精品解析：广东汕尾市陆河县多校2026-2027学年第一学期10月阶段性教学质量监测高三数学试题

2026—2027学年度第一学期阶段性教学质量监测 高三数学试题 2026-10-29 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，，则 A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1％.若初始时含杂质20％，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：）（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知函数，若方程有三个不等实根，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论正确的是（ ） A. 函数（且）的图像必过定点 B. 若（且），则 C. 已知函数，方程的实数解为 D. 对任意，都有 10. 已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则下列结论中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的图象一条对称轴为 C. 在上单调递减 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，曲线在处的切线方程为 B. 当时，有极值点，且. C. 对任意，函数都存在最小值 D. 若恒成立，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则与的夹角为________． 13. 若函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围为________ 14. 已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分. 15. 已知在中，，，分别为内角，，的对边，且． （1）求； （2）设为边上一点，是的角平分线，且，，求的面积． 16. 已知函数在时取得极值． （1）求实数的值； （2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围． 17. 函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式； （2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍，得到函数的图象，若方程在区间上有解，求m的范围． 18. 已知. （1）讨论的单调性； （2）若恒成立，求实数的值； （3）当时，若函数有两个极值点，求证：. 19. 定义：若曲线与曲线在点处有公共点，且在该点处两曲线的切线相同，则称两曲线在处“相切”（点称为切点）. 已知函数与． （1）若曲线与曲线相切，求的值，并求切点坐标； （2）当时，证明：对任意恒成立，并指出等号成立的条件； （3）讨论关于的方程实数根的个数，并证明：当有两个不等实根时，若两根为，，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2026一2027学年度第一学期阶段性教学质量监测 高三数学试题 2026-10-29 温馨提示：请将答案写在答题卡上；考试时间为120分钟，满分150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的) 1.已知柴合4={1≤x<4,B={x3x-7之8-2x,则4nB=（) A.(1,4) B1,4) c(3,4] D.3,4) 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元一次不等式确定集合B,再求两个集合的交集 【详解】由3x-7≥8-2x,得5x≥15，即x23,故B={dx≥3} 又A=≤x<4华，所以AnB={3≤x<4,即B,4) 2若复数2=(1+1-i)+(1+),则=() A.1 B.2 c v3 D.V2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数的运算法则化简，再利用复数模的计算公式求值 【详解】由=-1，得2=(1+1-i)+(-1+i)=1-2-1+i=1+i 所以=VP+1P=V2 第1页/共22页 6学科网命组卷网 0e号，则am0 sin= 3.已知 3, 2 √2 A.-2√2 B.-V2 C.-4 D.8 【答案】C 【解析】 【详解】 3>tano三sn2=v√② cos0 4，故选C 4.