精品解析：江苏省南京市中华中学2025-2026学年高三上学期9月训练数学试卷

高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则的子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. 8 D. 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，且，则 B. 若，，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数X服从二项分布，则当时概率最大 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 11. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点， 则（ ） A. 任意， B. 存在，直线与直线相交 C. 平面与底面交线长为定值 D. 当时，三棱锥外接球表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知数列的前n项和，则______. 13. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是______. 14. 不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共5小题，共38分. 15. 如图，在四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，，求的长. 16. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 17. 已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数． （1）求点的轨迹． （2）设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，为线段上一点且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合， ，则的子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式可得到，根据集合的交集运算求得，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以，所以的子集的个数是 , 故选:D． 2. 已知复数满足，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的模及复数代数形式的除法运算化简复数，再得到其共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：A 3. 已知向量，若，则（ ） A. 10 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量平行的坐标表示结合数量积运算即可. 【详解】由题意可知：， 因为，故. 所以. 故选：A 4. 函数在上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性排除B、D，再取特值排除C. 【详解】因为， 所以函数为奇函数，故B、D错误； 又因为，则，故C错误； 故选：A. 5. 函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果. 【详解】，求导得在上恒成立， 则，因为，所以要使得不等式恒成立， 则. 故选：C． 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式、辅助角公式及二倍角公式求解. 【详解】依题意，， 所以. 故选：D 7. 已知函数，若，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得为偶函数，则，利用对数函数的性质和指数函数的性质，可得，，，又当时，由，可得为单调递增函数，即可得到答案. 【详解】因为函数且定义域为R，则，所以为偶函数， 因为， 则， 又，，， ，， 则，所以， 当时，因为，所以为单调递增函数， 所以. 故选：B. 8. 已知双曲线的左焦点为，离心率为e，直线分别与C的左､右两支交于点M，N.若的面积为，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，，由面积公式求出，利用双曲线定义和余弦定理求出，求出，进而求出. 【详解】连接，有对称性可知：四边形为平行四边形，故，，， 由面积公式得：，解得：， 由双曲线定义可知：， 在三角形中，由余弦定理得： ， 解得：， 所以，解得：， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若随机变量X服从二项分布，且，则 B. 若，，则 C. 设随机变量服从正态分布，若，则 D. 某人在10次射击中，击中目标的次数X服从二项分布，则当时概率最大 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，由二项分布的均值和期望公式计算；对B，由全概率公式计算；对C，根据正态曲线的对称性计算；对D，由计算值. 【详解】对于A：由解得，所以，A错误； 对于B：因为，所以，B正确； 对于C：由正态分布曲线的对称性可知， 所以，C正确； 对于D：由已知， 由，解得，又， 所以，即当时概率最大，D正确. 故选：BCD. 10. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由三角形大边对大角及正弦定理判断AB选项，由向量加法的几何意义、数量积的运算判断C选项；由两角和的正切公式判断D选项. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以，A正确； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且，所以， 所以是等边三角形，C正确； D选项，因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，D错误； 故选：AC. 11. 已知正四棱柱的底面边为1，侧棱长为，是的中点， 则（ ） A. 任意， B. 存在，直线与直线相交 C. 平面与底面交线长为定值 D. 当时，三棱锥外接球表面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由题意可得平面，从而可得，即可判断； 对于B，根据异面直线的定义可得； 对于C，根据题意找出交线，然后求出交线长即可； 对于D，根据外接球与正四棱柱的位置关系，找出球心，进而求出半径，即可得出表面积. 【详解】解：对于A，，，，，平面， 平面，平面，，故正确； 对于B，因为平面，平面， 所以平面， 与异面，故不相交，故错误； 对于C，延长，交于点，连接交于，为中点， ， 所以, 所以, 所以， 平面平面， 平面与底面交线为， 其中为中点，所以，故正确对； 对于D，，是直角三角形，外接圆是以为直径的圆， 圆心设为，半径， 取中点，则平面，， 所以， 所以， ，故错误. 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分. 12. 已知数列的前n项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】， ∴当时，； 当时，， 由时，，∴. 故答案为：. 13. 某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是______. 【答案】 【解析】 【分析】先安排甲、乙两位老师，再利用间接法安排剩下的3位老师，最后利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】设学校为，先把甲、乙两位老师安排到不同学校，有种， 不妨设甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故答案为：. 14. 不等式对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则可得，而分别在曲线和直线上，将直线平移恰好与曲线相切时，可求出的最小值，从而可解关于的不等式可得答案. 【详解】由题意设，则，所以， 因为分别在曲线和直线上， 所以将直线平移恰好与曲线相切时，切点到直线的距离最小，此时最小， 设切线为，切点为，则，得， 所以，得，则， 所以的最小值为点到直线的距离，， 即的最小值为， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为，，进一步转化为曲线上的点和直线的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题. 四、解答题：本题共5小题，共38分. 15. 如图，在四边形中，，，. （1）若，求的面积； （2）若，，求的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出BC，由此能求出△ABC的面积． （2）设∠BAC＝θ，AC=x，由正弦定理得从而，在中，由正弦定理得，建立关于θ的方程，由此利用正弦定理能求出sin∠CAD．再利用余弦定理可得结果. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以. 所以. （2）设，，则， 在中，由正弦定理得：， 所以； 在中，，所以. 即，化简得：， 所以， 所以，， 所以在中，. 即，解得或（舍）. 【点睛】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用，考查了引入角的技巧方法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 16. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 17. 已知点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数． （1）求点的轨迹． （2）设是轨迹上的两点，且直线与的斜率之积为（为坐标原点），为射线上一点，且，为线段上一点且，求四边形的面积． 【答案】（1）点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）由题意可得出四边形面积为，转化为求三角形面积问题，根据直线斜率为分类讨论，分别求出三角形面积即可. 【小问1详解】 设点到直线的距离为，依题意，， 于是，化简得，即． 所以点的轨迹是长轴长为4，短轴长为2，焦点在轴上的椭圆． 【小问2详解】 设， 又，则． 由，可得， 则四边形面积为． 当直线斜率为0时，易知，又，则． 根据对称性不妨取，由得 则，得此时； 当直线斜率不为0时，设的方程为， 将直线方程与椭圆方程联立有： 消去得：． ， 由韦达定理，． 所以 ， 代入可得，解得， ， 又原点到直线距离为，则此时． 综上可得，，四边形面积为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于求四边形的面积，利用，可得，进而得出四边形面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $