12、平面向量与复数-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（十二） 平面向量与复数 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知x=1一2i,且之十az十b=0,其中a,b为实数，则 A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-2 2.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b一4a),则x= A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.欧拉公式e=cos0十isin0把自然对数的底数e,虚数单位i,三角 函数cos0和sin0联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数之满 足(x十e号)·i=2-i,则|z|= A.2 B.22 C.5 D.W√10 4设。6都是丰零向量，则下列四个条件中，使合一 b 成立的 充分条件是 A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且a|=bl 5.已知在复平面内复数1,22对应的向量分别为OZ1,OZ,.若x1= 1一i,z2=4,则Z1Z,在OZ1上的投影向量为 A.(1,0) B.(1,-1) C.(2,-2) D.(3,0) 6.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用 计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方 法.假设二维空间中有两个点A(x1y1),B(x2y2),O为坐标原 点，余弦相似度为向量OA,OB夹角的余弦值，记作cos(A,B), 余弦距离为1一cos(A,B), 已知P(cosa,sina),Q(cos3,sin3),R(cosa,-sina),若P,Q的 余弦距离为了，tana·tan8=子，则Q,R的余弦距离为 1 A.2 1 4 D.7 7.已知非零向量AB,AC满足 AB.BC AC.CB AB ACI 且AB AC ABI IACI 2则△ABC为 A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 8.如图，AB是圆O的一条直径，且|AB=4,C,D是 圆O上的任意两点，CD=2,点P在线段CD上，9 则PA·PB的取值范围是 A.[√5,2] B.[-1,0] C.[3,4] D.[1,2] 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列命题正确的有 A.已知复数之的共轭复数为之，则之十之一定是实数 B.若a,b为向量，则a·b|=a·b C.若122为复数，则|之1之2|=|z1|·|之2 D.若a,b为向量，且|a十b|=|a-b|,则a·b=0 10.定义两个平面向量的一种运算a☒b=|a·|b|·sin(a,b〉， 则下列关于平面向量上述运算的结论正确的是 A.a☒b=b&a B.入(a☒b)=(aa)b C.若a=b,则a⑧b=0 D.若a=λb且入>0，则(a+b)⑧c=(a☒c)+(b⑧c) 11.蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角 柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱 形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂 蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF,它的边长为1， 点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则 AD克-京-号Ad .筋=是 C.若P为EF的中点，则CP在EC上的投影向量为一√3EC D.FE+FP|的最大值为√7 三、填空题 12.已知复数之=1十2i,若i”·之(n∈N*)在复平面内对应的点位于 第四象限，写出一个满足条件的n= 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十二）·数学·第1页（共2页） 13.已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,1c|=√2，且a十b+c=0, 则cos(a一c,b一c）= 14.