8、导数在研究函数、不等式中的综合应用-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

8、导数在研究函数、不等式中的综合应用 1.答案：C 当x=0时，原式恒成立； 当x∈(0,1门时，原式等价于a≥(4r一3恒成立： 23 ma 当x∈[-2,0)时，原式等价于4≤(-4x-3) )恒成立； min 令f(r)=2-4x-3 3 ,x∈[-2,0)U(0,1], :fx)=-4x-3-14_3 23 令1=2，即y=-3-42+1y=-91-81+1, 可知(-1，)为y的增区间，(-0，-1)，（行，十0）为y的减区 间，所以当x∈(0,1]时，即t∈[1，+0)时，t=1时ymx=一6，即 f(x)mx=-6..a≥-6； 当x∈[-2,0)时，即t∈(-o,- 2)时，y在(-0，-1)上递减， 在(-1，- ]上递增，所以1=-1时ym=-2,即f(x)m -2,a≤-2； 综上，可知a的取值范围是[一6，一2]，故选C. 2.答案：C f(x)=sinx+xcosx-sinx =x cosx, 当x（至0时f)0,fu)单调港减， 当x∈〔0，引时，f'()>0f)单调递增， 当x∈（x时.fa)<0fe)单调递减， 又f)-10fo)=0f()-1>0f=-2×0. 则f(x)=xsinx十cosx一1的草图如下： y=f(x) 由图象可得函数f(x)的零点个数为2.故选：C 3.答案：B 由f'(x)>1(x>0),可得f'(x)-1>0,令g(x)=f(x)-x, 则g'(x)=f'(x)-1>0,故g(x)在(0，十∞)上单调递增. 因为f(-1)=-1,所以g(-1)=f(-1)+1=0,又因为f(x) 为奇函数，所以g(x)=f(x)一x为奇函数，所以g(1)=0,且在 区间（一∞，0）上g(x)单调递增. 所以使得f(x)>x,即g(x)>0成立的x的取值范围是（一1， 0)U(1,十∞).故选B. 4.答案：D 当a为正偶数时，当x=一2时，f(一2)=e一（-2)a<0,不合 题意，所以a为正奇数， 则当x<0时，xa<0<ex恒成立， 只需研究x>0时，e3x一x“>0恒成立即可， 当x=1时，e-1>0成立，则当xC(0,1)时，a>3江，因为此时 32<0,所以恒成立. In 当，十o)时，a<恒成立】 设g）=品.+m.则)=3，令g) 0,得x=e, 当x∈(1，e)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 当x∈(e,十o)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)mn=g(e)=3e≈8.2，又因为a为正奇数， 所以a的最大值为7.故选：D. 5.答案：C 先判断a≥0时，x2-2a.x+2a≥0在(-co,1]上恒成立； 若x-au≥0在1，十0)上恒成立，转化为a≤品在1，十0) 上恒成立 .f(0)≥0，即a≥0， (1)当0≤a≤1时，f(x)=x2-2a.x+2a=(x-a)2+2a-a2≥ 2a-a2=a(2-a)>0, 当a>1时，f(1)=1>0, 故当a≥0时，x2一2a.x+2a≥0在(-o,1]上恒成立； 若x-au≥0在1，十0)上恒成立，即a≤品在1，十o)上恒 成立， 令g)=品则ga)0 (Inz)' 当x>e,函数单增，当0<x<e,函数单减， 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 故g(x)min=g(e)=e,所以a≤e. 当a≥0时，x2-2a.x十2a≥0在(-o,1]上恒成立； 综上可知，a的取值范围是[0，e],故选C. 6.答案：C 对于e与1+x+x2,当x=5时，e2>32,而1+x+x2=31,所 以A不正确； 对于与1，当=时 =25,1 √1+x 名十子-器一25所以B不正确 1 令f(x)=cosx+2x2-1,则f'(x)=x-sinr≥0，对x∈ [0,十o)恒成立，f(x)在[0，十∞)上为增函数，所以f(x)的最小 值为f(0)=0,所以f(x)≥0，cosx≥1-2x,故C正确： 令g)=in1+)+日，则g()=+十子-1 令g'(x)=0,得x=0或x=3.