5、函数的图象、函数与方程以及函数模型的应用-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

5、函数的图象、函数与方程以及函数模型的应用 1.答案：B 设g(x)=x3 ,则g(x)是增函数， 又g(0)=-4<0,g(1)=-1<0,g(2)=7>0. 所以g(1)g(2)<0,所以x。所在的区间是(1,2)，故选：B. 2.答案：A f(-1)=4sin(-1)+1=-4sin1+1,因为sin1>sin4=2, 所以-4sin1+10,f(0)=4sin1>0,因此f(x)在[一1,0]上有 零点，故在[一2,0]上有零点： f(2)=4sin5-2=-4sin(2π-5)-2，而0<2π-5<π，即 sin(2π-5)>0，因此f(2)<0,故f(x)在[0,2]上一定存在 零点； 虽然f(4)=4sn17-4<0,但f(爱)=4sim(贤 十1)-x= 4sin(受+1)又<1+至<行，即sm1+至)>发，从而 4sin(至十1)-元心25->0，于是f(x)在区间[2，经1上有等 点，也即在[2,4]上有零点； 排除B,C,D,那么只能选A. 3.答案：C 由题意可得，当t=0时，S=α=7，因为在第5分钟末测得的未溶 解糖块的质量为3.5克，所以3.5=7e5,解得k=n2 4.答案：C 由题图知，将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位 长度即得图②，将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y= f(一x)的图象，再向下平移1个单位长度，可得y=f(-x)一1 的图象，所以题图②对应的解析式为y=f(一x)一1，故选C. 5.答案：A 在同一坐标系下，分别画出y=x2十2.x与y=x-1的图像，由图 可知， =x- y=x2十2x有两个零点x=一2和x=0, y=x-1有一个零点x=1, 若0<a<1,则f(x)有3个零点，所以充分性满足： 当a=0时，f(x)也有3个零点，所以必要性不满足. 所以0<a<1是f(x)有3个零点的充分不必要条件.故选：A 6.答案：B 由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函 数建立不等式90e.5x+14<20,解得x>5.42,取整数，故为6 个小时.故选B. 7.答案：C 设gu)=3品 当0<x<1时，[x]=0: 当1≤x<2时，[x]=1: 当2≤x<3时，[x]=2; 当3≤x<4时，[x]=3; 当4≤x<5时，[x]=4: … 0,0<x<1, sinπx,1x<2, 2 sinna,2≤x<3, 所以f(x)=[x]·sin元x= 3sinπz,3x<4, 4sinπx,4≤x<5, 5sinπx,5≤x<6, 0,0<x<1, -sinπx,1≤x<2, 2sin元x,2x<3, 则f(x)= 3sinπx,3x<4, 4sinπx,4x<5, -5sinπx,5≤x<6, 令g(x)≥0，解得x≤150， 画出y=|f(x)川与y=g(x)的部分图象如图所示. 6 63-0 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 由图可知y=|f(x)与y=g(x)的图象在每个区间[k,k+1] (3≤k≤149且k∈Z)上均有2个交点，所以交点总数为(150一3) ×2=294,所以方程f()川=3一品在(0，十∞)上的实根个数为 294.故选C. 8.答案：C 令t=g(x),t≥0， 当m=1时，方程为f(t)+t-1=0,即f(t)=1一t, 作出函数y=f(t)及y=1-t的图象， y y)一 -2-10 23 -2 y=1-t 由图象可知方程的根为t=0或t=1, 即|x(-2)|=0或|x(x-2)|=1, 作出函数g()=|x(x一2)|的图象，结合图象可得所有根的和 为5，不合题意，故BD错误； =g( 10 123x 当m=0时，方程为f(t)+t=0,即f(t)=-t, y fi -2-1o123 -2N 由图象可知方程的根0<t<1,即x(x一2)=t∈(0,1)，结合 函数g(x)=x(红一2)的图象，可得方程有四个根，所有根的 和为4，满足题意，故A错误.故选：C 9.答案：BD 当x=0.1时，代人y=5+21gx得：y=5-2=3,代人y= 5-lg得：y=5-1=4.故选择函数模型②.A错误：B正确。 对于C:当y=5时，由y=5-lg解得：x=1,则小明视力的小 数记录数据为1.0.故C错误； 对于D:当y=4.9时，由y=5-lg解得：x=0.8,则小明视力 的小数记录数据为0.8.故D正确.故选：BD 10.答案：ABD 根据函数f(x)=2一x2与g(x)=x2,画 出函数F(x)=min{f(x),g（x)}的图 象，如图 由图象可知，函数F(x)=min{f(x), g(x)}关于y轴对称，所以A项正确； 函数F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三 个解，所以B项正确； 函数F(x)在（一∞，一1]上单调递增，在[一1,0]上单调递减， 在[0,1]上单调递增，在[1，+©○)上单调递减，所以C项错误，D 项正确. 11.