精品解析：河南省郑州市郑中国际学校2021-2022学年上学期九年级第一次月考数学试卷

郑中国际学校2021-2022学年上学期九年级第一次月考 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法，根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法逐一进行判断即可，掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，该说法正确，不符合题意； 、四个内角都相等的四边形是矩形，该说法正确，不符合题意； 、两条对角线垂直且平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 、四条边都相等的四边形是菱形，说法正确，不符合题意； 故选：． 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：A． 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式及定义，即可得不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，熟练掌握和运用一元二次方程根的判别式是解决本题的关键． 4. 在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A，B，C三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【详解】画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种， ∴两人恰好选择同一社区的概率==． 故选：A． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 5. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为．设道路宽为，则以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路宽为，则中间正方形的边长为，根据道路占地总面积为，即可得出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 整理得． 故选：B． 6. 如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（　　） A. AC：EC＝2：5 B. AB：CD＝2：5 C. CD：EF＝2：5 D. AC：AE＝2：5 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB∥CD∥EF， ∴AC：EC＝BD：DF＝2：5， AC：AE＝BD：BF＝2：7． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7. 已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似作图，掌握位似是相似的特殊形式、位似比等于相似比是解题的关键． 先根据已知条件可画出符合条件的两个图形，再根据图中点的位置写出坐标即可解答． 【详解】解：如图， 则点的坐标为或． 故选：D． 8. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 9. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据直角三角形的斜边中线性质可得OE=BO=OD，根据菱形性质可得∠DBE=∠ABC=65°，从而得到∠OEB度数，再依据∠OED=90°-∠OEB即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=50°， ∴O为BD中点，∠DBE=∠ABC=65°． ∵DE⊥BC， ∴在Rt△BDE中，OE=OB=OD， ∴∠OEB=∠OBE=65°． ∴∠OED=90°-65°=25°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质以及直角三角形斜边中线的性质，解决这类问题的方法是将四边形转化为三角形． 10. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2） 【答案】A 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）． 【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M， ∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2）， ∴AH=2，HO=1， ∴Rt△AOH中，AO=， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴MG=-1， ∴G（-1，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 二、填空题（共5小题） 11. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，以及比例的性质，熟练掌握比例性质是解本题的关键． 设比例常数为 ，用 表示 ，，，代入所求表达式计算. 【详解】由 ，设 ，则 ，，. 代入 ，得 . 故答案为：． 12. 若x1，x2是一元二次方程x2+10x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是__． 【答案】-10 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣10，x1x2＝﹣1， ∴（x1+1）（x2+1）＝（x1+x2）+x1•x2+1＝﹣10﹣1+1＝﹣10， 故答案为：﹣10． 【点睛】本题考查了根与系数，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 13. 如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、三角形面积等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．作交于，证出，根据三角形面积关系得，根据平行线分线段成比例定理得到，则，进而得到答案． 【详解】解：作交于， 是的中线， ， ， ， 的面积与的面积之比是， ， ， ， ， ； 故答案为：12． 14. 如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据题意利用正方形的性质求出是等腰直角三角形，设，则，，根据题意列出方程即可解答 【详解】设，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， ， ∵，， ∴， ， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查正方形的性质，相似多边形的性质，解题关键在于求出是等腰直角三角形 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 【答案】或10． 【解析】 【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5，∠A=90°，AD=BC=6，根据已知条件得到AM=BN，推出四边形ABNM的矩形，得到∠NMA=∠NMD=90°，MN=AB=5，根据折叠的性质得到DC′=DC=5，C′E=CE，根据勾股定理得到C′M=，根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4，∠CNM=90°，再由勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝5，∠A＝90°，AD＝BC＝6， ∵AM＝AD＝2，BN＝BC＝2， ∴AM＝BN， ∵AM∥BN， ∴四边形ABNM的矩形， ∴∠NMA＝∠NMD＝90°，MN＝AB＝5， ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E， ∴DC′＝DC＝5，C′E＝CE， ∵AM＝2， ∴DM＝AD﹣AM＝6﹣2＝4， 如图1， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN﹣C′M＝5﹣3＝2， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝90°， NE＝CN﹣CE＝4﹣CE， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（4﹣CE）2+22＝CE2， 解得：CE＝． 如图2， 在Rt△C′MD中，C′M＝， ∴C′N＝MN+C′M＝5+3＝8， ∵∠CDM＝∠DCN＝∠NMD＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴CN＝DM＝4，∠CNM＝∠MNE＝90°， NE＝CE﹣CN＝CE﹣4， 在Rt△C′NE中，∵NE2+C′N2＝C′E2， ∴（CE﹣4）2+82＝CE2， 解答：CE＝10， 故答案为或10． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解得到，则或，即可得到答案； （2）用公式法解方程即可； （3）变形为，再利用十字相乘法分解因式，再解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 因式分解得到，， ∴或， 解得； 【小问2详解】 ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到，求出的取值范围即可； (2)根据根与系数的关系得出方程解答即可． 【详解】(1)解：∵原方程有实数根， ∴，∴， ∴. (2)∵，是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得： ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解之，得：，． 经检验，都符合原分式方程的根， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是根据根的判别式的意义求出k的取值范围，此题难度不大． 18. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整； （2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率． 【答案】(1)40人， 条形统计图补充为： （2） 【解析】 【分析】（1）利用A项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后计算出C项目的人数后补全条形统计图； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数，然后利用概率公式求解． 