曲线y=x血x在，0)处的切线方程为() A.y=x+1 B.y=2x+1 C.y=x-1 D.y=In2.x+1 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，利用导数的几何意义求出斜率，利用点斜式得到切线方程. 【详解】y=(y-lnc+x(ny=1-nx+x.-1mr+1 1 将x=1代入导数，得到切线斜率 k=yla=lnl+1=0+1=1 又切点(，0)和斜率k=1, 则曲线y=xx在（，0）处的切线方程为-0=1-(x-), =x-1 整理得 故选项C正确 5,己知偶函数（冈在(-∞，0上单调递减，且f(4)=0,则不等式（✉>0的解集为《） A.（-4,0U(4,+0) B.（-∞，-4)(0,4) 第2页/共22页 命学科网命组卷网 c.（-4,0u(-1,4) D.（-0,-4)U(4,+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】根据题中条件，分别讨论x<0,x>0两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果 【详解】若x<0,则矿()>0等价于()<0，因f)是偶函数，故(4)=f(4)=0, 又f(x在(，0上单调递减，则由（四大0可得4<x<0: 若x>0,则(>0等价于()>0.由题意，f(四在[0，m)上单调递增，则由()>0可得 x>4 综上，寸（✉）>0的解集为(4,0小U(4,to）. 故选：A. 18 16 7 A.25 B.25 C.25 D.25 【答案】C 【解析】 .π4 sin a+- 【分析】根据题意利用三角恒等变换可得 +3 5,以¤+气为整体，结合诱导公式和倍角八 算求解 【详解】由cosa+元 +sina= 4 cosa- 6 5,得2 sina+sina=4 , 即2 第3页/共22页 6学科网列组卷网 ua-哥ma+}-om-2a+到】oma+骨 -2me-2g门 7.某工厂生产一种溶液，按要求杂质含量不超过1%若初始时含杂质20%，每过滤一次可使杂质含量减少 2 3,要使产品达到要求，则至少过滤的次数为（已知：g2≈0.301，g3≈0.4771）()· A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】B 【解析】 【分析】依题意列出不等式再由对数运算法则计算，解不等式可得结果 【详解】设至少过滤的次数为n, 3 即lg ≤1g20,所以nlg321g20: ,n≥1g20_1+lg2≈1+0,301 ≈2.73 可得lg3lg3 0.4771 所以至少过滤3次才能满足要求， 故选：B 8已知函数f)= x,若方程2[f(x+(m+I)f(x)+m-1=0有三个不等实根，则实数m的取值 范围为( A( 2)c 【答案】B 第4页/共22页 6学科网6组卷网 【解析】 1--”、5黄- x的单调性，作出示意图， 0<1-m1 < 数形结合可得2e,求解可得实数的取值范围 【详解】由2Lf(P+(m+1f)+m-1=0,得2f+m-[f()+刂=0. 解得/)=-1或)-1，m 2, 求导得f)=1-nx 由f()=hx x2, 所以当0<r<c时.)>0，数)- x在(O,e)上单调递增， 当x>e时，f)<0,蹈数f)= x在(e,+o0)上单调递减， 所以fw≤fe)= ,又x→+0，fw→0，f(0=0,x→0，f()→-o 作出函数f)=血t x的图象如下： y=fx) e f(x)=-1 所由图知， 有唯一根， 第5页/共22页 学科网组卷网 又因为方程2Lf+(m+1/因+m-1=0有三个不等实根， 所以)=1二m 1-m,1 0< e-2 <m<1 2有两个不等正实根，由图知， 、2e,解得e 所以实数的取值范围为e 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是() A函数f(女)=a2-3(a>0且a≠1)的图像必过定点(2，-2) B若>aa>0且al),则m>m C已知函数f()=c-」 e+1,方程f(x)= 2的实数解为x=ln3 D.对任意xe R，都有3>2 【答案】AC 【解析】 【分析】A由Q°=1 可得函数所过定点： B由指数函数单调性可判断选项正误： e-11 C解方程e*+12可判断选项正误 3 D由函数y 与1的大小关系可判断选项正误 【详解】对于A,令x-2=0,可得x=2,又f(2)=1-3=-2 第6页共22页 命学科网命组卷网 则()图象过点(2，-2），故A正确； 对于B,者a>a,且0<a<时，m<”,放B错误 对于0，f=~>2e-)e41→e-3=h3 e*+12 故C正确； 对D,>0时(>1→32，x0时-1→r=2 当x<0时， 2 <1→3<2故D错误 故选：AC 10已知两数f()=sn(or++co(or+po≥0例分)前录小正周附为，n了的图象过 点(0，V2),则下列结论中正确的是() Af()的最大值为V2 B.f(x)的图象一条对称轴为4 0, C.f(x)在2 上单调递减 D把f(的图象向左平移石个单位长度，符到图数8(y=V5cos2x+ 6的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的最值性质，可判断A;采用代入验证的方法可判断B; 根据余弦函数的单调性可判断C;根据三角函数图象的平移变换规律可判断D. 