已知平面向量OA,OB满足OA|=|OB|=1,若关于x的方程 |x·O-O=有实数解，则△A0B面积的最大值为 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(1,0),B(7,3), C(4,4),D(2,3). (1)求向量AB与AC夹角的余弦值； (2)证明：四边形ABCD是等腰梯形. 16.已知△ABC中，过重心G的直线PQ交线段AB于P,交线段 AC于Q,连结AG并延长交BC于点D,设AB=a,AC=b, △APQ的面积为S1,△ABC的面积为S2,AP=mAB,AQ= n AC. (1)用a,b表示AG,并证明+1为定值； (2求的取值范同. G B 17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点D为边BC 上一点，且满足(AD+AC)·BC=0. (1)证明：AD=b; (2)若AD为内角A的平分线，且AD=号A店+号AC,求sinA. 18.已知关于x的实系数一元二次方程2.x2一4(m-1)x+m2+1 =0. (1)若m=2,求方程的两个根； (2)若方程有两虚根之1，之2，z1|十之2=4，求m的值； (3)若方程的两根为x1,x2,其在复平面上所对应的点分别为 A,B,点A关于y轴的对称点为C(不同于点A),如果 OB·OC≤一1，求m的取值范围. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十二）·数学·第2页（共2页） 19.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难 人微，数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两 个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条 件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.而向量正是数与形 “沟通的桥梁”.在△ABC中，试解决以下问题： (1)G是三角形的重心（三条中线的交点），过点G作一条直线分别 交AB,AC于点M,N. (1)记AB=a,AC=b,请用a,b表示AG: (i)AM=mAB,AV=nAC,求4m十n的最小值. (2)已知点O是△ABC的 一，且A0=4花+号4C,求 cos∠BAC. 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答， (注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分) ①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）. G12、平面向量与复数 1.答案：A z=1-2i, x+a2+b=1-2i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a-2)i, 由之十az十b=0,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应 相等， 得+a+b=0 2a-2=0 即，as1 b=-2 2.答案：D 因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0, 所以b2-4a·b=0即4十x2一4x=0,故x=2. 3.答案：A n3=-i 由欧拉公式得e“中=cas受+ 因此(z十e号)·i=2-i化为(x-i)·i=2-i, 则-2即2.+14+=-1- i·(一i) 1 所以|之|=√(-1)2+(-1)z=√2. 4.答案：C 因为向量日的方向与向量a相同，向量女的方向与向量6相 同，且日&所以向量a与向盘6方向相同，故可排降选项 b 2b A,BD.当a=2b时a2b=6故a=2h”是“a ”成立的充分条件 6 5.答案：B 因为x1=1-i,22=4,所以OZ=(1,-1),0Z2=(4,0), 所以Z1Z2=0Z2-0Z1=(4,0)-(1,-1)=(3,1), 所以Z1Z2·OZ1=3×1+1×(-1)=2, 1OZ|=√+(-1)7=2， 所以Z1Z,在OZ上的投影向量为 Z1Z,·OZ1 .0z=0Z=(1,-1). 1oz12 6.答案：A 由题意得 OP =(cosa,sina),OQ=(cosB,sinB),OR =(cosa,-sina), o.0 则cos(P,Q)= 2 cosacos3+sinasing= OPOQ 又tanatan3= sina sing 1 cosa cos3 7 ..cosa cosB=7sina sinB,..sinasin= 12cosa cos=12 1-cos(Q,R)=1- 1 7.答案：D 由 A店AC 1 IABI ACI 得0sA= 2,又0<A<π，A= 由A店·BC_A心.C AC )·BC=0,.