答案：AD 因为函数f(x)=e-1+x-2是R上的增函数，且f(1)=0, 所以a=1,结合“零点伴侣”的定义得|1一3|≤1，则0≤β≤2， 又函数g(x)=x2-ax一a十3在区间[0,2]上存在零点， 即方程x2-ax一a十3=0在区间[0,2]上存在实数根， 整理得a=+3-+2+1-2-2+4 =(e+1)+中2， 4 x+1 x+1 令A)=u+1)十-2r∈0,2]，所以A)在区间 [0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，又h(0)=3,h(2)= 3h(1)=2,所以函数h()的值域为[2,3]， 所以实数a的取值范围是[2,31.故选：AD. 12.容案：f)气（e-)(答案不唯一) 解折式为f)（一)· 3 函数的定义域为R,所以函数f(x)在区间(0，十∞)上的图象是 一条连续不断的曲线， 因为f)=年f(2)=4,所以f1)·f(2)>0, 又了()一0，fa)在区间1,2)内有等点，所以为假命题。 13.答案：1120 由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式， 0,0<2x≤600， y=0.05(x-600),600<x≤1100， 0.1(x-1100)+25,x>1100, .y=30>25,∴.x>1100, .0.1(x-1100)+25=30,解得x=1150,1150-30=1120, 故此人购物实际所付金额为1120元. 14.答案：(-0,1) 由题意得当x∈(0，十o)时， f(x)=2x(e-4-1)-2Inx=2(elr+:-4-x-Ina ) 令t=x+lnx,(x>0), 则设g(t)=e-a-t,当t≤0时，g(t)=ea-t>0, 则f(x）)=2x(ea-1)-2lnx=2(er+x-a-x-lnx)在x∈ (0,十∞)上不存在零点， 当t>0时，根据e≥x十1可得e-a≥t-a十1， 故只需t一a十1>t,则g(t)=e-a一t>0,即可满足f(x)= 2x(e-a-1)-2lnx=2(ex+x-a-x-ln.x)在x∈(0，+w)上不 存在零点，故a<1, 综合以上可得数a的取值范围为（一o,1). 15.(1) -2π 2元 (2) 4 -8 16.(1)当a=1时，f(x)=x2+(t+1)x+t=(x+1)(x+t) 当t=1时，△=0，则函数f(x)有一个零点； 当t≠1时，△=(t+1)2-4t=(t-1)2>0,则函数f(x)有两个 零点 (2)f(x)-log2x+10=0等价于a.x2-4x十5-log2x=0, 设r(x)=a.x2-4x十5，s(x)=1og2x,x∈[1,2]， 则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内 有唯一交点， 当a=0时，r(x)=一4x+5在区间[1,2]内为减函数，s(x)= 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 log2x,x∈[1,2]为增函数， 且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3<s(2)=1, 所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点，满足 题意. 当a<0时，r()图象为开口向下，对称轴为x=2<0的抛物线， 所以r(x)在区间[1,2]内为减函数，s(x)=log2x,x∈[1,2]为 增函数， 则由 0)≥0)，可得{a+10 14a-3≤1 解得-1≤a≤1， r(2)≤s(2) 所以-1≤a<0. 当0<a≤1时，r(x)图象为开口向上，对称轴为x=2≥2的抛 物线， 所以r(x)在区间[1,2]内为减函数，s(x)=log2x,x∈[1,2]为 增函数 则由 r(1)≥s(1 ,可得{0+1>0 ,解得-1a≤1， r(2)≤s(2 04a-3≤1 所以0<a≤1. 综上所述，实数a的取值范围为[一1,1]. 17.(1)因为函数M2(v)=1000· 2 3 十a是定义域上的减函数， 又M3(0)无意义， 所以函数M2(v)=1000· 】 +a与M3(v)=300log)+b 不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故M,(o)= 00十b如2+(0是可能符合表格中所列数据的函数 模型. M1(10)=1325 1 a一40 由M1(40)=4400,得： b=-2 M1(60)=7200 c=180 所以M,(o)= v3-2w2+150元 40 (2)由题意，高速路上的耗电量 f(u)=N(o)x200 400(0+10 -5) 任取1，v2∈[80,120]，当1<v2时， f0,）-f(0,)=400(o-g）a4-10)<0 U102 所以函数y=f(o)在区间[80,120]上是增函数， 所以ymin=f(80)=30500Wh 国道上的耗电量()=M1(0)×30=30( （02-20+150)= 30[40(u-40)2+110] 折以h(v)mim=h(40)=3300Wh 所以当高速路上速度为80km/h,国道上速度为40km/h时，总 耗电量最少，为33500Wh 18.(1)由题意“1型”弱对称函数， 可设f(x)十f(二)=0且定义域为(0，十∞)， 1 +m 所以1nx- ti x1+1 =Inz- x十m -Inz- 1+m.x x+1 x+1 =-(m十1)=0， 故m=-1. 