11、解三角形及其应用-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（十一） 解三角形及其应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在△ABC中，已知B=120°，AC=√19，AB=2,则BC= A.1 B.√2 C.5 D.3 2.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 若cosA+cosB_sinC 则 a A.cosA cosB=sinC B.sinAsinB=sinC C.sinA cosB=sinC D.cosAsinB=sinC 3新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑.如 图，某同学为测量观光塔的高度OP,在观光塔的正西方向找到 一座高为40米的建筑物MV,在地面上点Q处(O,Q,N三点共 线且在同一水平面上)测得建筑物MN的顶部M的仰角为石， 测得观光塔的顶部P的仰角为不，在建筑物MN的顶部M处测 得观光塔的顶部P的仰角为，则观光塔的高OP为 A.40√2米 B.80米 C.80√2米 D.40√3米 4在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,6C,若B-吾， 9 B=ac,则sinA+sinC 2√39 A 13 B.39 13 D.3/13 13 5.在△ABC中，已知AB=1,BC=2厄，C=年，若存在两个这样 的△ABC,则x的取值范围是 A.[2√2，+o) B.(0,2√2) C.(2,2√2) D.(2,2) 6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C, b=√2a,则 A.△ABC为直角三角形 B.△ABC为锐角三角形 C.△ABC为钝角三角形 D.△ABC的形状无法确定 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,2 a cosA= bcosC+ccosB,且a=4sinA,则△ABC周长的最大值为 A.4√2 B.6√2 C.4√3 D.6√3 8.在△ABC中，B=120°，AB=√2，∠BAC的平分线AD的长为数 列{an}(其中am=n)的首项与第三项的等比中项，则AC A.2 B.3 C.√6 D.2√3 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下叙述或变形 中正确的有 A.a=b台sin2A=sin2B 26+c B.在△ABC中，sinA2simB+simC C.若sinA+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 D.A>B台sinA>sinB 10.△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2, △ABC的面积S-应.花，则以下说法正确的是 A.A=309 B.△ABC的周长的最大值为6 C.若bc=4,则△ABC为正三角形 D若AB边上的中线长等于2，则S=3 11.若△ABC的三个内角为A,B,C,则下列说法正确的有 A.sinA,sinB,sinC一定能构成三角形的三条边 B.sin2A,sin2B,sin2C一定能构成三角形的三条边 C.sinA,sin2B,sin2C一定能构成三角形的三条边 D.√sinA,√sinB,√sinC一定能构成三角形的三条边 三、填空题 12.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2sinA+ sinC=2 sinBcosC,写出满足条件“ac=10”的一个b的值 13.在△ABC中，已知CA=1,CB=E,A-B=还，则amB ,AB= 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十一）·数学·第1页（共2页） 14.在△ABC中，AB=4,BC=3,则当函数f(B)=cos2B一 c0s(B+受)-5sin(B+行)十5取得最小值时，AC= 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 已知sinA+√3cosA=2. (1)求A. (2)若a=2,W2 bsinC=csin2B,求△ABC的周长. 16.