角A的 IAB C,得、店 IAB 角平分线垂直于BC,.AB=AC, ∴△ABC是等边三角形. 8.答案：D 如图，O为圆心，连接OP, 则PA·PB=(PO+OA)·(Pò+OB) =PO*+PO.OB+PO.OA+OA OB =PO2+P0·(OB+OA)-OA =1P012-1OA12=|Pò12-4， 因为点P在线段CD上，且CD=2, 则圆心到CD所在直线的距离d=√22一1=√5， 所以√3≤|Pδ1≤2，所以3≤|Pò12≤4， 则-1≤|P012-4≤0，即PA·PB的取值范围是[-1,0]. 9.答案：ACD 对于A,设x=a十bi(a,b∈R),则之=a-bi, 故x十之=a十bi十a-bi=2a∈R,故A正确； 对于B,a、b为向量，设夹角为9，则|a·b|=a|b|cos0,故 B错误； 对于C,设x1=a+bi,x2=c十di,a,b,c,d∈R, z1.z2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i, z1·z2|=√(ac-bd)2+(ad+bc)2=√a2c2+bdl2+a2d2+b2cz, |z1·z2=√a2+b·√2+d=√ac2+bd2+ad+b'c2, 所以之12=之1·之2，故C正确； 对于D,a、b为向量，且a十b|=|a-b|,则a2+b2+2a·b= a2十b2一2a·b,即a·b=0,故D正确. 10.答案：ACD A.恒成立； B.a(a☒b)=入a·|bsin(a,b), 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 (λa)☒b=|λa·|bsin(a,b), 当λ<0时，入(a⑧b)=(Aa)☒b不成立： C.a=λb,则sina,b〉=0，故a☒b=0恒成立； D.a=λb,且入>0，则a+b=(1+入)b, (a+b)☒c=|(1+λ)|·|b|·|c sin<b,c), a☒c)+(b☒c)=ab|·|c|sin(b,c)+|b|·|c|sinb,c) =|1+入|lb·clsin(b,c), 故(a+b)☒c=(a⑧c)+(b☒c)恒成立. 11.答案：AD 因为D元=O元-O币=A庐-号A币，枚A正确： 由题意可知：CE⊥EF,若P为EF的中点，所以CP在EC上的 投影向量为一EC,故C错误； 如图，建立平面直角坐标系， 2 可得AC= 多，5，B币=05)，所以A.B而=号，故B 22 错误； 设P)可知-1≤号0<夏 则成=2)币=e+10 可得成+(+y+ 则成++)、 可知当x=2y=之，即点P与点D重合时， |F龙十FP|的最大值为√7，故D正确. 12.答案：3(4n+3,n∈N中的一个均可) 复数之=1十2i,可得”·之=”·(1+2i)=”十2+1， 当n=4k十3时，可得+3·之=i+3十2+4=2一i, 此时复数”·之对应的点位于第四象限， 当k=0时，n=3符合题意， 故答案为：3(4n十3，n∈N中的一个均可). 18答案：号 因为a+b+c=0,所以a+b=-c, 即a2+b2+2a·b=c2,即1+1+2a·b=2,所以a·b=0. 如图，设OA=a,OB=b,OC=c, 由题知，OA=OB=1,OC=√2， △OAB是等腰直角三角形， AB边上的高OD= 9AD 2 所以CD=C0+OD=+5_32 2 21 ZACD-8-as∠ACD vio' cos(a-c,b-c〉=cos∠ACB=cos2∠ACD =2cos2∠ACD-1=2× -1=青 14.答案：8 1 设∠AOB=0,因为△AOB,故0∈(0，x),则OA·OB=cos0,显 然x≠0，对1x·0-0方=两边平方有x2-2xcos0十1= 6即eo6=兰十品有解，因为1a01 15 「当且仅当即x=士时 15 /2 32.x 取等号.故s0=V广o≤1一需=行则△A0B周积的 最大值为分×1X1X}-日，当且仅当x=±年 时取等号 4 15.(1)因为AB=(7,3)-(1,0)=(6,3), AC=(4,4)-(1,0)=(3,4), 所以cos(A方，AC)= AB·AC 18+12_2W5 |AB1|AC|35×5 5 (2)因为DC=(4,4)-(2,3)=(2,1), 所以AB=3DC,即AB∥CD, 而BC=(4,4)-(7,3)=（-3,1), AD=(2,3)-(1,0)=(1,3), 故不存在A∈R使BC=入AD,即BC,AD不平行， 又|BC|=√0，|AD|=√10，故|AD|=|BC1, 综上，四边形ABCD是等腰梯形. 16.(1)根据题意， 花号a市-号+d)-+b: .AP=m AB,AQ=n AC, P,G,Q三点共线，则存在入，使得PQ=入PG, 即AQ-AP=A(AG-AP), 即b-ma(a+b-a)=(合mia十德 1 m= -m入 3 n= 3 整理得3mn=m十，所以1十1=3为定值： (2)根据题意，由(1)AP=mAB,AQ=nAC, 动 ·sin∠BAC S: GAB·AC·sin∠BA AP1·AQ =22, |AB|·|AC :1+1 =3,n= ∈(0,1)， m n 3m-1 me(21), S. : m2 =nn= 3m可-+3-- 2 9 m2十m )十 2 4 则当1= m 时，取得是小值宁 当日1时子取得最大 1 宝的聚位范同机吉白 17.