2 (2)由题设，f(x)十f(二)=0且x>0, 对于fx)零点x,=1,2,,101),有fx)=0,则f(2)=0, 若，=二且2，>0，可得，=2，故2必为f)的一个零点， 若，≠2且x,>0,则= 2 2 2 ，x2=二，…，x100= ，x101 21 C50 =√2， 101 所以∑x:=x1十x2十…十x1m十x1 =】 =(1+2)+(红十名)+…+（红m十2）+2， 50 而，十2>2 ,·三=22（由x≠2，即等号取不到）， 改c,=x1十x2十十1m十xm=x,十②+x十2 i= …+(0十2)+V2>50×22+2=1012, x50 101 又∑：>入对任意满足条件的函数f(x)恒成立，即入≤1012， =1 所以入的最大值为101√2」 19.(1).f(x)是偶函数，∴.f(-x)=f(x), 即1og(9x+1)-kx=log(9+1)十k,x对任意x∈R恒成立， 9-x+1 .2kx=1og,(9+1)-log(9+1)=1ogg+1 =1og,3u =一2x, .k=-1. 即f(x)=1og3(92+1)-x, 因为函数y=f(x)一x十a有零点， 即方程1og(9+1)-2.x=一a有实数根. 令g(.x)=log(9+1)-2x, 则函数y=g(x)与直线y=一a有交点， :g(x)=l0g,(9+1)-2x=log(9+1)-1og39 =6s-g,1+ 又1+>1g)=l1og,1+)>0, ∴.一a>0,所以a<0,即a的取值范围是(-o,0). (2)因为f(x)=log(9十1)-x=1og3(9+1)-1og3 =logs 9+1 3一 =log3(3+3), 又函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点， 则关于x的方程1og(m·3-2m)=log(3+3)只有一个解， 所以m·3x-2m=3x十3x, 令t=3r(t>0),得(m-1)t2-2mt-1=0, ①当m一1=0，即m=1时，此方程的解为=一弓，不满足题意， ②当m-1>0,即m>1时，此时△=4m2+4(m一1)= 4(m2+m-1)>0,又t1十t2= F>0, -1 m-1 <0,所以 此方程有一正一负根，故满足题意； ③当m-1<0,即m<1时，由方程(m-1)t2-2mt-1=0只有 4m2-4(m-1)×(-1)=0 一正根，则需 2>0 ,解得m=15 2 综合①心3得，实数m的取微范周为：{。U1.十m), 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页数学一轮复习同步考练（五） 函数的图象、函数与方程以及函数模型的应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设函数y=x3与y 的图象的交点为(x。,y。),则x所在 的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 2.设函数f(x)=4sin(2x+1)一x,则在下列区间中函数f(x)不 存在零点的是 A.[-4,-2] B.[-2,0] C.[0,2] D.[2,4] 3.在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块 质量为7克的糖块放人到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖 块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖 块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S=ae“ (a,k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代 表t分钟末未溶解糖块的质量，则k= A.In2 B.ln3 4.已知函数f(x)的图象如图①所示，则图②所表示的函数是 Y 图① 图② A.y=1-f(x) B.y=-f(2-x) C.y=f(-x)-1 D.y=1-f(-x) 5.已知函数f(x)= 2+2x,x≤ r-1,z>a ,则0<a<1是f(x)有3个零 点的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾 驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522 2010)于2011年7月1日正式实施.车辆驾驶人员饮酒后或者醉 酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况 下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图” 40sin(Tx)+13,0≤x<2, 如图，且该图表示的函数模型为f(x) 90e5x+14,x≥2， 则该人喝1瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小 时计算)？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40） 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车 ≥80 阈值(mg/100mL) 70 50: 30 10 0 246810121416时间) 喝1瓶啤酒的情况 A.5h B.6h C.7h D.8h 7.对任意实数x,定义[x]为不大于x的最大整数，如[0.2]=0， [1.5]=1,[2]=2.已知函数f(x)=[x]·sin元x,则方程f(x) =3一二在(0，十∞)上的实根个数为 50 A.290 B.292 C.294 D.296 22,x≤0， 8.