当x∈(0,3)时，g'(x)<0,当x∈ (3,十o)时，g'(x)>0.g(x)在x=3时取得最小值g(3)=ln4 3+令<0，所以D不正确， 7.答案：D a+月-2>sing-coa,a-sing>受-a-sin(受-a 令f()=x-sinr,x∈(0，受)，则f(x)=1-cosx>0, “f)在0，受)上单调递增9>受-@， “a,3均为镜角，cos<cos(受-a),sim9>sin(受-a .'cos<sina,sinBcosa. 8.答案：D 令fe)=he+1)-ze(-1,+, 1 1 则f')=中+1)c+1 所以当x>0时f'(x)>0,即f(x)在(0，十0)上单调递增， 0.1 所以f(0.1)>f0)=0,即1n0.1+1)0.1十>0， 即a1.1>品即b>, 令h)=n+1),则)市1=号 1 x十11 在x∈〔0，时，Ne)<0,则e)为减函数， ∴.h(x)<h(0)=0,即ln(a+1)<x; 令m()=x-tanz∈0，受)则m'e)=1- >0, 故m)在x∈0，)为减函数。 .m(x)<m (0)=0,tanz; lne+1)<x<aw,x∈0，， 令x=0.1,则ln(0.1+1)<0.1<tan0.1,即b<0.1<c,∴.b<c, 所以a<b<c.故选：D. 9.答案：AC 因为f'(x)是函数f(x)的导函数，且Hx∈R,f'(x)>1,故令 g(x)=f(x)-x,则g'(x)=f'(x)-1>0,所以g(x)在R上 是增函数，由g(e)>g(1)得f(e)-e>f(1)-1=-1,所以f(e) >e一1，故A正确； 由g(0)<g(1)得f(0)<f(1)一1=一1，故B不正确，C正确； 由g(e)>g(0)得f(e)-e>f(0),所以f(e)>f(0)+e,故D不 正确。 10.答案：BCD f'(x)=3.x2-3=3(x+1)(x-1), 3 由点斜式可知此时切线方程为一写)y(6+ )巨+1，由点斜式可知比时切线方程为 孔+)y(尽+ 所以直线y=一 3 不是曲线y=f(亿)的切线，故A错误； B:令f'(a)=0,解得x=士1，所以函数在（一0，一1）， (1,十0)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，故x=一1时取得 极大值，x=1取得极小值；故B正确； C:因为f(-1)=3>0,f(1)=-1<0,所以由单调性可知函数 由三个零点，故C正确； D:取an=n-3,则∑f(a)=5,故D正确， 11.答案：ACD 设f)=,x∈1，e）, 2 则fe)>0在∈Q,o)上恒成立 所以f()=严在x∈(1，e)上单调递增， 因为1<a<<e,所以g<之即olw<aw,即na<w, 因为y=lnx单调递增，所以a<b“,A项正确； 因为1<a<b<e,所以 <ne=,即alnb<b,所以nb< 因为y=lnx单调递增，所以b<e,B项错误； 因为a<b,所以a<e,D项正确； 因为g(x)=a单调递增，1<a<b<e, 所以a“<a,所以a“<e,C项正确. 12.答案：2（结果不唯一） 因为对任意x>0,sinz cosx<kx, 即对任意x>0,sin2x<2kx,即对任意x>0,sin2x-2kx<0, 令g(x)=sin2.-2k.x,x∈(0，+o),因为g'(x)=2cos2x 2k=2(cos2x-k),当k≥1时，g'(x)≤0恒成立，即g(x)= sin2x-2k.x,x∈(0，十o)单调递减，又g(0)=0,所以g()< 0,对x∈(0，十0)恒成立，则k取[1，十o)中的任意值均可，不 妨取k=2. 13.答案：[0,2)； 3ln3-8. 函数f(x)图象如下图所示： 2 y=f(x) y=a 方程f(x)=a有两个实数解等价于函数f(x)的图象与函数 y=a的图象有两个交点， 因此有a∈[0,2)，且e2>x2≥1>x1≥-5， 因为fc2)=f),所以有1nx,=3→=3nx2-5, x1-x2=3lnx2-5-x2, 设g(x2)=3Inr2-5-x2(1≤x<e)→g'(rg)=3-1=3- 2x2 当e>x2>3时，g'(x2)<0,g(x2)单调递减， 当1≤x2<3时，g'(x2)>0,g(x2)单调递增， 所以当x2=3时，函数g(x2)有最大值，最大值为：g(3)=3ln3一8. 14.