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c, B+C b·sin2 =asinB. (1)求角A; (2)若AB·AC=2,求a的最小值. 17.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角， a=7,sin2B= 7bcosB. (1)求∠A; (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知， 使得△ABC存在，求△ABC的面积. 条件①h=7:条件②：60sB-1片：条件③csnA-昌5。 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个 符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18.已知a,b,c分别为锐角△ABC内角A,B,C的对边， b-2acosC=a. (1)证明：C=2A; (2)求1mA的取值范围. cosC 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十一）·数学·第2页（共2页） 19.已知梯形木板ABCD,AB∥CD,AD=BC=2米，AB=3CD= 3米，现要把木板沿线段MV锯成面积相等的两部分，其中点 M在线段AB上，点N在另外的三条边上. (1)当点N在线段BC上时，设BM=m米，BN=n米，求mn 的值； (2)求锯痕MN的最小值. C N A M B11、解三角形及其应用 1.答案：D 设AB=c,AC=b,BC=a, 结合余弦定理：b2=a2+c2-2acc0sB 可得：19=a2+4-2×a×c×cos120°， 即：a2+2a-15=0,解得：a=3(a=-5舍去)， 故BC=3.故选：D. 2.答案：C 由osA+eosB_sinC得，(bcosA十acosB)=absinC, 即c2=absinC.由正弦定理得，sinC=sinAsinBsinC. 因为C∈(0，π)，所以sinC>0,所以sinC=sinA sinB.故选B. 3.答案：B 由题意可得PQ=EOP,MQ=2MN=80米，∠PMQ-至， 则∠MPQ=x年-（-)- MQ PQ 在△PMQ中，由正弦定理可得 sin 6 sin 4 即80-V2o ,解得OP=80米. √② 2 2 4.答案：C 因为B=子6- 4ac, 则由正弦定理得sinA sinc=4 g sin'B=1 9 由余弦定理可得：b2=a2十c2一ac= 即：a2+c2=13 c, 根据正弦定理得sin2A十sin'C=13si 4sinAsinC=13 21 7 所以(sinA+sinC)2=sinA+sinC+2 sinAsinC= 4 因为A,C为三角形内角，则sinA十sinC>0, 则sinA+sinC= √7 2 5.答案：C 由正弦定理AB -BC可得sinA=BCsinC-2 sinC sinA AB x 由题意可知：关于A的方程mA-2在A∈0， 有两解， 在同-坐标系内分别作出曲线y=mA,A∈0，)和水平直线 2 =sinA 3远 4 因为定们有两个不同的交点，所u号<是1，所以2<2反 6.答案：A 由b=√2a,可得sinB=√2sinA, 则sin2C=√2sin(元-3C)=√2sin3C, sin2C=√2sin2 CeosC+√2cos2C·sinC, 2cosC=22 cos2C+2 (2 cos2C-1), 即4√2cos2C-2cosC-√2=0， 由B=2C>C,故C只能为锐角，可得c0C- 2, 因为0<C<,所以C=年B=受 7.答案：D 因为2 a cosA=bcosC+ccosB, 由正弦定理得2 sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA, 因为sinA≠0，所以c0sA=2,由于A∈(0，x),故A=于，则a 4sin子=25. b 由正弦定理得 sinA sinB sinc=4, 枚b+c=4sinB+4snC=4sinB+4sin(B+音 -4sinB +2sinB+in 又∈6.}则B+晋∈（后） 所以simB+)c(2,1则b+c∈(e,4v], 故△ABC周长a十b十c的最大值为6√5. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 8.