6、导数的运算与几何意义-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

6、导数的运算与几何意义 1.答案：B h'(t)=-100(2t+1)' -200 -200 (2t+1)2 (2t十1)，所以M'(3)= (2×3+1)2 一。0，故当t=3时，水面下降的速度为49cm/s,故选B 2.答案：D 由题意，切线经过点(2,0)，(0,4)，可得切线的斜率为=4一0 Γ0-2 -2,即f'(1)=-2.又由切线方程为y=一2x十4，令x=1,得 y=2,即f(1)=2,所以f(1)-f'(1)=2+2=4.故选D. 3.答案：D +之=1是A不正确， 2sin2)/'= 2c0sx·x2-2x·2sinx 72 (x2)2 2 ccos.z一4sinZ,B不正确； [(3x+5)3]'=3(3.x+5)2·3=9(3x+5)2,C不正确： (2十cos.x)'=2ln2-sinx,D正确. 4.答案：A f'()=(e'+2cost)(1+)-(e+2sinz).2x (1+x2)2 则f'0)=e+2cos0)0+0)-（e+2sin0)X0=3. (1+0) 即该切线方程为y一1=3x,即y=3x+1, 1 令x=0,则y=1,令y=0,则x=- 3, 故该切线与两坐标轴所周成的三角形面积S=号×1×引行 故选：A 5.答案：D f'(x)=2x+b,f'(2)=4+b,f(2)=4+2b, 则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为y一(4+2b)=(4十b)(x-2), 由题意得，切线过侣0代入得-4+0)=1+o)S2小 解得=，故选：D 6.答案：D 依题意设ga)f),则g'a)=')f), e 因为对任意x∈(0，十o),都有（x）-f()_1 即g')=1. 所以g(x)=lnx十C(C为常数)， 所以f)=1nx+C,则fe)=eQnr+C),又f()=e, 所以f(1)=e'(lnl+C)=e,解得C=1, 所以f(x)=e(ln.x+1).故选：D 7答案：C 如图所示，若使|PQ取得最小值，则曲线y=一sinx(x∈[0，π]) 在点P处的切线与直线x一2y一6=0平行， 对函数y=一sinx求导得y'=一cosx, 令y'= 可得0x=一2，因为0<1≤，解得r- 1 1 3故选C. 2 y=-sin x 0-2-6=0 8.答案：D 设P(xoyo),因为点P为公共点， 所以2x+2ax=3a21nx十2b. 又点P处的切线相同，则f'(c)=g'),即，十2a=3a 即(xo+3a)(x。-a)=0. 5 又a>0,x>0,则x=a,所以2b=2a2-3a1na. 支h(c)三x23x21nz,x>0,则')=2x·(1-3lnD) 当x∈(0，e)时，h(x)单调递增：当x∈(e,+o)时，h(x)单调 递减故h()=h(e)=c,所以b的最大值为e。 9.答案：BD A:设tana=()r( 2,tan0=r②)-r山，由图得a>,所以 1-0 2-1 taa>tan0,所以)rO>②)山，所以该选项错误， 1-0 2-1 B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意 义得r(1)>r'(2),所以该选项正确； C:设V1=0,V2=3,.r 2 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 r(3) 3 2因为x)r0)>r3)=r(,所以r()>7 3 2 所以该选项错误； D.)表示AW,r(W),BV,r(V,)两点之间的 V2-V1 斜率，r'(V。)表示C(V。,r(V。)处切线的斜率，由于V。∈ (V1,V2),所以可以平移直线AB使之和曲线相切，切点就是点 C,所以该选项正确 故选：BD 10.答案：AC F)=f(a)g()=2xlnx,故F'(x)=2(Inz+x·1)= 2lnx十2，故A正确； 因为G)=f(gx》=h(2x,所以G'()=×(2)= 上故B错误： 1.(2x)-(nx)·2 因为H(x)= r) （2x)2 1-Inz 2.x2 ,故C正确； f(x)=g(x)-2,即lnx=2x-2,作出y=lnx与y=2x-2图 象，如图 =2x-2 y=lnx 由图象可知，y=lnx与y=2x一2图象有两个不同的交点，故方 程f(x)=g(x)一2有两个实根，故D错误. 11.答案：ABC 因为y=lnx={厂lh,0<x<1 lnx,x≥1 所以，当0<<1时y=当≥1时y 不妨设点P1,P2的横坐标分别为x1,x2,且x1<x2, 若0<x1<x≤1时，直线1，l2的斜率分别为k1=- 一，k2= 1,此时k1k=>0,不合题意： T1x2 若2>x≥1时，则直线1,2的斜率分别为1=1，，=1， 此时k,=1>0,不合题意 TIx2 所以0<x1≤1<x:或0<x,<1≤x,则k,=-1,k= 由题意可得k1k2=一 1=-1,可得x12=1,若21=1，则 x12 x2=1;若x2=1,则x1=1,不合题意，所以0<x1<1<x2,选项 A对； 对于选项B,易知点P1(x1,一lnx1),P2(x2,lnx2), 所以，直线P1P2的斜率为kP1P2 l1n2十lnz1_l1n(1z）=0, x2一x1 x2-x1 选项B对； 对于选项C,直线，的方程为y十1n1=一二（口一x),令x 0可得y=1一lnx1,即点A(0,1一lnx1),直线l2的方程为y一 1 lnx=x2-2),令x=0可得y=lnx?-1=-lnx,-1,即点 B(0,-lnx1-1),所以，AB=(1-lnz1)-(-1-lnx1)=2, 选项C对； y 一x+1-ln.x 对于选项D,联立 可得xp= 2x1x2 y=x+1n,-1 x1十x2 2x1 2(1-x2) 十'令f)其中x∈0，山则f)年 >0,所以，函数f(x)在(0,1)上单调递增，则当x∈(0,1)时， f()∈(0,1)，所以，S△ABP= 181l= (0,1),选项D错.故选：ABC. 12.答案：- 3 因为f()= 11 三(0-2x)=- 2√4-x 1 1√3 所以f'(1)=一 √4-15 13.答案：0；y=2x 由题知f'(x)=ex十ex+2a.x, 因为f'(x)是偶函数，所以f'(一x)=f'(x)在x∈R上恒成立， 则ex十e一2ax=e十ex十2ax在x∈R上恒成立，故a=0. 因为f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在原点处的切线方 程为y-0=2(x-0),即y=2x. 14.答案：{aa<-8或a>0} 由题得，f'(x)=1 2设切点坐标为20十 a 则切 线方程为y一x,一2 a 由切线过点(2,0)，可得一x0一 22-xo), a x0 整理得2x十axo一a=0. 因为曲线y=f(x)存在两条过点(2,0)的切线，所以方程有两 个不等实根，即△=a2十8a>0,解得a>0或a<一8， 所以实数a的取值范围是{aa<-8或a>0}. 15.(1).f(x)=2.af'(e)+lnx, i()=2f+=2+ fe)=-f)=-2g+1ln 1 …f(e)= 2e+lne=-1. (2):fa)=-2+1nrf'(x)=-2+1, e e fe)=-2e+ine=2-2e,f(e)=-2+3 e e e2 .f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为 y-(2-2e)=(- +3x- 即(2e-1)x+e2y-e2=0. 16.(1)设切点为(xo,yw),则yo=2e0,y'=2e, 则切线方程为y一2eo=2e0(x一xo), 整理可得y=2eox-2e"xo十2e, 可得k=2e0,b=-2exn十2e0, 则，=1n可得6=-n号)： 故6与长的函数关系式为6=-山)】 (2)过点(m,f(m))的切线方程为y-lnm=二(x一m), 整理可得直线1的方程为y=1十1nm一1. 设直线l与曲线g(x)=2e相切于点(x1,2e1), 可知y-2e1=2e1(x-x1), 且2e1=1x1=ln(2m),可变为y=关+1n2”土 mm m 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 结合切线1的方程可得 In2m 1 =Inm-1, m 2+ln2 整理可得lnm=1+ m-11 如图所示，画出y=lr与y=1十2牛1n2的图像， x-1 外 4 1+2+ln2 3 x-1 y=Inx 0123456x 可知当m>1时，只有一个交点， 即lnm=1+ 2+ln2在(1，十∞)上只有一个解， m-1 则切线1也只有一条。 