已知函数f(x)= {1nz,x>0,8)=|-2)l,若方程 f(g(a))十g(x)一m=0的所有实根之和为4，则实数m的取 值范围是 A.(1,+0) B.[1,+o) C.(-∞，1) D.(-0,1] 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.常见的《标准对数视力表》中有两列数 标准对数视力表 据，分别表示五分记录和小数记录数 分 据，把小数记录数据记为x,对应的五 记 记 分记录数据记为y,现有两个函数模惑 型：①y=5+2lr:@y=5-1k 4.1 0.12 (参考数据：10.1≈1.25)根据如图标准 对数视力表中的数据，下列结论中正确 的是 4.9山m3山Em3 A.选择函数模型① 5.0∈m3wEm3w ? 5.1m3mw3E1.2 B.选择函数模型② 5.2 a m s w B w后。1.5 2026年伯乐马一轮复习同步考练（五）·数学·第1页（共2页） C.小明去检查视力，医生告诉他视力为5，则小明视力的小数记 录数据为0.9 D.小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，则小明视力的小数记 录数据为0.8 10.对任意两个实数a,b,定义min{a,b}= ∫a,ab, 若f(x) b;a-b: 2-x2,g(x)=x2,下列关于函数F(x)=min{f(x),g(x)}的 说法正确的是 A.函数F(x)是偶函数 B.方程F(x)=0有三个解 C.函数F(x)在区间[一1,1]上单调递增 D.函数F(x)有4个单调区间 11.已知函数f(a)和g(x)的零点所构成的集合分别为M,N,若 存在a∈M,B∈N,使得|a-B≤1，则称f(x)与g(x)互为“零 点伴侣”.若函数f(x)=e1十x-2与g(x)=x2-a.x-a十3 互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是 A.1 B.2 C.3 D.4 三、填空题 12.已知p:设函数f(x)在区间(0，十o)上的图象是一条连续不断 的曲线，若f(1)·f(2)>0,则f(a)在区间(1,2)内无零点.能 说明饣为假命题的一个函数的解析式是 13.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总 金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品 的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠， 折扣优惠按下表累计计算， 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付 金额为 元， 14.若函数f(.x)=2.x(e-a-1)-ln.x2在x∈(0，十o)上不存在零 点，则实数a的取值范围是 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.作出下列函数的图象. 1)f)= 2一3 2x-1 (2)f(x)=2.x+3(x-2) 16.已知函数f(a)=ax2+(t+1)x十t. (1)若a=1,求函数f(x)的零点个数； (2)已知a≤1，t=-5,若方程f(x)-log2x+10=0在区间 [1,2]内有且只有一个解，求实数a的取值范围. 17.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择.某 型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h.经多次 测试得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位： km/h)的数据如下表所示： 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系， 现有以下三种函数模型供选择： ①M1(v) 4003+bm2+cu: ②M2(v)=1000 -a; ③M3(v)=300logv+b (1)当0≤0≤80时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函 数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上 行驶200km,国道上行驶30km,若高速路上该汽车每小时 耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的关系满足 N(v)=2u2一10v十200(80≤v≤120)，则如何行驶才能使 得总耗电量最少，最少为多少？ 2026年伯乐马一轮复习同步考练（五）·数学·第2页（共2页） 18,若定义域为(0，+m)的函数f()消足f(x)+f) =0,则称 f(x)为“a型”弱对称函数 (1)若函数f(x)=lnx- 工十为“1型”弱对称函数，求m的值： x十m (2)已知函数f(x)为“2型”弱对称函数，且函数f(x)恰有101 个零点x,(i=1,2,…,101),若∑x:>入对任意满足条件 的函数f(x)恒成立，求入的最大值， 19.已知函数f(x)=log(9+1)十kx是偶函数， (1)当x≥0，函数y=f(x)一x+a存在零点，求实数a的取值 范围； (2)设函数h(x)=log(m·3-2m),若函数f(x)与h(x)的 图象只有一个公共点，求实数m的取值范围.