专题06 二次根式（数学竞赛真题汇编）八年级全国通用

专题06 二次根式 1．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）若，，且，，则的值为（   ） A． B．7 C． D．3 2．（2023九年级下·江西赣州·竞赛）设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 3．（2023八年级·贵州遵义·竞赛）用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 4．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2022八年级下·江西·竞赛）设实数x、y满足，则（   ） A．1 B． C．0 D．2021 6．（2023九年级上·上海·竞赛）已知，则 ． 7．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）若实数的小数部分为，则 ． 8．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）计算： ． 9．（2023八年级下·江苏南京·竞赛）计算： 10．（2023八年级下·广东梅州·竞赛）先化简，再求值：，其中． 1．（2023八年级上·全国·竞赛）下列说法正确的是（   ） A．8的立方根是 B．的平方根是 C．是最简二次根式 D．8的平方根是 2．（2024八年级·全国·竞赛）在下列根式中，与进行加法或减法运算不能合并为一项的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2023八年级上·全国·竞赛）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（   ） A．6 B． C．12 D． 4．（2023八年级·全国·竞赛）已知a、b、c为互不相同的有理数，且满足，则符合条件的a、b、c的组数共有 组． 5．（2023八年级上·全国·竞赛）已知，则的值是 ． 6．（2024九年级下·全国·竞赛）已知，，的最小值是 ． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，，则的值为 ． 8．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 9．（2024八年级·全国·竞赛）在实数范围内化简根式 ． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知，求的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二次根式 1．（2023八年级上·山东滨州·竞赛）若，，且，，则的值为（   ） A． B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是二次根式性质、绝对值性质及代数式求值，根据题意先求出，再代入计算求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2023九年级下·江西赣州·竞赛）设，则等于（   ） A．24 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求代数式的值、二次根式的化简、整式的恒等变形，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键． 首先根据，得出，再根据等式两边平方，得出，再把进行变形，然后把代入计算即可． 【详解】解：由， 可得：， ∴， ∴， ∴ ． 故选：A 3．（2023八年级·贵州遵义·竞赛）用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分，已知，是的小数部分，是的小数部分，则的值是（    ） A． B． C．1 D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，分母有理化等知识，先求出，由是的小数部分，是的小数部分，求得，，再代入即可得出结论． 【详解】解：∵，而， ∴． 又∵，而， ∴． ∴． 故选：A． 4．（2023九年级下·安徽宣城·竞赛）已知，则的最大值与最小值的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的性质，二次根式的性质，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后得到数轴上点x到和5的距离之和等于6，然后得到，然后根据一次函数的性质求出最大值和最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即数轴上点x到和5的距离之和等于6， ∴， ∵函数中， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为； 当时，y有最大值，最大值为； ∴的最大值与最小值的和是． 故选：D． 5．（2022八年级下·江西·竞赛）设实数x、y满足，则（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，分母有理化．根据题意可得，，然后两式左右两边分别相加，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 同理， ∴， ∴， 即． 故选：C 6．（2023九年级上·上海·竞赛）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式求值及完全平方公式的应用，先求出，得出，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2022． 7．（2023九年级下·湖南益阳·竞赛）若实数的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的混合运算；先估算的取值范围，得出其整数部分和小数部分，再将要求的式子提取公因式，然后代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， ， 的整数部分是，小数部分是， 实数的小数部分为 故答案为：． 8．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，分母有理化，正确分母有理化是解题的关键． 先对代数式的每一项分母有理化，再加减抵消即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2023八年级下·江苏南京·竞赛）计算： 【答案】 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的加减运算，正确分母有理化是解题的关键． 运用分母有理化把二次根式化简，再进一步运算即可得解． 【详解】解：， ． 10．（2023八年级下·广东梅州·竞赛）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简与求值．先对括号内通分进行同分母分式加法运算，与此同时将除法转化为乘法，并且对除式的分式分子分母进行因式分解，然后约分代值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 ． 1．（2023八年级上·全国·竞赛）下列说法正确的是（   ） A．8的立方根是 B．的平方根是 C．是最简二次根式 D．8的平方根是 【答案】C 【分析】本题考查立方根，平方根，最简二次根式及求算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 逐项分析判断，即可解答． 【详解】解：A． 8的立方根是2，该选项错误，不符合题意； B． ∵， ∴的平方根是，该选项错误，不符合题意； C． 无法化简，是最简根式，该选项正确，符合题意； D． 8的平方根是，该选项错误，不符合题意． 故选C． 2．（2024八年级·全国·竞赛）在下列根式中，与进行加法或减法运算不能合并为一项的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化最简二次根式，同类二次根式的判断，二次根式的加减法．将各二次根式化为最简二次根式是解题关键．将各选项化为最简二次根式，再判断其与是否为同类二次根式即可解答． 【详解】解：A．，与是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不符合题意； B．，与是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不符合题意； C. ，与不是同类二次根式，不能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项符合题意； D．，与是同类二次根式，能进行加法或减法运算合并为一项，故该选项不符合题意． 故选C． 3．（2023八年级上·全国·竞赛）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是不等式的性质，无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟练地求解a，b的值是解本题的关键． 先判断得到，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 故选：A． 4．（2023八年级·全国·竞赛）已知a、b、c为互不相同的有理数，且满足，则符合条件的a、b、c的组数共有 组． 【答案】0 【分析】此题主要考查了二次根式的综合应用，首先整理，得出，再分析得出无理数的系数相等，有理项也相等，进而求出． 【详解】解：∵， ∴， 因为a、b、c为有理数， 所以无理数的系数部分相等，有理数部分也相等，即①，②， 将②代入①得：， 整理得， 得，与a、b、c为互不相同的有理数矛盾， 所以符合条件的a、b、c共有0组． 故答案为：0． 5．（2023八年级上·全国·竞赛）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式混合运算法则．根据，得出，再根据，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2024九年级下·全国·竞赛）已知，，的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次根式的值，勾股定理的应用，三角形三边关系，作正方形，设边长为1，在上取，上取，过H作交于G，过E作交于F，交于M，由作图可知，，，而，可得，同理，即可得的最小值是． 【详解】解：作正方形，设边长为1，在上取，上取，过H作交于G，过E作交于F，交于M，如图： 由作图可知：四边形、四边形、四边形、四边形是矩形， ∴，， 由图可知， 而， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 7．（2024八年级·全国·竞赛）已知，且，，则的值为 ． 【答案】32 【分析】根据二次根式的性质化简，得：；根据立方根的定义化简，得：．联立解二元一次方程组，得：，再根据平方根和立方根的定义求出x和y的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 联立， 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32． 8．（2024七年级·全国·竞赛）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（2024八年级·全国·竞赛）在实数范围内化简根式 ． 【答案】0或或或． 【分析】本题二次根式的性质与化简、立方根的化简及整式的加减，解题的关键是分类讨论的思想． 根据二次根式与立方根的性质化简，然后分类进行讨论． 【详解】∵ ，且 ∴分四种情况讨论： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ③当时，原式； 故答案为：0或或或． 10．（2024九年级·全国·竞赛）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算、代数式求值，根据已知式子的特点，先求得、，进而利用完全平方公式求得，然后化简所求式子即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴，则， ∴ ， 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $