14、数列的通项，求和问题以及数列相关的综合应用-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（十四） 数列的通项，求和问题以及数列相关的综合应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知数列{am}满足a1=2,am+1=2am十1，则a4= A.15 B.23 C.32 D.42 2.已知数列{an}满足am+1=an cosn元十3n,则数列{am}的前12项 和为 A.64 B.150 C.108 D.240 3.数列{an}中，a1=1,am+1=am十2n,则am A.n2-n+1 B.n2+1 C.(n-1)2+1 D.2n 4.已知函数f(n) m2,n为奇数， 且am=f(n)十f(n+1), -n2,n为偶数， 则a1十a2十a3十…十a1oo三 A.0 B.100 C.-100 D.10200 5.已知在等差数列an}中，an=一4n+5,等比数列bn}的公比q 满足q=am-am-1(n≥2)且b1=a2,则|b1|十|b2|+…十 |bn|= A.1-4" B.4"-1 c 6.我们把各项均为0或1的数列称为0一1数列，0一1数列在计算 机科学和信息技术领域有着广泛的应用.把佩尔数列P.}(P,= 0,P2=1,Pm+2=2Pm+1十P。n∈N)中的奇数换成0，偶数换成 1,得到0-1数列{am}.记an}的前n项和为Sn,则S2w= A.16 B.12 C.10 D.8 7.已知函数 2 为奇函数，且g(a)=f(x)十1，若am= 2025 ,则数列an}的前2024项和为 A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 8.已知数列{a,}满足a1=1,an+1=, an (n∈N*).记数列 1+√a {an}的前n项和为Sn,则 A号 <S100<3 B.3<S10w<4 C.4<S1w<2 9 D.2<Sm<5 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9 9.已知数列a,}的通项公式为a.=2m一7u∈N),前n项和为 S。,则测下列说法正确的是 A.数列{an}有最大项a4 B.使an∈Z的项共有4项 C.满足anam+1am+2<0的n值共有2个 D.使S。取得最小值的n值为4 10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它 的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何 学”按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形 图.若记图2中第n行白圈的个数为an,其前n项和为Sn;黑圈 的个数为bn,其前n项和为T,,则下列结论正确的是 第1行 第2行 0●●---- 第3行 图1 图2 A.a4=5 B.bm+1=am+b。 C.S10=b10-1 D.S10+T10=b11 11.定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数 列，这样的操作叫作该数列的一次“美好成长”将数列1、2进行 “美好成长”，第一次得到数列1、2、2；第二次得到数列1、2、2、4、 2;…;设第n次“美好成长”后得到的数列为1、x1、x2、…、x、2, 并记an=log2(1Xx1Xx2X…×x6×2),则 A.a2=5 B.k=2m+1 C.an+1-3an-1 D.数列 3” 的前n项和为2 3+1+1 三、填空题 12.数列{an}的通项为am= 三，其前n项和为Sn,若 n+1+ S。=9,则项数n= 13.记T,为正项数列和}的前n项积，已知T,。 则a1= ;T2024= 14.已知数列a}满足a1=33,a,1一a,=2m,则号的最小值为 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十四）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.记Sm为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3am十4. (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=(一1)"-1nan,求数列bn}的前n项和Tn. 16.设数列{an}的前n项和为Sm,且对任意正整数n,an十Sm= 4096. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列log2am}的前n项和为Tn,对数列{Tn},从第几项起 Tm<-509? 17.已知{an}为等差数列，bn= n一6，n为奇数 记Sn,Tm分别为 (2an,n为偶数 数列{am},bn}的前n项和，S4=32,Tg=16. (1)求{am}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tm>Sn 18.数列{an}满足a1=1且8am+1an-16am+1十2am十5=0(n≥1)， 记b= 1 -(n≥1). (1)求b1、b2、b3、b4的值； (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn· 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十四）·数学·第2页（共2页） 19.已知函数f(x)=x2-4,设曲线y=f(x)在点(xn,f(m)处 的切线与x轴的交点为(xm+1,0)(n∈N),其中x1为正实数. (1)用xn表示xm+1: n十2 (2)若1=4，记a。=lg,-2证明数列知.}成等比数列，并求 数列{an}的通项公式. (3)若x1=4,bn=xn一2，T。是数列{bn}的前n项和，证明：Tn3.14、数列的通项，求和问题以及数列相关的综合应用 1.答案：B 因为am+1=2am十1，所以am+1十1=2(am十1)， 所以{am十1}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以am十1=3·2m-1,所以am=3·2m-1-1,a4=23. 2.答案：C 根据题意，分别代入n=1,2,3可得，a2=-a1十3，a3=a2+6= -a1十9，a4=-a3+9=a1,a1+a2+a3+a4=12. 由c0snπ周期为2，同理可得a5十a6十a7十a8=36,ag十a1w十a11 +a12=60.所以S12=12+36十60=108.故选C. 3.答案：A 因为am+1=an十2n,所以an+1一an=2n,因此 a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…,am-an-1=2(n-1), 以上各式累加得：am一a1=2十4十6+…十2(n一1)= (n-1)[2+2(n-1)] 2 =n2一n: 又a1=1,所以an=n2一n十1，故选A. 4.答案：B 由题意，得a1十a2+a3十…十a1oo =12-22-22+32+32一42-42+52+…+992-1002一1002+1012 =-(1+2)+(3+2)一(4+3)+·-(99+100)+(101+100) =-(1+2+…+99+100)+(2+3+.+100+101) =-50×101+50×103=100. 5.答案：B 因为q=an-am-1=-4,b1=a2=-3, 所以bn=b1q”-1=-3X(-4)-1. 所以|b.|=|-3×(-4)-1|=3×4"-1, 即{引b}是首项为3，公比为4的等比数列. 所以61+16,1十+b.=30-4)=4-1.故选B. 1-4 6.答案：C 因为P1=0,P2=1,Pm+2=2Pm+1+Pm,n∈N, 所以P3=2P2十P1=2×1+0=2, P4=2P3+P2=2×2+1=5, P5=2P4+P3=2X5+2=12, P6=2Ps+P4=2×12+5=29, P,=2P6+P5=2×29+12=70, P8=2P,+P6=2×70+29=169, .. 可以看出数列am}的前20项为1,0,1,0，…1,0， 故S20=10×1+10×0=10. 7.答案：D 由于函数+)为奇函数。 则+)=-f(+) 即f(日-十f2+x小-0，所以fa)+f-2)=0. 所以g(a)+g(1-x)=[f(x)+1]+[f(1-x)+1]=2, 所以2(a1十a2十…十a2024) 1 2 +g(2025 …十g 2024 2025 【()十 (2025 =2X2024, 因此数列{an}的前2024项和为a1十a2十…十a222=2024. 8.答案：A 因为a1=1,a+1=,a。(∈N)所以a,>0,Sm> 3 1+√am 由am+1 1+√/aman+1a 1 a n+1 六六 即 11 √an 2 根据累加法可得，二<1+"2_"1. 2=2,(n≥2)， 11+1 当n=1时，= √/a1 2 则右<”宁当且仅当”=1时等号皮立， van 4 an 六a,≥(n十1).a+1 -n+1 1+√an 1+2n十3 n+1 01≤n+1 6 n十3，由累乘法可得a,≤(m+1)m十2)m≥2)，且a1 6 =1+1)(1+2)' 6 则a.≤(n十)十2)，当且仅当n=1时取等号， 由裂项求和法得： 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 所以s…<++++)} ) <3, 即2<Sm<8. 9.答案：AC 9 因为a,=2m-7n∈N), 9 9 -18 所以a+1-a,=2m-52n-7-(2n-5)(2n-7)1 7 am>0,即(2n-5)(2m-7)<0,解得2≤ 又n∈N,所以当n=3时am+1-an>0, 则当1≤n≤2或n≥4时，am+1一an<0, 令a。