专题02 一元二次函数、方程和不等式（期中真题汇编，黑龙江专用）高一数学上学期人教A版

专题02 一元二次函数、方程和不等式 5大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ( 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据不等式的性质判断充分性，举例说明判断必要性，进而求解. 【详解】由，得，所以充分性成立； 当时，满足，但不满足，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨市·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个分析即可. 【详解】对于A，取，，，，此时，， 则有，所以A错误； 对于B，若，则，，有，所以B错误； 对于C，由，有，，又因为， 从而，所以C正确； 对于D，若，若，同号，则有；若，异号，则有，所以D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江市·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的性质以及定义特殊值可求得结果. 【详解】取，，可知A，B错误； 因为，所以C正确； 取，可知D错误； 故选：C. 4．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用待定系数法求得，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】令， 则，解得，则， 因为，所以， 因为，所以， 则，即. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】BCD 【分析】利用不等式性质判断A、B、C，应用作差法判断D. 【详解】A：时有，错； B：由，必有，对； C：由，即，则，对； D：， ，且，，，故， 所以，即，对. 故选：BCD 6．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质可得. 【详解】选项A：因，又因，所以，故A正确； 选项B：当，，时，，，但，故B错误； 选项C：当时，，又得，故C正确； 选项D：因，所以，由，，得，故D错误， 故选：AC 三、非选择题 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨市·期中）设，则与的大小关系是 . 【答案】 【解析】由作差比较法，求得，即可得到与的大小关系. 【详解】由作差比较法，可得，所以. 故答案为：. 8．（24-25高一上·黑龙江绥化市·期中）设，，，则a，b，c之间的大小关系为 【答案】 【解析】利用不等式性质比较大小即得结果. 【详解】 ，，， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了利用不等式性质比较大小，属于基础题. 9．（24-25高一上·黑龙江伊春市·期中）已知，，，求证： 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式性质即可证明. 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴. ( 地 城 考点0 2 基本不等式 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，即最小值为1. 故选：A 2．（24-25高一上·黑龙江伊春市·期中）若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 【答案】A 【分析】由均值不等式计算即可得解. 【详解】由题意，，由均值不等式， 当且仅当，即时等号成立， 故有最小值6. 故选：A 3．（24-25高一上·黑龙江嫩江市·期中）已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离变量法求出为真命题时的取值范围，再由充分必要条件的概念判断． 【详解】因为，所以当时，， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以是的充要条件，因为，但， 所以是的一个必要不充分条件， 故选：B 4．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，且，则下列说法错误的是（　　） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最大值为 【答案】C 【分析】利用基本不等式和二次函数的性质对选项逐个判断即可. 【详解】解：因为，且， 则，当且仅当时取等号，A正确； ， 当且仅当，即，时取等号，B正确； 由题意可得，且， 则 ， 根据二次函数性质可知，当时，上式取得最小值12，C错误； 由， 则，当且仅当时取等号，D正确． 故选：C． 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）已知，且，则（    ） A．的最小值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为18 D．的最小值为26 【答案】ABD 【分析】选项A：利用基本不等式求解即可.选项B：利用基本不等式求解即可.选项C：结合选项A求解即可.选项D：利用消元法结合对勾函数求解即可. 【详解】因为，且，所以，解得， 当且仅当时等号成立，故A正确； 因为，由A选项分析可知， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 由选项A知，则又因为，当且仅当时等号成立， 则则选项C错误. 因为，且，所以， 所以 ，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高一上·黑龙江伊春市·期中）已知，为正数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】选项A和选项B使用基本不等式“1”的妙用求解，选项C和选项D构造“和为定值”对“积的最大值”进行求解. 【详解】对于A， ， ∵，，∴，，∴由基本不等式， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴，的最小值为，故选项A正确； 对于B， ， ∵，，∴，，∴由基本不等式， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴，的最小值为，故选项B正确； 对于C，∵，，∴，， ∴由基本不等式， 当且仅当，即，时，等号成立， ∴的最大值为，故选项C正确； 对于D，∵，，∴，， ∴由基本不等式， 当且仅当，即，时，等号成立，这与矛盾，上式无法取等号，故选项D错误. 故选：ABC. 三、非填空题 7．（24-25高一上·黑龙江双鸭山市·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】因为，所以，，，所以，，利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以， 由，所以. 