5.4平方根 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学上册

第5章 勾股定理与实数 直角三角形 无理数 勾股定理 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 勾股定理及其逆定理 算术平均数、平方根、 立方根 实数 数与式 实数 图形的性质 有理数 1.算术平方根的定义： 如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫作a的算术平方根。 a的算术平方根记作 ，a叫作被开方数 温故而知新 （1）正数有一个正的算术平方根, 0的算术平方根是0, 负数没有算术平方根。 2、算术平方根的性质是什么？ a≥0; ≥0 a (a≥0)． - a (a≤0)． 如果一个负数的平方等于a,它与a的算术平方根有关系吗? 我们知道,一个正数的平方等于a,这个数就是a的算术平方根。 创设情境 导入新课 青岛版数学 八年级上册 第5章 勾股定理与实数 5.4 平方根 观察与发现 探究一 平方根的意义 x2 4 9 16 0.01 0 x ±2 ±3 ±4 ±0.1 ± 0 你是怎样求出来的？与同学交流。 上面运算的实质就是已知一个数的平方，求这个数。 请同学们独立完成下列表格 平方根的概念 一般地，如果一个数 x 的平方等于a,即，那么叫作 的平方根，也称为二次方根. x2=a x叫作a的平方根 (±3)2 =9 ±3是9的平方根 探究一 平方根的意义 探究一 平方根的意义 你能仿照上面的形式，分别说一说4，16, 0.01， ，0的平方根吗？ 思考与交流 探究二 平方根的性质 任何一个数都有平方根吗? 如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x 叫作a的平方根或二次方根。 a≥0 因为任何数的平方都不是负数, 所以只有正数和0有平方根，负数没有平方根。 只有非负数有平方根，负数没有平方根。 思考与交流 探究二 平方根的性质 x2 4 9 16 0.01 0 x ±2 ±3 ±4 ±0.1 ± 0 问题1：正数的平方根有什么特点？ 正数有两个平方根，它们互为相反数。 问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根？为什么？ 0的平方根是0，并且只有1个平方根。 平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； 的平方根是0； ③负数没有平方根. 探究二 平方根的性质 概括与表达 例1、判断下列说法是否正确,并说明理由: (1)16的平方根是4; (2)（-2）2的平方根是±2; (3)0.01是0.1的算术平方根; (4)如果一个数有平方根,那么它有算术平方根。 解：(1)不正确。 因为16的平方根不只有4，还有-4. 所以16的平方根是±4. 例题解析 (2)正确。 (3)不正确。0.1是0.01的算术平方根 (4)正确。 1.判断下列说法是否正确: (1)0的平方根是0; (2)4的平方根是2; (3)-22 的平方根是±2; (4)π的平方根有两个,它们互为相反数。 巩固练习 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为： 被开方数 读作“正、负根号 a ”. 即正数 a 的平方根表示为： 0的平方根记为 。 如何表示一个正数的平方根呢？ 探究三 平方根的表示 思考与交流 例如： 表示 9的平方根， 探究三 平方根的表示 例2、（1）4的平方根记作______,是______ （2）81的平方根记作______，是______ （3）的平方根记作______，是______ （4） 7的平方根记作_____。 ±2 ±3 ± ± ±9 ± 例题解析 （1） 的平方根是±16. ( ) （2） 一定是正数. ( ) （3）a2的算术平方根是a. （ ） （4）若 , 则a=-5. ( ) （5） ( ) × × × × × 2.判断题 （6） 49的平方根是7 ； ( ) （7） －1 是 1的平方根; （ ） √ × 巩固练习 探究四 开平方运算 求一个数a(a≥0)的平方根的运算叫作开平方, a叫作被开方数。 如何求169的平方根； ∵(±13)2=169, ∴169的平方根是±13, 即± =±13。 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 开平方运算 平方运算 探究四 开平方运算 观察下图，平方运算和开平方运算有什么关系？ 探究四 开平方运算 开平方运算 互逆运算 平方运算 乘方运算 注意： （1）开平方时，被开方数必须是非负数，即a≥0 . 探究四 开平方运算 （2）被开方数越大，则对应的正的平方根也越大， 即若 ，则 . 例3.求下列各数的平方根: (1)1; (2)25; (3); (4)3；（5）0.36。 解:(1)∵(±1)2=1, ∴1的平方根是±1, 即± =±1。 (2)∵(±5)2=25, ∴25的平方根是±5, 即± =±5。 例题解析 (3)∵（±）2= ∴ 的平方根是± 即±=± (4) ∵(± )2=3, ∴3的平方根是± 。 （5）∵（±0.6）2=0.36 ∴0.36的平方根是±0.6 即±=±0.6 3、求下列各数的平方根 （1）144 （2）2500 （3）0.81 （4） （5） （6）（-2）2 巩固练习 名称 算术平方根 平方根 区 别 定义 个数 表示 联 系 包含关系 存在 条件 特例 算术平方根与平方根的区别与联系 探究五 知识辨析 “”，强调 是正数. “ ”，未强调 是正数. 只有一个，是个正数 有两个，它们一正一负，且互为相反数 ，其中 . ，其中 . 特殊值0的平方根和算术平方根都是0. 只有非负数才有平方根和算术平方根； 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中正的平方根； 例4、求下列各式的值: (1)- ; (2); (3) ± (4)- （5）（-）2-。（6） - 解:(1)- =-0.4 (2) =0.23 (3) ± =± 例题解析 (4)- = （5）（- ）2- =10-5=5 （6） - =0.1-10=-9.9 4.求下列各式的值: (3) ± (4)- (1)- ; (2) 巩固练习 例5、解下列方程： （1） x2=9, （2） 4x2=25 （3）(x-2)2=16, 解:(1) x2=9 x=± x1=3,x2=-3 （2）4x2=25 x2= x1=, x2= - （3）(x-2)2=16, x-2=±4 x-2=4 或 x-2=-4 x1=6,x2=-2 例题解析 .例6、（1）一个正数的平方根分别是x+1和x一5, 则 x =_____； （2）已知 2m+2的平方根是士4,3m+n+1的平方 根是±5,则m+2n 的值是 。 2 13 例题解析 5.（1）正数m 的两个平方根恰好相差12,求m 的值。 （2）已知 2a-1的平方根是士3,3a+b-1的算术平 方根是4,求a+2b 的平方根. 巩固练习 本节课你有什么收获？ 1.判断题： (1) 是7的算术平方根； (2)－6是36的算术平方根； (3) 0.1的算术平方根是0.01； (4) 的算术平方根是2； (5) =-5 当堂检测 2.填空题 (1)9的平方根是______； (2) 的值是______； (3) 的算术平方根是_____； (4)算术平方根是其本身的数是_____； (5)若 =3，则 x = _____. 3.已知 2a-1的平方根是±5，3a+b-1的平方根 是±7，求a+2b的平方根 4.若a-1与5-2a是m的平方根，求a与m这个数 $