=2m—7>0,解得n>2 所以a1=-5>0=-3>a=-9,a:>a>a>>0, 所以数列an}有最大项a=9,故A正确； 9 由a.∈Z,则2n7∈Z又n∈N,所以n=2或n=8或m=4或 n=5或n=8,所以使an∈Z的项共有5项.故B不正确； 要使anan+1an+2<0,又am≠0，所以an、am+1、an+2中有1个为负 值或3个为负值，所以n=1或n=3,故满足amam+1am+2<0的n 的值共有2个，故C正确； 因为n≤3时am<0,n≥4时am>0,所以当n=3时Sn取得最小 值，故D不正确. 10.答案：AD 已知bn表示第n行中的黑圈个数， 设am表示第n行中的白圈个数， 则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生 下一行的一个白圈2个黑圈， 所以bn+1=2bn十am,am+1=bn十an,故B错； 又b1=0,a1=1, 所以b2=1,a2=1,b3=3,a3=2,a4=5,故A对； 由题意得S1=a1十a2十…十a10, 又bn+1=2bn十an→an=bn+1-bn-ba, 所以S1o=a1十a2十…十a10 =(b2-b1-b1)+(b3-b2-b2)+…(b11-b1w-b10) =b1-(b1o+bg+b8…+b1)-b1=b11-T10, 所以S10+T0=b11, 故C错D对. 11.答案：ACD a2=1og2(1×2×2×4×2)=log225=5,A对； 设第n次“美好成长”后共插人bm项，即k=bm,共有bn十1个 间隔，且b1=1,则第n十1次“美好成长”后再插人bn十1项，则 b+1=b,十(b。+1)=2b,+1,可得b+1+1=2(bn十1)，且b1十 1=2≠0，故数列bn十1}是以首项为2，公比为2的等比数列， 则bm十1=2×2m-1=2",故k=bn=2m一1，B错； 由题意可知： an+1= l1og2{(1Xx1Xx2X…XxkX2)[(1×x1)X(x1Xx2)X…X(xkX2)] =1og:0Xx1Xx2X…X4X2）×0xXx:X4X2 1×2 =31og2(1×x1×x2×…×x×4)-1=3am-1,C对： 因为a+1=3a,-1,且a1=1log,(1×2×2)=2,所以，a1一2 =5.且-所以数列{}是首项为 1 分=多公比为3的等比数列，所以，a?=7 ·3-1= 故：=，所以 3” 3” 3 anan+1 (3”+1)(3"+1+1) 4·3m 2[③+1+1)-(3+1)] 2 (3”+1)(3+1+1) (3”+1)(3”+1+1) 3”+1 32所以，数列{”}的前n项和为 2 2 2 anan+1】 3+132+1 2 2 2 32+133+1 …十 3"+13+1+1 -2 3++1D对. 12.答案：99 依题意，am= =√n+I-√m,因此Sn=√2-1+√5 n+1+√n -√2+√4-√5+…+n十I-√n=√n+1-1, 而Sn=9,则√n十1一1=9，解得n=99,所以项数n=99. 13.答案：2；2025 根据题意令n=1,可知T=a1一a一 又数列an}的各项均为正，即a1≠0； 解得a1=2; 由T.。2=01a:ag0.可得 9an-i=a1a2a3…a。1, 即a1a2a3…am-1(am-1)=1,可得T。-Tm-1=1; 所以数列{Tn}是以T,=a1=2为首项，公差为d=1的等差 数列； 因此Tm=T1+(n-1)×1=n+1, 所以T2024=2024+1=2025. 14答案： :am+1-an=2n,∴.当n≥2时， am=(am-am-1)+(am-1-am-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1十 2+…+(n-1)]+33=n2-n+33, 且对n=1也适合，所以an=n2一n十33. 从而=3+-1， 设fm)=3+1-1,令'n)=33+1>0, n2 则f(n)在（√33，十∞）上是单调递增，在(0，√33)上是递减的， 因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值. 又因为号号告管 所以号的最小值为号号 15.(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4. 当n≥2时，4Sm-1=3am-1+4, 所以4Sm-4Sn-1=4an=3am-3am-1,即am=-3am-1, 而a1=4≠0，故an≠0，故a。=一3， an- .数列an}是以4为首项，一3为公比的等比数列， 所以am=4·(-3)"-1 (2)bn=(-1)”-1·n·4·(一3)”-1=4n·3n-1, 所以Tm=b1+b2+b3十…十bn =4·3°+8·31+12·32+…+4n·3m-1 故3Tn=4·31+8·32+12·33+…+4n·3” 所以一2Tm=4十4·31+4·32+…十4·3m-1一4n·3” =4+4.30-31) 1-3 -4n·3" =4十2·3·(3m-1-1)-4n·3" =(2-4n)·3”-2, .Tn=(2n-1)·3"十1. 