答案：C 因为AD的长为数列{m}的首项与第三项的等比中项， 所以AD2=a1·a3=1×3=3,所以AD=√3 在人MBD中：由正弦定理品治得∠DA= AB 2 2 因为0°<∠BDA<60°，所以∠BDA=45°，∠BAD=15°， 又AD为∠BAC的平分线，所以∠BAC=30° 又B=120°，所以C=30°，所以△ABC为等腰三角形， 由正弦定理AC一AB sin120-sin30,所以AC=√6. sing-sin个，得.C √2 9.答案：BCD 由正弦定理得a=b台A=B,而当sin2A=sin2B时，则2A=2B 或2A十2B=元，则A=B或A十B=2,所以A情误。 b 2b 2b+c 在△ABC中， sinA sinB sinC 2sinB 2sinB+sinC,故B 正确。 “a2+b2<c2,则cosC=a2+b2-c <0,.C为钝角，故△ABC 2ab 一定是钝角三角形，因此C正确： A>B台a>b,由正弦定理得a>b台sinA>sinB,故D正确， 10.答案：BC 1 即可得到anA=B,又A∈0，)，所以A=,故A项错误 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA=(b+c)2-3bc=4, 利用基本不等式可知bc≤+c) 4 所以b十c≤4，当且仅当b=c时取等号，此时周长最大值为6， 故B项正确. 由B项可知当bc=4时，b十c=4, 则b=c=2=a,故△ABC为正三角形，故C项正确. 设AB边上的中线为CD, 设AD=BD=t, 在△ACD中，CD2=t2+b2-2bcos=4 33 在△ABC中a2=(2)+b-4hc0s号=4， 联立可解得t=b=23 3 则s=×2×4× 233 2 =等，故D项错误， 11.答案：AD 对于A中，由正弦定理得sinA：sinB：sinC=a:b：c, 所以sinA,sinB,sinC作为三条线段的长一定能构成三角形，所 以A正确； 对于B中，例如：设△ABC中，A=30°，B=30°，C=120°， 可得2A=60°，2B=60°，2C=240°， 可得sm21加2B-n2C= 2<0, 显然sin2A,sin2B,sin2C作为三条线段不一定构成三角形，所 以B错误； 对于C中，例如：设△ABC中，A=30°，B=60°，C=90°， 可得snA=号sinB- 1 2,sinC=1, 所以sinA=子，sin'B= 4,sin2C=1, 此时sinA+sinB=sin2C,所以sin2A,sinB,sin2C作为三条 线段不能构成三角形，所以C错误； 对于D中，由正弦定理得√sinA:√sinB:√sinC=√a:√万：√， 不妨设a<b<c,则a+b>c,且a<√b<, 又由(Va+√b)2-()=a+b-c+2√ab>2√ab>0, 即√a十√6>√，所以D正确. 12.答案：√30（答案不唯一） 由正弦定理可得2a+c=2 bcosC, 由余弦定理可得2a十c=26.g2十62- -→a2+c2-b2=-ac, 2ab 所以oeB=名：B∈0x)B- 3 由于ac=10,不妨考虑此时△ABC为等腰三角形时， 则a=c=10, 由a2+c2-b2=-ac,得10+10-b2=-10→b=√30， 故答案为：√30（答案不唯一） 1W5 13.答案：35 由正弦定理可知，sinB一sinA'sinB b a 1 √2 ,整理化简可 3π sin B+ 4 得：cosB=3sinB,tanB= 3 因为A一B-所以∠A为钝角，∠B为镜角 因为cosB=3sinB,cos2B+sin2B=1,解得：cosB=3 10 由余弦定理得：08一是解得，AB= √102W2·AB 5或5. 因为∠A为钝角，所以b2十c2<a2,所以c2<1. 故AB管后务去 14.答案：√13 因为函数f(B)=2eosB-1-2os(B+答-智)十5=2osB 7 -2cosB+4=2(cosB-2)2+2, 所以当c0sB=方时，函数fB)取得最小值， 此时，由余弦定理，得AC=√AB2十BC一2AB·BCcosB= +32-2×4×3×2=. 15.