第7页/共22页 6学科网6组卷网 【详解】 fw=V2sin(aox+p+乃 4, 最小正周期为π’：. 2π=元，得0=2' 则=5sin2x+p+学， :f)的图象过点(0，V2),f0)=V2sin(p+经=2， 即o+孕=9+2+ 4 4 2,得0=2kπ+ 4,k∈Z, 1p水经。当=0时.0= 4, 则f)=V2sin(2x++）=V2sin(2r+=2cos2x, 44 则f)最大值为V2,枚A正确， f=v2cos7-0≠士v2 2 ,即f(x)图象的一条对称轴为4错误， 当0<x<7时，0<2x<石：此时f)=2cos2x为减函数，故C正确， 无f)的图案时左平移石个单位长度，符到=2cos2+?-5co2x+学，无法得到 g)=V2cos(2x+名的图象，故D错误， 故选：AC. 1.己知函数f(=e-ln(x+a),则() A当a=0时，曲线y=/在=l处的切线方程为”=(e-1r- 第8页/共22页 6学科网列组卷网 B.当a=l时，f田有极值点，且f()=1 C对任意a∈R,函数f) 都存在最小值 D.若/)≥ 恒成立，则a≤1 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，由导数的几何意义即可求得切线方程；B选项利用导数的单调性判断函数(：单调性， 从而得到极值点。=1，进而求得(。)=1；C选项与B选项类似，证明存在使得()在(4，)上 单调递减，在(，+0)上单调递增，从而存在最小值；D选项，分离参数求得“的范围 【详解】A选项.当a=0时，f)=e-nx,测f()=e x,从而f(0)=c,f'(0=e-1, 所以y=f()在x=1处的切线方程为'-e=(e-1(x-)即y=(e-x+1,A错误； B达原，当a=1时，f)=c-h(g+,定义城lo）.e)=e中1且fo)=0, e则geet7 >0 (x+12,所以g(x)在(-1，+o)上单调递增， 又因为8(0)=f(0)=0,所以当1<x<0时，（✉<0，当x>0时，(>0， 所以（女在(L,0)上单调递减，在（0，+o）上单调送增， 所以(x在x=0处取得极小值(0)=1，即f(,)=f(0)=1,B正确： C选项。f=c-lh(x+a)定又域(-a,w）,f()=e- x+a, 第9页/共22页 6学科网6组卷网 设h(x)=e*- ,n(x)-e+,1 x+a,则 (+a>0 2,所以h(x)即f'(x)在(-a,+oo)上单调递增， 1 当x→-a且x>-a时，x+a ,此时∫'(x)→-0， 当x→+0时，e→+0，此时f'()→+0 所以'()必存在唯一零点>-a,当x<时，'()<0，当x>时，'(>0， 所以f()在（←a,)上单调递减，在（气，+）上单调递增，f(四)在x=处取得最小值，C正确： D选项，由C选项知.f(-定存在最小值，f(y)=0得x=,>-a, 则x,满足 5+6+a=。。f(m=fc)=e-mo+a)5十a+ 1 要使得f(x)≥1恒成立，则x,+a +名21之1-0恒成立， 即x,+a 1之0,1二x0≤0≥1二x0恒成立， 当x≥1时，x。+a ，xo+a 当)<1时，分离参数可得a≤ 1-x ).则小-特 (1-x)2 令()<0，得<0，令(x)>0,得0<。<1 所以()在(-0,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增， 所以p(6)m=p(0)=1,所以a≤1，D正确： 故选：BCD. 第10页/供22页 命学科网组卷网 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分 12已知4，=3，(2a-36)(2a+b)=61,则a与6的夹角0为 【红-号x 【解析】 ab 【分析】应用平面向量数量积运算律得出，再应用夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角. 【详解】因为(2a-36)小2a+b）=42-4a-6-362=61 又因为4利6=3，所以4×16-4a.6-3x9=61,所以ā.6=6 设a与b的夹角0,0c[0,刘 所以c0s0= ab-61 ×64x32,所以0=2 3 2π 故答案为：3· 1若西f(=x-4 -alnx 在定义域内单调递增，则实数a的取值范围为 【答案】 （-0,4] 【解析】 【分析】由∫()≥0恒成立，使用分离参数方法，再利用基本不等式求得Q的取值范围即可： 【详解】依题意知∫(x)=1+4-口-2-ar+4 xx x2 ≥0 因为函数f(x)在0，+0单调递增， 第11页/共22页 命学科网命组卷网 所以()≥0，即2-+4≥0对任意x>0恒成立， 4 所以a≤ 对任意x>0恒成立， 4 4 又因为x +x≥2，x× =4(当且仅当x=2时取“=)， 所以a≤4. 