答案：a>b>c 设f(x)=x2-2nx,g(x)=e-x,则f(a)=g(1),f(b)= 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 g(2),f(c)=g(3),又g'(x)=e-1>0(x>0),所以g(x)在 (0,十∞)上单调递增，所以g(3)>g(2)>g(1),即f(c)> fb)>f(a),因为f'(x)=2x-2=2(2-D <0(x∈(0， 1),所以f(.x)在(0,1)上单调递减，所以a>b>c. 15当a=0时u)是1x则f=一是+-是。 当0<x<2时，f'(x)<0,当x>2时，f'(x)>0,列表如下： x (0,2) 2 (2,+∞) f'(x) 0 f(z) 极小值 所以f(x)的极小值为f(2)=1+ln2,无极大值. (2f)是-lnx+a≤0，即a≤- -Inz. 令g(x)=-2-1nr,x∈[1，e],则u≤g(z)m 212-x 求导得g'(x)=一文=2， 当1≤x<2时，g'(x)>0,当2<x≤e时，g'(x)<0, 所以g(x)在[1,2)上单调递增，在(2，e2]上单调递减. 2 因为g(1D=-2,g(e2)=lne2三--2，g(1)>g(e2), 所以gx)m=g(e)=一。怎 所以a≤g(x)mm= 22 2 即实数a的取值范围为(-∞，一专-2]， 16.1)f'(x)=2ax-1nx-1-1(x>0), 由题意，可得f'(1)=2a-2=0,所以a=1. (2)证明：由(1)得f(x)=x2-(x+1)lnx(x>0), 要证当0<x≤2时，f(x)>22, 只需证当03时2一-r>, 即x-x>竖+ g()=2-Inz,h()=Inz+1 x21 令g'x)=1-1=0,得c=1, 易知g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， 故当0<x≤2时，g(x)mn=g(1)=1. 因为h'(x)= ,当0<x≤2时，h'(r)>0. 1-Ina 所以h(x)在(0,2]上单调递增， 故当0<≤2时，h(x)m=h(2)=1+)n2<1=g()a 2 即h(x)max<g（x）min 故当0x≤2时，h(x)<g(x), 即当0<x≤2时，f(x)>2x. 1 17.(1)存在x1,x2∈[0,2]，使得g(x1)-g(x2)≥M成立， 即存在x1,x2∈[0,2]，使得[g(x1)一g(x2)]mmx≥M, 即g(x)mx-g(x)min≥M(x∈[0,2]). 2 由g(r)=x3-x2-3,得g'(x)=3x2-2x=3x(x- ), 当号<2时gu)>0 当0<号时g)<0, 列表如下： 2 3 g'(x) 0 十 g(2) 极小值 又g(0)=-3,g(2)=1,所以当x∈[0,2]时， g(x)s=g(2)=1,g(x)mn=g(号)=8 271 所以g(2)=g()=27≥M) 所以满足条件的最大整数M为4. (2)对于任意的s,t∈[弓，2]，f()≥g()成立， 则f(s)nmin≥g(t)max: 由(1)易得当x∈[7,2]时，g(x)mx=g(2)=1, 所以对任意的x∈[分2]，号+rnr≥1恒成立， 1 即a≥x一x2lnx恒成立. 令h(x)=x-x1nx(2≤x≤2)，则a≥h(x)m 求导得h'(x)=1-2xlnx-x,令m(x)=1-2xlnx-x( ≤2)，则m'(x)=-3-2lnx<0, 所以M'(x)在[？，2]上单调递减，又h'(1)=0,故列表如下： 1 (1,2) h'(x) 0 h(z) 极大值 所以a≥h(x)mx=h(1)=1, 故实数a的取值范围是[1，+o∞). 18.(10证明：当a=时，f(x)=x一e-1, 则f'(x)=1-ex-1. 由f'(x)>0得x<1,此时f(x)单调递增， 由f'(x)<0得x>1,此时f(x)单调递减. 所以f(x)mx=f(1)=0,即f(x)=x-e2-1≤0，① 变形得x≤e-1,当x>0时，对x≤e-1两边同时取自然对数， 得lnx≤x一1，当且仅当x=1时取等号. 所以ln.x-x+1≤0.② ①+②，得f(x)+lnx-x+1≤0， 所以当a=】时，f(x)十1nx-x十1≤0在(0，十o)上恒成立. (2)fx)=0等价于x-ae=0,即号=a 设(x)=号，则h'(x)=12 当x<1时，h'(x)>0,h(x)单调递增， 当x>1时，h'(x)<0,h(x)单调递减， 所以(2)=A1)=。. 