17.1)f'()= x+,则f①)=1，又f)=0, 2√ 所以曲线在点(1，f(1)处的切线方程为y=x一1： (2)因为x>0,所以√x>0, 要证明f(x)<x,只需要证明ln.x<√x, 即证lnx一√x<0, 令h()=ix-VF,则'(x)=11=2区 Γx 2√x 2x 当0<x<4时，h'(x)>0,此时h(x)在(0,4)上单调递增， 当x>4时，h'(x)<0,此时h(x)在(4，十o)上单调递减， 故h(x)在x=4取极大值也是最大值， 故h(x)≤h(4)=ln4-2<0, 所以lnx一√x<0恒成立，即原不等式成立， 所以函数y=f(x)的图象位于直线y=x的下方. 18.(1)由已知得f'(x)=3a.x2+6.x-6a, 因为f'(-1)=0,所以3a-6-6a=0, 所以a=一2. (2)存在.由已知得，直线m恒过定点(0,9)， 若直线m是曲线y=g(x)的切线， 则设切点为(x0,3x品十6x0十12) 因为g'(x)=6十6，g'(xD)=6xw十6， 所以切线方程为y一(3x8十6x。十12)=(6x。十6)(x一x。), 将(0,9)代人切线方程，解得x。=士1. 当x=-1时，切线方程为y=9; 当x。=1时，切线方程为y=122x十9. 由(1)知f(x)=-2.x3+3x2+12x-11,f'(x)=-6x2+6.x+12, ①由f'(x)=0得-6.x2+6x+12=0, 解得x=一1或x=2. 在x=一1处，y=f(x)的切线方程为y=一18； 在x=2处，y=f(x)的切线方程为y=9. 所以y=f(x)与y=g(x)的公切线是直线y=9. ②由f'(x)=12得-6x2+6x+12=12, 解得x=0或x=1. 在x=0处，y=f(x)的切线方程为y=12x一11； 在x=1处，y=f(x)的切线方程为y=12x一10. 所以此时y=f(x)与y=g(x)无公切线. 综上所述，y=f(x)与y=g(x)的公切线是直线y=9,此 时k=0. 19.（1)设“S点”为n,g()=x,f'(x)=+a,g(a)=2x, ln.xo十axn=x8 所以31 ,消去a得lnxo十x6=1, +a=2x0 记h(x)=lnx十x2,显然h(x)在(0，十∞)上是增函数， 而h(1)=1, 因此lnx。十x=1只有一个解xo=1,所以a=2-1=1. (2)假设对任意a>0,存在实数b>0,使得y=f(x)与y= g(x)有“S点”， 设为x1,g'(x)=2bx, 所以1n十a1=hci0,子+a=2a@.由②得1+aa=2h@. ①@消去6得1-2n,=ax,>0.lx1<号0Kx<, ①③消去a得b=1-ln4,在0<，<6时，b=1-1n>0, x x 下面证明对任意a>0,方程1-2lnx1=ax1在(0，We)有解， 设H(x)=1-2lnx-ax(0<x<√e), 函数H(x)在定义域(0，√ē)上是减函数， x→0时，H(x)→十∞， H(√E)=-a√<0，图象连续不断， 所以存在0<x1<√E使得H(x1)=0. 综上，任意a>0,存在实数6=1-ln>0,使得y=f(x)与 x y=g(x)有“S点”. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页数学一轮复习同步考练（六） 导数的运算与几何意义 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度y(单 :cm)关于时间1单位：)的函数为y三h)三，当 时，水面下降的速度为 A.-200 49 cm/s B.cn/s C.、1 49cm/sD.100 49 cm/s 2.函数f(x)的图象与其在点P处的切线如图所 示，则f(1)-f(1)= A.-2 B.0 C.2 D.4 3.下列求导运算正确的是 A+2y=1+ B.(2sinz2rcosz+4sina C.[(3.x+5)3]'=3(3x+5)2 D.(2+cosa)=2*In2-sinx 4.设函数f(x)= +2sinx,则曲线y=f(c)在点(0,1)处的切线 1+x2 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 A日 B时 C. 2 0 5.牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法.如图，方程f(x)=0的 根就是函数f(x)的零点r,取初始值x,f(x)的图象在点 (x,f(a)处的切线与x轴的交点的横坐标为x1,f(x)的图 象在点(x1,f(a1)处的切线与x轴的交点的横坐标为x2,一直 继续下去，得到x1x2,…,xn,它们越来越接近r.