(1)记CD的中点为E,则AD+AC=2AE, 因为(AD+AC)·BC=2AE·BC=0,所以AE⊥BC, 所以AE为CD的垂直平分线，所以AD=AC=b. D (2)记∠CAD=0, 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 因为市=号店+号AC,所以A市-店=2C-A市)， 所以Bi=2DC,BD=号，DC 3a, 又AD为内角A的平分线，所以6=光=2，c=2b, 在△ACD,△ABD中，分别由余弦定理得： 2+b-2bc0s0=号，b3+46-4hc0s0=4 9, 联立可得a2= 9b2 2 b2+4b2- 9b2 在△ABC中，由余弦定理得cosA= 21 4b2 8 所以sinA= 37 Γ8 18.(1)当m=2时方程为2x2-4.x+5=0, 则△=(-4)2-4×2×5=-24， 所以方程的根为 4+w24i2+√6i x1= ,=42426 4 4 (2)因为方程有两虚根之1，之2， 所以△=16(m-1)2-4×2×(m2+1)=8(m2-4m+1)<0, 解得2-√5<m<2十√3， 此时方程有两个共轭复根之1、之2， 故|z1=|z2|,又|之1|+|x2|=4,所以|z1=2, 所以1：=1，=m,1-4,解得m=万或m=一万（会舍去. 2 (3)若△≥0，即m≤2-√3或m≥2+√3时， 此时-4m-)+6,-4m-)-6 4 4 则A 4 显然x,=4m-1)十瓜 ≠0， 4 所-色-区小(o-+百0 则Oi.0元=-4m-1)-△.4(m-1)+√△ _4-16(m-1)2_8m2-4m+1)-16m-1)≤-1， 16 16 即m2-1≥0，解得m≥1或m≤-1， 所以m>2+√3或m≤-1； 若△<0，即2-√3<m<2十√3时， 设x1=a十bi,x2=a-bi(a,b∈R), A(a,6),B(a,-6),C(-a,b), 所以OB=(a,-b),O0C=(-a,b), 所以0B.0C=-a2-b2≤-1，即a2+b2≥1， 又x1+x2=2a=2(m-1), 1·x2=(a-bi)(a+bi=a2+b2=m+1 2 所以”生≥1，解得a≥1或a<-1,所以1≤m<2-5: 综上可得m的取值范围为（一∞，一1]U[1,十o). 19.(1)(i)设A(x1y1),B(2y2),C(3y3), 由重心的坐标公式得G(十十，十+y). 3 3 且AB=(x2-x1y2-y1),AC=(x3-21y3-y1), 可得G=(2十十-1，十+-y) 3 3 =（2+-21,y2+y-2) 3 3 =-2十3-1，y2一y1十y3-y) 3 3 =22二21+2x3一.y-y1+y-y1) 3 3 3 3 =)+,) 3 3 3 3,-1%-)+子-1- (i)因为AM=mAB,AN=nAC,其中0<m,n<1, 所以A店=1Ai,AC=1AN, 则=专·+号·不=+. 3 3n 根据平面向量的共线定理，可得十机三1，其中0<m,w<立 1 所以4m十n=(4m十n)· 3m3n）=3(5+”+4) +) )= m n ≥+2 In 4m )= 1 ·(5+4)=3, m n 3 当且仅当”-时，即m=2n=1时，等号成立， 1 m n 所以4m十n的最小值为3. (2)①如图所示，当O是△ABC的外心时， 取AB,AC的中点分别为P和Q, 因为A0=A+号AC, 可得Pd=Ad-A庐-A店+子AC2A店 4a+ 3 动-0-西-专证+号d号C-动， 由O是△ABC的外心， a2+ 可得O市1A成，可得(-a+b)a= 3a·b=0 即3a2=4a·b, 即2b2=3a·b, 所以3a令6，即a2号1b1, 3 所以ab=号0=号o小 2 2 a·b ·b1 则cos<a,b)=a·1b 2211·16 2 即cos∠BAC=E 2 若选②：如图所示，即O是△ABC的垂心 因为Ad=}A+3AC, 可得OC=AC-Ad=A心-(A店+号AC) =- 1 由O是△ABC的垂心， 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 则0父1，可得(-a 3b)·a=- .2 2 3 4a2+ a·b=0, 3 即8a·b=3a2, o1aC,可得（子ab)b- 31 4a·b- b2=0, 3 即9a·b=4b2, 联立方程组，可得27a2=32b2, 即la=21b1,所以ab=音b, 3√3 4 所以csa,b>=a·b45b·lb a·b ·1b12 V6 6 3√3 即cos∠BAC= 6