又当x<0时，h(x)<0,当x>0时，h(x)>0, 且x→十∞时，h(x)→0， 所以可画出h(x)大致图象，如图所示. 所以当a≤0或a=-时，f(x)在R上有唯一零点； 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 当a>上时，f()在R上无零点； 当0<a<时，f(x)在R上有两个零点. 19.(1)当a=1时，f(x)=esinz+a.x,x∈(-7,0) fu)=sinz+eco+1=esin+军)+1， 当（受0时x+（) 所以-语<(+)号-1m+1， 又0<e<1 故2e'sin+军)>-1，从而f'u)>0, 所以，f(x)在(-交，0)上单调递增 (2)选择①， 由函数f)=e sins+a,∈[0，引可知fo)=0 因此f(x)在x∈0，上有且只有1个零点. f'()=e'sinz+e'cosz+a,h ()=e'sinz+e*cosz+a, 则'(c)=2 cos≥0在[0，牙]上恒成立. 即f()在[0,2]上单调递增，f(0)=1+4,f =e十a, 当a≥-1时，f'(x)≥f'(0)≥0，f(x)在[0.]上单调递增. 则f(x)在(0，]上无零点，不合题意，舍去， 当a≤-ei时，fe)≤f)0,fx)在[0，受]上单调递减， 则f(x)在(0，]上无零点，不合题意，舍去， 当-e<a<-1时，f'(0)=1+a<0,f'(受)=e+a≥0 则f(x)在(0，)上只有1个零点，设为x. 且当x0x,)时f'e)<0:当x,时f')>0 所以当x∈(0z,)时fx)在0，x,)上单调递减在(x·2)上 单调递增， 又f(0)=0,f 2 -ci+Za 因此只需 =e+a≥0即可，即- 2e≤a<-1, 综上所述：一 2ei<a<-1 选择②， 构造画数m)=csnr+ar-r[0,引 此时mo)=0,m(-ei+子a- 则m'(x)=esinx十e'cosx十a-2x, m'(0)=1+a,m'(受)=ei-x+a 易知m'(受)>m'(1) t(x)=e'sina+e'cosx+a-2x, t'(x)=2ecos-2,t'(0)=0,t/(2)=-2 令p(x)=2 e'cosx-2, b'(x)=2e(cosx-sinx),p'(0)=2,p'()=-2e, 令g(x)=2e(cosx-sin.x),则g'(x)=-4 e'sinx≤0 所以g(x)=2e(cosx-sinx)在0，)上单调递减. 又q(0)=p'(0)=2>0,g(受)='（受）=-2ei<0 在(0，受)上存在唯一实数x,使得q口1)=0，且满足 当x∈(0，x1)时，9(x)>0 当x受)时ge)<0 即p(x)在(0，心)上单调递增，在(1，)上单调递减 又p0)=t'0=0,p()-()=-2<0, 所以b(x)=2Ec0sx一2在a1,)上存在一实数x,使得p()=0, 且满足当x∈(0x)时，p(e)>0:当x∈(x:受)时，p(e)<0 即t(x)=m(x)在0x)上单调递增，在(x受)上单调递减， 当m'(0)=1+a≥0时，即a≥-1，m'(x)≥0，函数m(x)= e'sinx十ax-x在[0，]上单调递增，又m(0)=0,因此m(c) =esin.x十a.x一x≥0恒成立，符合题意， 当m'(0)=1十a<0,即a<-1,在x0,)上必存在实数 x3,使得当x∈(0，x3)时，m'(x)<0,又m(0)=0,因此在x∈ (0,x)上存在实数m(x)<0,不合题意，舍去. 综上所述a≥-1. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第4页数学一轮复习同步考练（八） 导数在研究函数、不等式中的综合应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.当x∈[一2,1]时，不等式ax3-x2十4x+3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是 A.[-5,-3] B.[-6,-8]C[-6,-2]D.[-4,-3J 2.