设函数f(x)= x2+ba,=2,用牛顿迭代法得到x1=19,则实数6= 16 A.1 1 B.2 yf(x) C. D.4 6.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，对任意x∈(0，十o),都有 f'(x)-f(x)=1,且f(1)=e,则f(x)的解析式为 e A.f(x)=e B.f(z)= C.f(x)=e"Inx+e D.f(x)=e*(Inx+1) 7.已知P是曲线y=一sinx(x∈[0，π])上的动点，点Q在直线 x一2y一6=0上运动，则当|PQ取最小值时，点P的横坐标为 A B c 5π D. ·6 8.设点P为函数f()=2x2+2ax与g(r)=3a21nx+2b (a>0)的图象的公共点，以P为切点可作直线l与两曲线都相 切，则实数b的最大值为 2。是 A.geT 3 32 B.2e7 42 C.3 D.e 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V), r'(V)为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所 示，若0≤V1<V2≤3，则下列结论正确的是 A.0)-r0)<r2)-r1) 1-0 2-1 B.r(1)>r(2) 237 D.存在V,∈MV),使得，'W)=)-rV) V2-V 10.已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x,则下列说法正确的是 A.若F(x)=f(x)g(a),则F'(x)=2+2lnx B若Gx)=f(g(x),则G'(x)=2元 c若1e)侣}则ru)1 g() D.方程f(a)=g(a)-2有唯一实根 11.过平面内一点P作曲线y=1lnx两条互相垂直的切线l1,l2, 切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线1，l2分别与y轴交于 点A,B,则下列结论正确的是 A.P1、P2两点的横坐标之积为定值 B.直线P,P,的斜率为定值 C.线段AB的长度为定值 D.△ABP面积的取值范围为(0,1] 2026年伯乐马一轮复习同步考练（六）·数学·第1页（共2页） 三、填空题 12.设函数f(x)的导数为f'(x),且f()=√/4一x2,则f'(1)= 13.函数f(x)=e2一ex十ax2的导函数为f'(x),若f'(x)是偶函 数，则实数a= ,此时，曲线y=f(x)在原点处的切线 方程为 14.已知函数f口)=x十，若曲线y=∫口)存在两条过点 (2,0)的切线，则实数a的取值范围是 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+lnx. (1)求f'(e)及f(e)的值： (2)求f(x)在点(e2,f(e2))处的切线方程. 16.已知函数f(a)=lnx,g(a)=2e. (1)若直线y=kx+b为曲线g(x)的一条切线，求出b与k的 函数关系式； (2)当m>1时，过点(m,f(m))的f(x)的切线1也与曲线 g(a)=2e相切，试求直线1的条数. 17.已知函数f(a)=√xlnx. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求证：函数y=f(x)的图象位于直线y=x的下方 18.已知函数f(x)=ax3+3.x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12 和直线m:y=kx十9，且f'(-1)=0. (1)求a的值； (2)是否存在k,使直线m既是曲线y=f(x)的切线，又是曲线 y=g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说 明理由. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（六）·数学·第2页（共2页） 19.记f′(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在 xo∈R,满足f(x。)=g(xn),且f'(xn)=g'(xn),则称x。为函 数f(x)与g(x)的一个“S点”.已知f(x)=lnx+ax, g(x）=bx2. (1)若b=1,f(x),g(x)存在“S点”，求a的值； (2)对任意a>0,是否存在实数b>0,使得f(x)=lnx+ax, g（x)=bx2存在“S点”？请说明理由.