(1)方法一：常规方法（辅助角公式） 由inA十5cosM=2可得号sinA+ 2c0sA=1, 即sin(A+3)=l, 由于A∈0，x)→A+晋∈（管经，故A+号-三 33 解得A=灭 6 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由sinA+√3cosA=2,又sin2A+cos2A=1, 消去sinA得到： 4c0s2A-4W3cosA+3=0台(2c0sA-√/5)=0， 解得cosA= √ 2, 又Ae0,),故A=晋 (2)由题设条件和正弦定理 V2bsinC =csin2B2 sinBsinC=2sinCsinBcosB, 又B,C∈(0，x),则sinBsinC≠0，进而cosB= 之，得到B= 4 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 于是C=元一A一B=, sinC=sin(-A-B)=sin(A+B) =sinAcosB+sinBcosA= √2+√6 4 由正弦定理可得 a 6 sinA sinB sinC' 即、2 b .7π sin 6 sin4 sin 12 元 解得b=2√2，c=√6十√2， 故△ABC的周长为2+√6+32 16.(1)在△ABC,由b·sin B+C 2 =a sinB, 所以b·sin nA=asinB,即b·cos2=asinB, A 2 A 再由正弦定理得sinB·cos2=sinA·sinB, A sinB·cos =2sin2cos2·sinB,因为sinB>0,cos2 >0 2 sin2=2' 因为∈0，}所以A= (2)由AB·AC=2,即bccosA=2,所以bc=4. 由a2=b2+c2-2 bc cosA=b2+c2-bc≥bc=4 当且仅当b=c=2时取等号，所以a的最小值为2. 17.(1)由题意得2 sinB cosB= 56cn=B,因为A为纯角， 则cosB≠0，则2sinB= 7b, b 2 则 sinB 3 sinA sin·解得sinA=5 7 2 因为A为钝角，则A=2 (选择①0=7，则nB-得6-晋×7-夏因为A-行，则B 为锐角，则B=T Γ-31 此时A十B=π，不合题意，舍弃； 因为B为三角形内角， 13 选择②cosB= 则sinB 33 14: 则代人2sinB= 气0得2×2-96解得6=3 14- 2π 00,2·°三uIS(x -9×+(》×- 1 则S△AC= 2 absinC=- ×7X3x55155 14 41 选择③c sinA= 吕5则有cX号=了B,解得c一5 2 则由正弦定理得 sinC,解得sinC=5 14 2 图为C为三角形内角则aC一(-是 则snB=in(A+C)=sim(+C-行oC+os行ind 2π ×告+()×， 则sa0 esin=2×7X5xE_15,6 144 18.(1).b-2 a cosC=a. .'sinB=sinA+2sinA cosC=sinA cosC+cosA sinC, .sinA=cosA sinC-sinAcosC=sin(C-A), 因为A,C为锐角三角形内角，所以0<A<0<C<受， 所以-<C-A<2, 所以A=C-A,即C=2A: b<A<受 (2)由题意得0<2A<号，解得<A<至， 0<x-3A<号 所以2 日之A 由正弦定理得sinA sinA sinA 1 cosC cos2A 1-2 sin2A 1 -2sinA sinA 因为函数y= -2x在 12 上单调递减， 22 所以当。 时，0< -2x<1, 所以当nA<号时.0 sinA-2sinA<1, 所以sin4 cosC >1, -2sinA sinA .sinA C的取值范围为(1，十0). 19.(1)过点C,D分别作CE⊥AB,DF⊥AB,垂足分别为点E,F, 如图， 因为AB∥CD,AD=BC=2,AB=3CD=3, 故四边形ABCD为等腰梯形， 所以∠DAF=∠CBE, M 又因为∠AFD=∠BEC=, 则Rt△ADF≥Rt△BCE,所以AF=BE. 因为CE⊥AB,DF⊥AB,则CE∥DF,且CD∥EF, 所以四边形CDFE为平行四边形，则EF=CD=1, 所以AF=BE=AB,EF=1, 2 所以BE=BC,则∠BCE-否故∠CBE-, CE=√BC2-BE=√5， 故S梯形ABCD (AB+CD)·CE=23, 因为S△BN= S形n,即宁sin吾-5，所以m=4 (2)当点N在BC上时，n∈(0,2]， M N2=m2+n2-2mn cos- =m2+n2-4≥2mn-4=4, 3 当且仅当m=n=2时，等号成立，即MNmn=2; 当点N在CD上（不包括端点C)时，四边形BCVM为梯形， 因为S#彩CNM=2S梯彩ABCD,所以当且仅当V,M分别为CD, AB的中点时，MN取得最小值，则MNmm=CE=√5； 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 1 当点N在AD上时，由题意可知S△AMN= 之S标ABCD, 由对称性可知，N min=2. 综上所述，MN长度的最小值为√3米.