若f)=sinu十c0x-1∈[-x,则函数f)的零点 个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.设函数f'(x)是奇函数f(x)(x≠0)的导函数，f(一1)=一1.当 x>0时，f'(x)>1,则使得f(x)>x成立的x的取值范围是 A.(-∞，-1)U(0,1) B.(-1,0)U(1,+∞) C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(-1,0)U(0,1) 4.已知a∈N",函数f()=e3x一x“>0恒成立，则a的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.7 5.已知a∈R,设函数f(x)={ 2-2ax+2a,x≤1‘若关于x的 z-alnz. x>1, 不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为 A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 6.若x∈[0，+o),则下列不等式恒成立的是 1 1 A.e2≤1+x+x2 B.- =≤1- /1+ 2x+4x C.cos.x≥1- 2 D.ln(1+x)≥x 7.已知a,3均为锐角，且a十月-2>sing-com,则 A.sina>sinB B.cosa>cosB C.cosa>sinB D.sina>cosB 1 8.a-=In1.1,c=tan0.1, A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.a<b<c 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知f(x)是定义在R上的函数，f'(x)是函数f(x)的导函数， 且x∈R,f'(x)>1,f(1)=0,则 A.f(e)>e-1 B.f(0)>-1 C.f(0)<-1 D.f(e)<f(0)+e 10.已知函数f(x)=x3一3.x十1，则 A.直线y=- 多：是曲线y=f)的切线 B.f(x)有两个极值点 C.f(x)有三个零点 D.存在等差数列{an},满足∑f(a)=5 =1 11.已知1<a<b<e,则 A.a<ba B.b>e C.a<e D.a<e 三、填空题 12.能够满足“对任意x>0,sina cosx<kx总成立”的一个k值是 lnx,x≥1， 13.已知函数f(x)= 若方程f(x)=a有两个实 红+5)x<1, 数解，则a的取值范围是 ;若两解分别为x1,x2且 x2>x1,则x1一x2的最大值是 14.已知a,b,c∈(0,1)，且a2-21na+1=e,b2-2lnb+2=e2, c2一2lnc+3=e3,其中e是自然对数的底数，则a,b,c的大小关 系是 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)=2+1nx+a 2 (1)当a=0时，求f(x)的极值； (2)若对任意的x∈[1，e2],f(x)≤0恒成立，求实数a的取值 范围. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（八）·数学·第1页（共2页） 16.设函数f(x)=ax2-(x+1)lnx,曲线y=f(x)在点(1，f(1)) 处切线的斜率为0. (1)求a的值； (2)求证：当0≤2时f)>2 17.已知f(x)=2+xlnx,g(x)=x3-x2-3 (1)如果存在x1,x2∈[0,2]，使得g(x1)一g(x2)≥M成立，求 满足上述条件的最大整数M; (2)如果对于任意的s,t∈[2,2]，f(:)≥g()成立，求实数a 的取值范围. 18.已知函数f(x)=x-ae,a∈R. (1)当a=。时，证明：f(x)十lnx-x十1≤0在0，十o∞)上恒成立： (2)讨论函数f(x)的零点个数， 2026年伯乐马一轮复习同步考练（八）·数学·第2页（共2页） 19.已知函数f(a)=esin.x十ax,其中e是自然对数的底数. (1)若a=1时，试判断f(x)在区间(-乏，0)的单调性，并于以 证明； (2)从下面两个条件中任意选一个，试求实数a的取值范围. ①函数f(x)在区间[0，乏]上有且只有2个零点： @当x∈0，时f)≥1.