上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高二上学期开学摸底考试数学试卷

2025-2026学年度第一学期 高二数学摸底考试卷 (满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上) 命题：李琛冰审核：杨逸峰 考生注意： 1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、考号，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷 上作答一律不得分 4,用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题， 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1.设集合A={L,2,3,4},B= k+i≤0，则4nB可用列举法表示为 x-3 2.若直线1的方程为2x-y+1=0,则直线1的倾斜角大小为 3.若tana=3,则tan2a= 4,设i为虚数单位，若复数z满足z-2=z,则|z= 5.设a=(1,1),b=(3,4),a在b方向上的数量投影为 6.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若A=60°，a=√19，b=5, 则c= 7.设log32=a,log296可用含a的代数式表示为 及记椭圆 + 3 =1的右焦点为F,直线过点F交椭圆于P、2两点，其中P在 第二象限.若2关于x轴的对称点为Q',且F'⊥P2,则直线l的方程为」 *9.已知y=f(x)+x2是奇函数，且f()=1,若g(x)=f(x)+2,则g(-1)=· 10.已知函数y=的表达式为f闭=sm@x+) (常数⑦>0)，若 月)=()，且函数y=在区间（任没） 412 上有最小值无最大值，则实数ω的值 为 1.若关于x的方程32=2有两个实数解，则实数a的取值范围是 Ig(x+a) 2025-2026学年度第一学期高二数学摸底考试卷 第1页共4页 12.平面上，已知向量a、b满足|a=2,1b=3.若存在单位向量c,使得 (a-c)(b-c)=0,则|a-b|+|a+b1的最小值是 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5 分)每题有且只有-一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格 涂黑. 13.设a>b,下列不等式中，恒成立的是（). A.a>b3 B.a2>62 c.Ia以bl D.a>b *14,下列函数中，既是偶函数，又是(0，+∞)上的严格减函数的是（). A.y=cosx B.y=x3 C.y=e D.y=In(1+x) 15.设g,e2是平面向量的一个基.已知非零向量c=xg+ye2,B=2g+y2e2, 其中x,y∈R(i=1,2),给出下列四个命题：①1=V+y;②=月当且仅当x=x2 且乃=y2;③a∥p当且仅当xy2=x2y;④a⊥B当且仅当xx2+y2=0;其中真命题 的序号是( A,①③ B.②③ C.②④ D.③④ 16.已知平面直角坐标系中，设点Pn(bn,a.)(常数a>0,a≠1)，其中无穷数列{bn} 是公差为d(d≠0)的等差数列.向量a是一个取定的非零向量，满足：对于任意点Pn, 曲线y=log。x上存在唯一的点2n,使得P2∥x,则“存在正整数i、j,使得 P2,·P2,<0”的一个必要条件是（). A.0<a<1 B.{x|a=x}≠O C.(a,)≤90°（其中i=(1,0)) D.b<0且d>0 三、解答题（本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置 写出必要的步骤， *17.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设f(x)=x2+ax+b(常数a、b均为实数)，关于x的不等式f(x)<0的解集为A. (1)若A=(-1,2),实数a、b的值； 2)设a=-8,b=15.记不等式十0的解集为8，记C=c-,c+2(常 数c为实数)，若“x∈B”是“x∈C”的充分条件，求实数c的取值范围. 2025-2026学年度第一学期高二数学摸底考试卷 第2页共4页 *18.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 设f(x)=lg(x+1). (1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求x的取值范围； (2)设函数y=g(x)是定义域为[-1,1]的偶函数，当x∈[0，]时，g(x)=f(x).若 关于x的方程g(x)=1-lg(ax)(常数a>0)在[-1,1]上有实数解，求实数a的取值范 围、 19.(第1小题满分6分，第2小题满分8分) 根据预测，某地第n(n∈N)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和b,(单位： 辆)，其中an= [5m+15,1≤n≤3，b,=n+5.第n个月底的共享单车的保有量是前 -10n+470,n≥4， n个月的累计投放量与累计损失量的差. (1)求该地第4个月底的共享单车的保有量； (2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn=-4(n-46)2+8800 (单位：辆)，设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停 放点的单车容纳量？ 20.(第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 设圆C:x2+y2-2x-t2=0(常数t>0)与y轴正半轴的公共点为D,直线1过点 E(0,-3). (1)写出圆C的圆心C的坐标以及半径； (2)设t=V3,当直线1与圆C交于A、B两点时，求弦AB的中点M的轨迹； (3)设直线1的斜率为k,若1恒与圆C相交（仍记交点为A、B),求非负实数t的 取值范围；在上述情况下，若∠ADB为锐角，求实数k的取值范围. 2025-2026学年度第一学期高二数学摸底考试卷 第3页共4页 21.（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 对于定义域为R的周期函数y=F(x),若它同时满足以下三个条件：①存在最小正 周期T;②值域为[-1,1]；③存在x,∈(0，T),使得y=F(x)在[0，x]上为严格减函数，在 [xo,T]上为严格增函数；则称函数y=F(x)为“x。类余弦函数”.设函数y=f(x)是1- 类余弦函数， (1)若y=f(x)是偶函数，求该函数的最小正周期T; (2)若对于任意a∈(-1,1)，关于x的方程f(x)=a在区间(0，T)均有且仅有两个实 数解，求证：函数y=f(x)在区间[0,1]上的值域为[-1,1]； 「cos(πx),x∈[0，)， (3)设f(x)= cos+ 2π】 x∈L47常数k>0),y=f(x)的最小正周期为4 求实数k的值；进而，若关于x的方程f(x)=f(2x+p)(常数p∈(0,8))在[0,4)上恰 有3个实数解，求实数P的值（无需说明理由）. 2025-2026学年度第一学期高二数学摸底考试卷 第4页共4页