M的夹角为O,NE在M上的投影向量的模长 WE·MNE.M NE|cos0 NE- ，以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴， NE1·M|M 第2页共10页 AD所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则Ex,0,0),N2,2,1),M(2,1,0), NE=(x-2,-2,-1),M=(0,-1,-1), WE·MM3W2 为定值，D正确. NMI 2 11.解析 因为f(x)在(-w,0]上单调递增，0<f(x)≤1：在(0，+w)上单调递增，f(x)∈R.结 合图象，方程f(f(x)=有三个不同的实数解一方程f(x)=有两个不同的实数解，A 正确、 设a,b是方程f(x)=m的两个不同实数解，且a≤0<b,那么e“=m∈(0，]， a=nm∈（←，0]：lnb+1=m,b=em-∈(，】，B错误. 令f)=a或f(田=b,此时ffx》=m.若f)=a合hnx+1=aex=el= e 若f四=b,血x+1=bex=e1-e 一或者e=b一x=nb=m-1,故m-1是方程 e f(f(x)》=m的一个解，C正确. 令=05= 。店=m-1,则3+x+5=me +-1，记 ee gm=严e+m-1,在0，正单调递，故gm≤0=e+1<e+e,D正确 12.解析 S,=1la+=1a,=14=1a=4+5d=14=-9. 2 13.解析 A,B的坐标分别为(0，a),(e2,,曲线y=2nx在B点处的切线方程为 y-a=2K-),从而c点的坐标为0，a-2》,4C12. e2 14.解析 如图，△AFF,内切圆与各边的切点为HI,J, AF-AF,=(AH+HF-(AI+IF =HF-IF,FJ-JF =2a 第3页共10页 设J(m,O),则=a,即P点的横坐标为a.同理可得Q点的横坐标为a.Pg的直线方程 为x=.直线AB的倾斜角为二， 4 因为∠PRR=红-=3T,1PHam3,∠QrR= π3ππ 21 428 288 IOJH,tag,所以 sn交 sin 3x sin交 o-8+80-列=(g+8o-)=吧+亚 3π、 8 π 8 Cos COS 8 sin sin cos 8 P0Va,即V5a=22(c-a),得2c=3a,e=C-3 a 2 ◆解答题： 15.解析 (1)证明：在直三棱柱ABC-AB,C1中，AA1⊥平面ABC,BCC平面ABC,所以 AA⊥BC.… …2分 又AB⊥BC,440AB=A,所以BC⊥平面AAB,B,AB1C平面AABB,所以 BCLAB1…4分 又AA=AB,所以四边形AABB为正方形，从而AB⊥AB· …5分 因为AB⌒BC=B,所以AB⊥平面A,BC.… 6分 (2)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，BB,所在直线为z轴， 建立空间直角坐标系，则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2V5,0,0),A1(0,2,2),B,(0,0,2),从而 AB=(0,-2,2)A4=(0,0,2),AC=(23,-2,0). …8分 设平面AACC的法向量为刀=(x,y,),则 7·A4=02z=0 7:AC=02W3x-2y=01 不妨取7=(（1V3,0)… ……10分 由(1)可知，平面ABC的法向量为AB,设平面ABC与平面AACC,的夹角为9， 则c0s0= |7:AB12V3V6 13分 |7AB,|2×2W24 第4页共10页 法二：过B1作AC的垂线，垂足为E,连接AE, 平面A,B,C⊥平面AACC B,E⊥AC1∴.B,E⊥平面ACCA 由(1)知，AB,⊥平面ABC,∴.∠ABE的余弦值即为所求 在△4B,E中，AB=AB+BB=8.AE=AE+AAf=5 |EE=4XSA-5设平面4BC与平面A4C,的夹角为6,9=∠A8E则 4C C080=BE=13 16 AB 24 (其他方法酌情给分) 16.解析(1)由题意， 号)+号)=Ga 2分 44-9,所以a-( …4分 2 2 d=(分，b,=-log,ad=n.neN …6分 @超=--传-传)”- ……8分 +5++=4a+aa+g-a。=a-店.=号（公》 22 。…9分 +1 …10分 2, 则f(n)为单调递减函数，… 12分 5) 1 <0 …13分 10 (43>0 …14分 又neW,.n≥5 .n的最小值是5.… …15分 第5页共10页 17.解析：(1)f'(x)=sinx-x∫"(x)=cosx-1≤0.…2分 f(x)在 f'(x)>0 …3分 单调递减……4分 (2)据(1)可知，f(x)≤f(0)=0恒成立.… ……5分 g（(x)=1+8nx-1+, ……6分 cOSx ∴g(x)在 上单调递减，在 ππ 4’2 上单调递增；……8分 -n2.gh20 2 则g(x)>f(x)成立… ……10分 法二：要证g(x)>f(x),即证g(x)-f(x)>0 令m=x-1m(士1-1生。 