故答案为： （-∞，4] 14已知函数f(:)=心-a(x+血有两个零点，则实数a的取值范围是 【答案】a>e 【解析】 【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围 【详解】f()-心-a(x+h)=e:-a(x+lnd,令1=x+lnx,1eR,显然该函数单调递增， 即e-a=0有两个根，即e=at有两个根，如下图，作出函数'=心的图像及其过原点的切线y=“, 可知当a>C时有两个交点即C=有两个根」 故答案为：a>e. =et 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共77分. 第12页/供22页 命学科网命组卷网 bsin B-asin A=(a+c)sin C 15.已知 △1BC中，0，b,C分别为内角4，B,C的对边，且 (1)求B: (2)设D为边AC上一点，BD是△ABC的角平分线，且BD=2,a=3,求△ABC的面积. 2π B= 【答案】(1) 3 93 (2)2 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得答案， (2)由BD是△MBC的角平分线，可得Sc=8a4m+Sacm,结合a=3,BD=2,可求出C,再利 用三角形的面积公式可求得结果， 【小问1详解】 bsin B-asin A=(a+c)sin C 因为 所以由正弦定理得 b2-a2=(a+c)c n6-a=ac+.海心+c2-。ac 由余弦定理得0sB=口+c2-B、1 2ac 2 b=2r 又0<B<π，所以3. 【小问2详解】 因为BD是△ABC的角平分线， A8D=∠D8C-5. 所以 第13页/供22页 6学科网列组卷网 由S△MBC=SAABD+SACBD,可得 7 acsin2.a、1 1 ,π，1 32 cx BDxsin+ax BDxsin 32 3 因为a=3,BD=2,所以3c=2c+6,解得c=6, 枚csin行-×x6x5-9y5 32 22· 16已知数f-写-2+m+n x=1时取得极值。 (1)求实数m的值： （2)若对于任意的×∈[2,4)，f()>T恒成立，求实数n的取值范围. 【答案】(1)3 (2)(0,) 【解析】 【分析1)由极值点定义可得了0)='-4x1+m=0,解得m=3,经检验符合题意， (2)结合4)中结论可得出函数()在2,4上的单调性，求出最小值解不等式可求得实数”的取值 范围。 【小问1详解】 易知f()=x2-4x+m 依腿意0=-4×1+m=0,解得m=3, 此时f'()=r-4x+3=(x-1(x-3) 当x<1或x>3时，'()>0：当1<x<3时，'()<0 即函数()在(-0，)，(6，+∞)上单调递增，在，3)上单调递减， 第14页/共22页 6学科网 组卷网 因此函数(~)在x=1时取得极值， 所以m=3」 【小问2详解】 由4)得函数()在(2,3)上单调递减，在(3,4)上单调递增， 所以f6四=f3=写×3-2x32+3x3+n=n 由题意可得n>n2 解得0<n<1 所以”的取值范围为(0，) 12高女f八)=Asn(@r+p。>0-受<p<)自福分图象如图新示 山)求函数f（)的解析式： (2)将该函数的图象向左平移3个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来2倍， 0 得到函数y=g(x)的图象，若方程g(x)+m=0在区间 2上有解，求m的范围. 第15页/供22页 6学科网6组卷网 2)【-2-可 【解析】 【小问1详解】 由函数f()的图象，得A=2, 得0=2， 2,则p=- 3, 所以商数了付的解折式为)-=2sn2x-引】 【小问2详解】 将函数∫(x)的图象向左平移3个单位长度， 得y=2sm2x+）周]2m2x+引 再将图象上各点的纵坐标不变，横华标伸长到原来的2倍，得8()-2snx+写 由己知方程 方m=2(+到)在区上有 风y+别.22(+}- 第16页/供22页 6学科网命组卷网 所以m的范围为-2，-刂 18已知f(x)=x-alnx-1(aeR) （4)讨论f(x)的单调性： (2)若f()≥0恒成立，求实数a的值： 》当a=1时，若每数8f儿闭-+m 两个极值点，七，求证：X+为32>2. 【答案】(1)当a≤0时，f0在(0，+0 在 上单调递增， 当a>0时，在0，a)上单调递减，在 (a,+o) 在 上单调递增； (2)a=1 G8)当a=1时，8四=-血x-1r+m,则g()=1-x+m=+m+r-6x>0)】 因为8（田有两个极值点，6，所以8(）=0在0，+0)上有两个不相等的实根， 令8'田=0，即-m+1x+1=0 设H)=r-(m+1x+1,要使对应的方程在0，+o)上有两个不等的实根，， m+1、 需△=(m+1)2-4>0→m+1>2或m+1<-2,对称轴2 >0→m+1>0 ,端点值 H(0)=1>0 综上，只需满足m+1>2, 由韦达定理可知，是方程的两根，所以+x=m+1,所以+名>2 得证 第17页/供22页 可学科网可组卷网 【解析】 【分析】(1)利用导数及分类讨论研究函数的单调性： (2)根据已知分析得出a>0且a-alna-1≥0，再构造函数研究不等式恒成立求参数值即可： (3)问题化为8'(w=0金(0，+w 在 上有两个不相等的实根，结合一元二次函数的性质及对应方程根的个 数列不等式求参数范围，最后由韦达定理即可证 【小问1详解】 已知f)=x-alhx-1,定义域为(0，+o）, 求导()=1-名6x>0) xx 当a≤0时：因为X>0,因此f)>0.fw在0，+o） 在 上单调递增， 时：令()=0 当4> 解得术sa 当0<x<a时，x-a<0,所以()<0，f(在(0，a)上单调递减。 当x>a时，x-a>0,所以f'(>0,f(在（a,+o)上单调递增， 综上所述： 当a≤0时，f田在0，+w)上单调递箱。 当0>0 时， f国在0，o)上单调透减，在a,0）上单调道增。 在 【小问2详解】 由(1)知，若a≤0.fy0,+o) 在 上单调递增， 当→0时，f)→- ，不满足6)≥0 恒成立， 因此必须有a>0,此时因在x=0处取得极小值，也是最小值 所以f(x)mn=f(a)=a-alha-1, 第18页/供22页 命学科网命组卷网 要使y≥ 恒成立，只需a-aha-1≥0 令h(a)=a-alha-l(a>0）,求导得h(a=l-ma+)=-na, 当0<a<1时，a)>0,h(a在(0,1）上单调递增， 当a>1时，h(a<0,ha在（，+o)上单调递减， 所以h(@在a=1处取得最大值h0=1-0-1=0,即h(a)≤0， (a≥0 h(a=0 因此，要使 恒成立，只能 ·解得a=1 【小问3详解】 略 19定义：若曲线y=国与曲线'=8(：在点P(,(》处有公共点，且在该点处两曲线的切线相 同，则称两曲线在0处“相切”（点P称为切点） 已知函数/(y=ar(a>0)）与g(x)=lmc （4)若曲线)=f(与曲线'=8()相切，求a的值，并求切点坐标： 1 (2)当a=2e时，证明：8(x)f()对任意x>0恒成立，并指出等号成立的条件： （3)讨论关于x的方程8()=()实数根的个数，并证明：当有两个不等实根时，若两根为， 则5>e ②当0=20.今e-若(xs0】 第19页/供22页 6学科网列组卷网 则h()=x-1=2-e exex,从而h(x)<0台0<x<VE,h(x)>0台x>VE, 改4么x=6处表最小e小同)-名0， x2 从而h(x)≥0，即lnr 2e对任意x>0恒成立，当且仅当x=Ve时等号成立. （3)方程lnx=mr(x>0)的根， 即函数() x2的图象与直线y=a交点的横坐标.由 '(x)=1-2nx x3, 知“（冈在Q回可1单河谥者，在人e,+四小上单调建减，最大值为个⊙）。 且当x→0时，()→-0，x→切时，（→0，此时(>0 <a 故当 28时，方程有2个根：当a-2E时，方程有1个根x=V同)， 当 2e时，方程无实数根. 1 0<a< 当 2e时，设两根满足￥<为，则七<Ve<为. p=h0e).周0-2言-e 记h)=e3”,则h)=e”1-2列) 第20页/供22页 6学科网命组卷网 两根即为=h<号=为，且h0)=0)=a )=o)-0-对.则份=0 H'(y)=h(y)+h(1-y)=(1-2ye2y-e2-2) 因为当y<2时，1-2y>0且e2>e22, 所以>0，市)H=0,()h0-<》 取y=片，得h()<h(-),即h()<h1-) 又有在后m调量-男分：荷房>1-即片+以1. 从而血(x)=l+lx=y+乃>l.即5>e. 【解析】 【分析】(1)求得两函数的导数，根据相切定义列出方程，即可求解：(2)构造辅助函数 )(>0)来导分析其单调性，得出最值即可求解；《③)转化方，构洁新函 u(x)=Inx ˉx2，求导分析其单调性，得出最值情况并分类讨论出根的个数情况，对于有两个不等实根的情况， _Inx =y 设两根满足<，则x<Ve<,令V=血eR,则”=平。=e”, 此时需证明 第21页/供22页 6学科网命组卷网 男+g>1,令=e,)=A)--y< 求导分析单调性即可求解. 【小问1详解】 根据思意可知，相切条件为f(x)=8()且f()=8() 由f(x)=2,g'()=12am,=1 x,得 ,即2」 代入a6=lno,得" ，即6=6，从0衣 取名即a人e引 1 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第22页/共22页