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 8．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件，利用基本不等式求的最小值，再结合关系恒成立，求的取值范围. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，时，等号成立，即当且仅当，时，等号成立， 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 所以 所以的取值范围是， 故答案为：. 9．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）3；（2）5；（3） 【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值； （2）由基本不等式求积的最大值； （3）利用“1”的变形及基本不等式求最值. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 即的最小值3. （2）由可得， 当或时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 综上的最大值为5. （3）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 即的最小值为. 10．（24-25高一上·黑龙江鸡西市·期中）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)160 【分析】（1）根据已知条件，结合利润公式，分类讨论即可求解； （2）结合（1）的结论，利用二次函数的性质及基本不等式求出最大值即可求解. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故. （2）当时， 开口向下，对称轴为， 故的最大值为（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为（万元）， 因为， 所以封装160万片时，公司可获得最大利润. ( 地 城 考点0 3 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出不等式，得，逐项判断是否是集合的真子集即可. 【详解】由，得，解得，设集合； 对于A，不是的真子集，故A不正确； 对于B，是的真子集，故B正确； 对于C，不是的真子集，故C不正确； 对于D，不是的真子集，故D不正确； 故选：B. 2．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知一元二次不等式的解集为则的值是（ ） A．－5 B．5 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】根据不等式的解集得到对应方程的根，利用根与系数关系求出即可. 【详解】因为一元二次不等式的解集为 所以的两根为，且， 所以，解得， 所以. 故选：A 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对二次项系数进行分类讨论可得符合题意，当时利用判别式可求得结果. 【详解】当，即时，不等式为对一切恒成立． 当时，需满足， 即，解得. 综上可知，实数a的取值范围是． 故选：C 4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】解不等式，转化为不等式的解集为的子集可得答案. 【详解】解不等式得， 不等式对恒成立， ，可得，解得， 根据选项可得只有C选项符合. 故选：C. 5．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解分式不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】由得， 等价于，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、多选题 6．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式的解集得出对应方程的根，由根与系数的关系得出与的关系， 可判断AD，再由不等式解集中的元素代入可判断BC. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，，4是方程的两根， 所以，，则，A错误； ，则，D正确； 因为，所以，B正确； 因为，所以，，两式相加得， 即，C正确． 故选：BCD． 7．（24-25高一上·黑龙江鹤岗市·期中）下列说法正确的有（    ） A．不等式的解集是 B．“，”是“”成立的充分条件 C．命题：，，则：， D．“”是“”的必要条件 【答案】BD 【分析】对A：利用分式不等式得解法解出即可得；对B：利用充分条件定义判断即可得；对C：借助全称命题的否定即可得；对D：利用必要条件定义判断即可得. 【详解】对A：， 解得，即其解集为，故A错误； 对B：若，，则， 故“，”是“”成立的充分条件，故B正确； 对C：，的否定为，，故C错误； 对D：由“”可得“”，故“”是“”的必要条件，故D正确. 故选：BD. 8．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 【答案】ABD 【分析】对于A，原问题等价于，解一元二次不等式即可验证；对于B，首先得，然后解分式不等式即可验证；对于C，原问题等价于在上恒成立，由此即可验证；对于D，首先由基本不等式得，然后由即可验证，注意取等条件是否成立. 【详解】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故B正确； 对于C，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故C错误；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：A选项的关键是得，B选项的关键是得，C选项的关键是得在上恒成立，D选项的关键是利用基本不等式得，然后适当变形即可求解. 三、非选择题 9．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】根据分式不等式的解法计算即可. 【详解】由，得，即， 得且，解得或， 所以原不等式的解集为或． 故答案为：或 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先分情况讨论的符号，再由可得的取值范围. 【详解】因为不等式对一切恒成立， 所以若，则不等式可化为：，对一切恒成立，故满足题意； 若，则. 综上可知：-4<a≤0 故答案为： 11．（24-25高一上·黑龙江东五地市·期中）已知，且关于x的不等式的解集为，则mn的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得到是方程的两个不同实根，然后利用韦达定理，结合判别式求解. 