当x>1时m(x)<0,函数m(x)在x∈(1，+o)上单调递减， 当x<1时，m'(x)>0,函数m(x)在xe(0,1)上单调递增， m(1)=0∴.m(x)≤0，即nx-x≤1. h(x)=g(x)-f(x)=x-1n(cosx)+cosx+- x-1+ 即M)=号-x+oasx-(cosx)+71, 4 男，则≥ 1 4× 2,根据nx-x≤1，∴.cosx-ln(cos≥1， 2 约>号子0.到>)皮粒 (3)据1)可知.fx)=1-c0sx-号s021- …11分 2 2 令x=2,则cos2≥1-2 ……12分 n 第6页共10页 cos 2 22. 2 k 4 n cosco 2 相可得：eo1+ee子+o子(a-1小2f-日}-3+月 …14分 n 因为n≥2，则2>0，n-3+2>1-3,所以c 2 2 >n-3,故∑cos二>n-3对 n n =2 k n≥2，n∈N恒成立.……l5分 18.解析 (1)()由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为 Cc! ……2分 C6+.C5x 14 即x2-17x+30=0,解得x=2或x=15.… ……4分 因为2≤X≤8，所以x=2.… ……5分 (ii)根据游戏规则，5的取值可能为1,2,3,4.… ……6分 P5=)=C+C.C3=1+313 一十 C 4 14 28 ……7分 P(-2)-iCC519 …8分 CCC C28 728 9分 P(5=4)= CS C:1 ……10分 28 所以5的分布列为 2 13 9 5 28 28 28 28 第7页共10页 E5=1x13+2×9+3x5+4x1-25 9 ……11分 2828282814 (2)整理乒乓球时，要使得至少2个黄球相邻，则有“黄黄一黄黄一黄黄”，“黄黄黄一黄 黄黄”，“黄黄一黄黄黄黄”，“黄黄黄黄一黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”5种情况 可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上所以“黄黄一黄黄 一黄黄”有C1种排法： ……12分 “黄黄黄一黄黄黄”，“黄黄一黄黄黄黄”，“黄黄黄黄一黄黄”均有C1种排法，总共3C 种： ……13分 “黄黄黄黄黄黄”有C种排法.… 。。。。。。。。。。。。 …14分 不超过3个黄球在一起的情况只能为“黄黄一黄黄一黄黄”与“黄黄黄一黄黄黄”两种情况， 所以卫= Cin+Ci x2+2x、1 Ch+3C21+Cx2+8x+62 …16分 即有x2-4x-6>0,解得x>2+V10或x<2-√10（舍去），所以x的最小值为6.…17分 19.解析 (1)当P在短轴顶点时Sa最大，此时Soa,=)公1=，得a=2 ……2分 2 所以椭圆方程为：)十y=1………一 ……4分 (2)(①由题意可得，直线1的斜率存在，设A(化，y),B(x2,y2),直线1的斜率为k 直线AB的方程为y三Rx-D代入+y=1,得2K+Dx-4x+2-2=05分 4k2 2k2-2 底中4=1642k+D2E28张8>0，名+2-2T 2k y+y2=k(x+x2)-2k=- …6分 2k2+1 4k2-2k 从而C ).因为C点在椭圆上，代入椭圆方程解得2= ……7分 2k2+1'2k2+ 所以X+x2=1,xX2=- ……8分 |AB上=V1+2|x,-x=VM+2Vx+x)2-4xx,，又点0到直线AB的距离为 d= ……………9分 V1+k2 第8页共10页 平行四边形01CB的面积S-ABdk1V压+x,)2-4xx,= 6 …10分 2 (其他方法酌情给分) (ii)由(i)可知C1,-),C关于O的对称点为D(-1,k),A(x1,k(x-1),B(x2,k(x2-1), 1 因为x十x2=1,Xx2=- 2 即A(x1,-x),B(x2,-x).CA=(x-1,k-kx2)=(-x2,kx),CB=(-x,x2), 所以a.丽-0x=} ……12分 CACB+xx=+xix+x+x)= (x4+x) 16 又DA=(x+1,-(x2+1),DB=(,+1,-k(:+1), 所以DA-D8=1+x+D(x,+)=4' …13分 1DADB=v+02+k(x,+1)2.Vx,+1)2+k2(x+1)2= 45x+1)+(c+D 45, V162 思器+51心g士不防威气1 2 计算可得(1+x)2=3x2,(1+x)4=9x,(1+x)2=3x,(1+x2)4=9x,…15分 所以DADB=3CA-CB,cos<CA,CB- CA.CB =-COs<DA,DB>, CA.CB 所以∠ACB十∠ADB=元.…16分 根据对角互补的四边形为圆的内接四边形，可知A,B,C,D四点共圆. …17分 法二：曲线系解法 由)(2②)得ey=k6x-D即-y-k=0,1y=2x即x+2%=0 ÷过AB,C,D的=次曲线系为二x+y-1+2x-y-k(x+2)=0,元eR, 2 t,y,y的系数依次为+1-22，(2k2-), 由2得- ，.xy的系数(2k2-1)=0 号12旅，用石a=在1 ,.九存在 6k 6 第9页共10页 .A,B,C,D四点共圆. 注：曲线系设法不同，入的取值不同，因此，只需入有解即可. 第10页共10页