16.(1)当n=1时，a1+S1=2a1=4096,解得a1=2048, 当n≥2时，由am十Sn=4096得am-1十Sm-1=4096, 两式相减可得2a,一a1=0,即a。=2a。-1 1 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 所以数列知}为等比数列，公比为2， 所以an=2048》 )=) (2)由(1)得1og2am=12-n, 所以T,=01+12-m)n=(23-)n 2 当n≤23时，Tm≥0， 令fa)=②3，m)n,则f)在(23，十0上单调递减， 2 又f(45)=(23-45)×45 2 -495>-509, f(46)=(②3-46)X46 2 -529<-509, 所以当n≥46时，f()<-509, 即从第46项起Tn<一509 17.(1)设等差数列{an}的公差为d, 而b。= (an-6,n=2k-1 ,k∈N", 2an,n=2k 则b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6, 于是=4a1+6d=32 1T3=4a1+4d-12=16 解得a1=5,d=2,am=a1+(n-1)d=2n+3, 所以数列am}的通项公式是an=2n十3. (2)方法1：由(1)知，S.=n(5+2m十3) =n2十4n, 2 2n-3,n=2k-1 bn= ,k∈N, 4n+6,n=2k 当n为偶数时，bm-1十bn=2(n-1)-3十4n十6=6n+1, T.-8++兰-+ 2 n, 1 当n5时，TmS三（号n2十7）-（n十4n)=2n(n-1)≥ 0,因此Tn>Sn, 当n为奇数时，T.=T-61-号a十1D+号(m+1)-[4 7 3 (n+1)+6]=2n2+ 2n5, 3 当n>5时，T=S=（2+号n-5)-(n2+切) 2（n+2)(n-5)≥0，因此T>S 所以当n>5时，Tn>Sn 方法2.由1)知，S.-n5+2n+3》=m2+4n, 2 bn= 2n-3,n=2k-1 4n+6,n=2k ,∈N, 当n为偶数时， Tm=(b1+b3+…+bm-1）+（b2+b4十…+bm）= -1+2(n-1)-3.”+14+4n+6.”=3 ,7 2 2 2 ·2=2n2+21, 3 7 1 当n>5时，T。-S.=(2n2+2n)-(n2+4n)=zn(n-1)> 0,因此Tn>Sn, 当n为奇数时，若n≥3，则 T,=(b1+b3+…+bn)十(b2+b4+…十bm-1) =-1+2n-3.n+1+14+4(n-1)+6.n-1 2 2 2 2 = 3 5 n2+2n-5, 显然T1=b1=一1满足上式， 2n+ 因此当”为奇数时，T,= 21-5, 3 当n≥5时，T。5三（之n2七5n5)二(n2+4n) 2（n+2)(n-5)>0,因此T.>S., 所以当n>5时，Tm>Sn 18.(1)由b.= 1一得a.一bn 11 代入递推关系8am+1am一16am+1十2am十5=0， 即0.)2+》6n+)++)5=0 4 6 +3=0,即b+1=2b。一3’ 4 整理得 1 由a1=1,有b1= =2, 1 a1一2 所以a=%青号6，=20：-青=46，=h,专-9 (2由么1=20，专所以61言-26.一专， 又号0 所以收一台}是首项为子公比g=2的等比数列， 故6一2，即6=·2+ 1 由b,=— 得a.-之b.+1. 1 故S。=ab1十ab:十十a,b,=2(b十b:十十b,)十n 31-2) 「 3(1-2）5 4 2 1-2 1-2 3(2+5m-1. 19.(1)由题意知，f'(x)=2x, 所以曲线y=f(x)在点(xm,f(xm)处的切线方程为 y-f(x)=f'(x)(x-z), 即y-(x品-4)=2xn(x-xn), 令y=0,得-(x日-4)=2xn(xn+1一xn), 即x日十4=2xnxn+1, 显然xn≠0，所以xm+1= +2 2 Jn (2=专+2知 w++2=9++2=2 22n 同理x+1一2= 故+2+3 （xn-2)2 2In xm+1-2xn-2 有，号2 xn十2 -2,即a+1=2a, 所以数列{an}成等比数列. 故a。=a1·21=2-1g-2=201g3, 221g3. xn十2 即lg 有2+号，所以.-23D, 2n-2 32-1-19 (3)由(2)知，x, 2(32-1+1) 32m=1-1 4 则6，=x。-2=3n->0, 所以中-二11 111 32”-13201+132可≤321可=3’ 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 当n=1时，显然T1=b1=2<3; 当n>1时b.<}b。1<(})6<<(分）b1, 所以T。=b,+b,+…+b.<b+3b+十(3)b1= 61-(宁 13 -8-<. 3 综上，Tn<3(n∈N*).