【详解】解：因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两个不同实根， 所以所以， 所以的取值范围为． 故答案为： 12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知命题是假命题． (1)求实数m的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到是真命题，从而将问题转化为二次不等式在区间内恒成立问题，由此求函数最小值可得； （2）先由必要不充分条件的性质得到，再由包含关系列不等式求的范围. 【详解】（1）因为是假命题， 所以是真命题， 即在上恒成立， 根据二次函数的性质可知，当时，函数取最小值， 故． 故实数m的取值集合； （2）因为不等式的解集为A，即 若是的必要不充分条件，则， 所以，即， 故a的取值范围为． 13．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）已知函数，． (1)若不等式的解集为，求实数的值： (2)当时，解关于的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分析可知，方程的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值； （2）将所求不等式变形为，分、、三种情况讨论，结合二次不等式的解法可出原不等式的解集. 【详解】（1）解：因为不等式的解集为， 所以，方程的两根分别为、，且，可得， 所以，，解得. （2）解：因为，不等式即为 方程两根为，， ①当，即时，原不等式为，该不等式的解集为； ②当时，即时，解原不等式可得或； ③当时，即时，解原不等式可得或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次函数、方程和不等式 5大高频考点概览 考点01 等式性质与不等式性质 考点02 基本不等式 考点03 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ( 地 城 考点01 等式性质与不等式性质 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨市·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 3．（24-25高一上·黑龙江牡丹江市·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中）已知，，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，，则 6．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 三、非选择题 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨市·期中）设，则与的大小关系是 . 8．（24-25高一上·黑龙江绥化市·期中）设，，，则a，b，c之间的大小关系为 9．（24-25高一上·黑龙江伊春市·期中）已知，，，求证： ( 地 城 考点0 2 基本不等式 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·黑龙江伊春市·期中）若,则有（    ） A．最小值6 B．最小值8 C．最大值8 D．最大值3 3．（24-25高一上·黑龙江嫩江市·期中）已知命题是真命题，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，且，则下列说法错误的是（　　） A．的最小值为8 B．的最小值为 C．的最小值为16 D．的最大值为 二、多选题 5．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）已知，且，则（    ） A．的最小值是16 B．的最小值为128 C．的最小值为18 D．的最小值为26 6．（24-25高一上·黑龙江伊春市·期中）已知，为正数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 三、非填空题 7．（24-25高一上·黑龙江双鸭山市·期中）已知实数，满足，且，则的最小值为 ． 8．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 9．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 10．（24-25高一上·黑龙江鸡西市·期中）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ ( 地 城 考点0 3 一元二次函数、一元二次不等式、 一元二次方程 ) 一、单选题 1．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知命题：，则命题成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江绥化·期中）已知一元二次不等式的解集为则的值是（ ） A．－5 B．5 C．6 D．-6 3．（24-25高一上·黑龙江佳木斯市·期中若不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）若不等式对恒成立，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．2 5．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 6．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）已知关于的不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·黑龙江鹤岗市·期中）下列说法正确的有（    ） A．不等式的解集是 B．“，”是“”成立的充分条件 C．命题：，，则：， D．“”是“”的必要条件 8．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 三、非选择题 9．（24-25高一上·黑龙江大庆市·期中）不等式的解集为 ． 10．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 11．（24-25高一上·黑龙江东五地市·期中）已知，且关于x的不等式的解集为，则mn的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知命题是假命题． (1)求实数m的取值集合； (2)设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 13．（24-25高一上·黑龙江伊春·期中）已知函数，． (1)若不等式的解集为，求实数的值： (2)当时，解关于的不等式． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $