5.4　《平方根》 同步课件- 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

5.4平方根 “西兰卡普”是一种土家族织锦的叫法，是土家族浓郁的民族特色和传统文化的代表，亦是国家级非物质文化遗产.如图，这张正方形的“西兰卡普”面积为 4 m²，请问它的边长是多少? 问题 1：你算出的边长是多少? 问题 2：你是怎样算出这个边长的? 面积＝边长×边长 边长为 2 m 通过正方形的面积公式反推出来 情境导入 问题 3：因为正方形边长的平方等于这个正方形的面积，所以我们很容易就能得到此处的边长为 2 m，那么如果已知一个数的平方，应该怎么求这个数呢? 这个数是唯一的吗? 请大家带着问题进行探究. 问题1：如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少? 问题 2：填写下表： 平方根的概念 1 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 3或－3 探究新知 思考 2：求一个数与自身相乘积的运算叫作平方，那么知道一个数的平方，求这个数的运算叫什么? 思考1：上述表格得到的 x 值有什么特点? 都有两个值，且这两个值互为相反数 x2 1 16 0.36 49 x ±1 ±4 ±0.6 ±7 求一个数的平方根的运算，叫作开平方. 例如：(±3)2 = 9， 3 和 -3 是 9 的平方根，简记为±3 是 9 的平方根. 根据所学内容回答“导入新课”问题3. 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根. (根据开平方求这个数，这个数并不唯一) 知识要点 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 – 1 + 1 + 2 – 2 + 3 – 3 1 4 9 平方 开平方 比较两图中的两种运算的特点，你能发现什么？ 互为逆运算 合作探究 平方与开平方互为逆运算. 根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根 总结 互为逆运算 平方运算 开平方运算 归纳总结 新知探究 　　　　　　　平方根的概念 一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2＝a， 那么这个数 x 叫作 a 的平方根或二次方根． 求一个数的平方根的运算，叫作开平方． 总结 范例应用 例 求下列各数的平方根. (1)64; (2) ;(3)0.01. 解：(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8； (2)因为(± ) 2= ,所以 的平方根是± ; (3)因为(±0.1) 2=0.01,所以0.01的平方根是±0.1. 即时测评 1.下列说法不正确的是( ) A．6是36的平方根 B．－6是36的平方根 C．36的平方根是±6 D．36的平方根是6 2. 的平方根为 ． D ± 任务二　平方根的性质 活动2　合作交流 (1)正数的平方根有什么特点？ (2)0 的平方根是多少？ (3)负数有平方根吗？ 平方根的性质： 1.正数有两个平方根,它们互为相反数; 2.0的平方根是0; 3.负数没有平方根. 要点归纳 1. 144 的平方根是什么？ 2. 0 的平方根是什么？ 3. 的平方根是什么？ 4. -4 有没有平方根？为什么？ 0 没有，因为一个数的平方不可能是负数. 试一试 表示a的正的平方根 表示a的负的平方根 记作 a﹙a≥0﹚的平方根表示为 一个非负数的平方根的表示方法： 平方根的数学符号表示 说一说 各表示什么意义？ 表示 7 的正的平方根 表示 7 的负的平方根 表示 7 的平方根 归纳 解：（1）因为(±8)2＝64， 例题精讲 　　例 　求下列各数的平方根： 　　（1）64；　　　　（2） ；　　　　（3）0.01． 利用平方与开平方互为逆运算，可 以求一个数的平方根． 　所以 64 的平方根是±8； （2）因为　　　 ＝　　， 所以　　的平方根是　　； 　　例 　求下列各数的平方根： 　　（1）64；　　　　（2） ；　　　　（3）0.01． 　　 例题精讲 利用平方与开平方互为逆运算，可 以求一个数的平方根． 　　方法二：因为 0.01＝ 　，　　　＝ ， 　　所以 0.01 的平方根是± ． 解：（3）方法一：因为(±0.1)2＝0.01， 　　所以 0.01 的平方根是±0.1． 　　思考：正数的平方根有什么特点？ 　　（1）64 的平方根是 ； 　　（2） 的平方根是 ； 　　（3）0.01 的平方根是 . 　　正数有两个平方根，它们互为相反数. 新知探究 ±8 ±0.1 　　思考：正数的平方根有什么特点？ 　　正数有两个平方根，它们互为相反数. 　　追问 1　0 的平方根是多少？ 　　因为 02＝0， 　　所以 0 的平方根是 0. 新知探究 　　思考：正数有两个平方根，它们互为相反数. 　　0 的平方根是 0. 　　追问 2　负数有平方根吗？为什么？ 新知探究 ＋1 －1 ＋2 －2 ＋3 －3 ____ ____ ____ 平方 1 4 9 　　随着数的进一步扩充，负数可以进行 开方运算，这是我们在高中要学习的． 在我们所认识的数中， 　　任何一个数的平方都不是负数， 　　所以负数没有平方根． 新知探究 　　　　　平方根的特征 正数有两个平方根，它们互为相反数． 0 的平方根是 0．负数没有平方根． 总结 新知探究 读作“根号 a”， a 叫作被开方数； 读作“正、负根号 a”． 也可以写成 ，读作“二次根号 a”． 　问题 4　你能表示正数 a 的平方根吗？ 正数 a 正平方根记为： 负平方根记为：- 被开方数 即正数 a 的平方根表示为： 0的平方根记为 表示 9 的平方根． 新知探究 9 的正的平方根为 ＝3， 9 的负的平方根为－ ＝－3， 9 的平方根为± ＝±3． 追问 1　 表示什么？ 　　追问 2　 什么时候有意义？为什么？ 　　 表示一个数的正的平方根，而负数没有平方根，且 0 的平方根是 0，所以当 a≥0 时， 有意义．　 新知探究 正数有两个平方根，它们互为相反数. 正数 a 的平方根可以用“ ”表示． 0 的平方根是 0．负数没有平方根． 总结 练习 1.判断题。 (1) 1的平方根是1； (2) -1的平方根是-1； (3) 0.5是0.25的一个平方根； (4) 0的平方根是0； 解： (1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。 (2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。 (3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。 (4) 对。 当堂检测 1、9的算术平方根是 （ ） A. 3 B. 9 C. ±3 D. ±9 2、 的平方根是 （ ） A. 13 B. ±13 C. D. A D 3、若一个数的平方根等于它本身，那么这个数是 ， 若一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是 。 0 0、1 4、若一个正数的两个平方根分别是 与 ， （1）求 的值是？ （2）这个正数是多少？ 当堂检测 5、求出下列各式中 的值： （1） (2) 当堂检测 课堂小结 1. 定义：若x2=a，则x叫作a的平方根. 2. 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数， 0的平方根是0，负数没有平方根. 3. 平方根与开平方间的关系： (1)开平方是求平方根的运算； (2)平方根是开平方运算的结果. $$