【详解】（1）调查的总人数为12÷30%=40（人）， 所以C项目的人数为40-12-14-4=10（人） 故答案为40人； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的结果数为8， 所以恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，3）． （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1； （2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求；的坐标为（-4，2）； 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C以点B为旋转中心逆时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可． （2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图△ABC位置确定A（-1,1），B（-1,4），C（-3,2），△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1， ∴A1横坐标为-1+（4-1）=2，纵坐标为4-（-1+2）=3，点A1（2，3）， C1横坐标为-1+（4-3）=0，纵坐标为4-（-1+3）=2，点C1（0，2）， 在平面直角坐标系中描点A1，C1，顺次连结，， 【小问2详解】 解：∵是△ABC以原点为位似中心，位似比为2：1放大后的对应图形，点A的坐标为（-2，1）， ∴的坐标为（-4，2）； 【点睛】此题主要考查旋转与位似图形的作图，解题的关键是熟知旋转的性质及位似的定义． 20. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计） 【答案】这棵古树的高AB为18m． 【解析】 【分析】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5，继而可得AB＝BD＋0.5，再证明△EFG∽△ABC，根据相似三角形的性质得，即，由此求得BD长，即可求得AB长. 【详解】如图，过点C作CH⊥AB于点H， 则CH＝BD，BH＝CD＝0.5， 在Rt△ACH中，∠ACH＝45°， ∴AH＝CH＝BD， ∴AB＝AH＋BH＝BD＋0.5， ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG＝∠ABG＝90°， 由题意，易知∠EGF＝∠AGB， ∴△EFG∽△ABG， ∴，即， 解得：BD＝17.5， ∴AB=17.5＋0.5＝18(m)， ∴这棵古树的高AB为18m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，连接. （1）求证：； （2）探究：当等于多少度时，四边形是正方形？并证明你的结论. 【答案】（1）见解析；（2）当时，四边形OCED为正方形,见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，由矩形的性质可得OE＝DC； （2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，根据正方形的判定方法证明即可． 【详解】解：（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形， ∴OE＝DC； （2）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形， 理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形， ∴DO＝CO， 又∵四边形OCED是矩形， ∴四边形OCED是正方形． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的判定和性质，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键． 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 【答案】（1）；（2）该公可若想获得10000万元的年利润，此设备的销售单价应是50万元． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式； （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论． 【详解】（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0）， 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：， 解得：， ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000． （2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台， 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000， 整理，得：x2﹣130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80． ∵此设备的销售单价不得高于70万元， ∴x=50． 答：该设备的销售单价应是50万元/台． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23. 在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，求DN的长． 【答案】 （1）证明：∵，，CD是中线， ∴，， ∴． 在与中，， ∴． ∴； （2）证明：∵， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论； （2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE•CF； （3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过D作于点G， 则，． 当，时， 由，得． 在中， ． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑中国际学校2021-2022学年上学期九年级第一次月考 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列判断错误的是（　　） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形 C. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形 D. 四条边都相等的四边形是菱形 2. 一元二次方程配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 在“众志成城，共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中，小晴和小霞分别从“A，B，C三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一块长为，宽为的矩形空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为．设道路宽为，则以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF＝2：5，那么下列结论正确的是（　　） A. AC：EC＝2：5 B. AB：CD＝2：5 C. CD：EF＝2：5 D. AC：AE＝2：5 7. 已知点A的坐标是，以坐标原点O为位似中心，像与原图形的位似比为2，则点的坐标为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 20° 10. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2） 二、填空题（共5小题） 11. 若，则____________． 12. 若x1，x2是一元二次方程x2+10x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是__． 13. 如图，是的中线，E是上一点，的延长线交于F，的面积与的面积之比是，且，则________． 14. 如图，点在同一直线上，且，点分别是的中点，分别以为边，在同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，若，则_____． 15. 如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝AD，BN＝BC，E为直线BC上一动点，连接DE，将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E，当点C′恰好落在直线MN上时，CE的长为___． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） （3） 17. 已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)设方程的两根分别是、，且，试求k的值． 18. 某学校开展以素质提升为主题的研学活动，推出了以下四个项目供学生选择：A．模拟驾驶；B．军事竞技；C．家乡导游；D．植物识别．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中一个项目．八年级（3）班班主任刘老师对全班学生选择的项目情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）八年级（3）班学生总人数是　 　，并将条形统计图补充完整； （2）刘老师发现报名参加“植物识别”的学生中恰好有两名男生，现准备从这些学生中任意挑选两名担任活动记录员，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生担任活动记录员的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，1），B（－1，4），C（－3，3）． （1）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1； （2）以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标． 20. 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计） 21. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，连接. （1）求证：； （2）探究：当等于多少度时，四边形是正方形？并证明你的结论. 22. 为积极响应新旧动能转换．提高公司经济效益．某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位∶台)和销售单价(单位∶万元)成一次函数关系． (1)求年销售量与销售单价的函数关系式； (2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润．则该设备的销售单价应是多少万元？ 23. 在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立； （3）若，，求DN的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $