15、空间几何体的结构特征及其表面积与体积-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

15、空间几何体的结构特征及其表面积与体积 1.答案：B 三棱台A'B'C'一ABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'一ABC, 剩余的部分是以A'为顶点，四边形BCCB'为底面的四棱锥 A'-BCCB'.故选：B. 2.答案：C 设圆锥的母线长为l,底面半径为r,依题意可得πl=2πr,即l= 2r,所以圆锥的轴截面为等边三角形，所以圆锥的顶角为60° 3.答案：C 将水平放置的△ABC的直观图还原，可知AO =2AO'=2,0B=OC=BO'=C'O'=1,AO ⊥BC, 由勾股定理有AB=AC=√十22=√5， 注意到AB=AC=√5>2=BC, 所以△ABC是等腰三角形，不是等边三角形，由大边对大角可 知，△ABC中最大角的余弦值为 2+(5)2-(W5)5 >0,即 2·2·5 △ABC中最大角是锐角，△ABC是锐角三角形，不是直角三角 形，综上所述，只有C选项符合题意. 4.答案：B 模型心的体积为气×1P×2- %,表面积为2X公十2X1X2 (2 3 4 3 4%厮以 4.8663 460 模型@的体积为2×x×1X1=,表面积为2×2×元X1+ 3×2xX1X1=2x所以% (2π)3 32π 3 因为46032元，所以m<故选：B. 5.答案：C 用一个完全相同的五面体HIJ一LMN(顶点 H 与五面体ABC一DEF一一对应)与该五面体 相嵌，使得D,N;E,M;F,L重合，因为AD ∥BE∥CF,且两两之间距离为1.AD=1,BE =2,CF=3,则形成的新组合体为一个三棱 柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三 角形， 侧棱长为1十3=2十2=3十1=4， 11 VARC-DEF = 2 6.答案：C 如图，等腰梯形ABCD为圆台的轴截面， 设AB的中点为O1,CD的中点为O,则O 为球心，O1A=1. 连接OO1,OA,设圆台的高为h,由题意知 球O的半径R=OA=OD=2, (注意：圆台外接球的半径即其轴截面外接 圆的半径) 则在Rt△O01A中，h=OO1=√R-O1A=√4-I=√3， 所以圆台的体积 V=3×(2×+V2Xxx1X云+1X)X5- 3元. 7.答案：A 由题可知，点B在平面ABD内以AD为焦点 的椭圆上，点C在平面CAD内以AD为焦点 的椭圆上，所以焦距为2c=4,即c=2,由椭圆M 定义可知长轴长为2a=2√14，即a=√14， 所以B,C到AD中点M距离的最大值为短 半轴长b=√10， 所以△MBC中，BM=CM=√J10,BC=2, 1 所以S△MBC= X2×W10-T=3,又AD⊥BC, 所以当AD垂直平面MBC时四面体体积最大， 最大值为V-子XS.wcXAD=-4. 8.答案：A 设该几何体的内接圆柱的底面半径为x(0<x≤1)， 则其高为2十2√1一x, 该内接圆柱的体积为V(x)=πx2·2(1十√1-x), 因为V'(x)=4xx·(1十√1-x)+2xx2· 2个-x 2πx(2√1-x+2-3.x2) √/1-x2 令V(x)=0,则有2-x+2-3x2=0,解得x= 22 3 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 当x∈ 0 2W2 时，V'(x)>0,当x∈ 3 所以当x= 22 时体积有最大值；故选：A. 9.答案：ABC 对于A,有一个面是多边形，其余各面都是有 一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多 面体叫棱锥，而有一个面是多边形，其余各面 都是三角形的几何体不一定是棱锥，如图，所 以A错误， 对于B,棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得，而有 两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一 定交于一点，所以B错误， 对于C,底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶 点不一定在底面的射影为底面等边三角形的中心，所以C错误， 对于D,若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底 面中心和顶点的截面知，若以正六边形为底面，则侧棱必然大于 底面边长，所以D正确， 10.答案：AB 设圆锥的母线长为1，以S为圆心， SA为半径的圆的面积为πl2, 圆锥的侧面积为πrl=3πl, 当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周， 则πl2=9πl,所以圆锥的母线长为1=9，故A正确； 圆锥的表面积3π×9十π×32=36π，故B正确； 圆锥的底面圆周长为2π×3=6π，设圆锥侧面展开图（扇形）的 圆心角为rd,则6x=9a,解得a-,即a=120,故C错误： 圆锥的高h=√一r=√9一32=6√2，所以圆锥的体积为 V=3xrh=了xX3X6厄=18巨x,故D错误。 11.答案：ABC 设正方体的棱长为α，则正方体外接球的半径为体对角线长的 一半，即夏。：内切球的半径为传长的一半即号 因为M,N分别为外接球和内切球上的动点， 所以M Nnin 5。-a=5-1a=5-1,解得a=2,即正 2a- 2 2 方体的棱长为2， 所以正方体外接球的表面积为4π×（√5）=12π，内切球体积 ,故A,B,C正确； 3 M Nmax= 空a十号=5+1，故D错误 12容案号 由题意可知，正三棱锥为正方体的一部分，如下图所示： 0 则所求的正三棱锥为O一ABC,且AB=BC=AC=2, 由正方体性质可知，OA=OB=OC=√2， 所以S△MOB= 20A·0B=1, 从而VO-AC=Vc-AOB= 3S△Ax·OC= 1 3 9 13.答案：4 由题意可知当旋转后，此时水面溢出，则此时水在正方体容器中 形成一个三棱柱（正方体的一半），故由长方体、球的体积公式可 知一X一安×字径得4=号 96 14.答案：36π 如图，不妨设正四棱锥为P一ABCD,易得四 边形ABCD为正方形，设正方形ABCD的 中心为点O1,连接PO1,则PO1为正四棱锥 的高，球心O在PO1上，连接OA,则OA为 球的半径R,设AB=a,PO1=h, 则ah-号，即ah=64. 3 在Rt△AOO1中，可得(h-R)2+AO号=R2, 0，则R=a+2h2=162 又A0,=2 4h=h2+2 令fe)9+号e>0)则fe)2+-4 x十2=2x 当0<x<4时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>4时，f'(x) >0,f(x)单调递增，则f(x)mm=f(4)=3,即球的半径R 的最小值为3，则球的表面积的最小值为4π×32=36π. 15.(1)因为AB=3,BC=4,AC=5, 所以AB2+BC2=AC2, 所以△ABC为直角三角形， 设堑堵ABC一A1B,C1的侧棱长为x,则 1 S矩彩A1AB1=3,则VG-A41B6=3义4X3x=24, 所以x=6,所以堑堵ABC一A1B1C1的侧棱长为6. 1 (2)因为S△Ax=2X3X4=6, 1 所以Va-A=S△XCC= ×6×6=12. 3 所以鳖臑C1一ABC的体积为12. (3)因为S△A1B1C1=2 ×3X4=6,5m6=2×6X4=12, S△AA1C1= ×6X5=15.58=号×3X2VE=3V万， 1 S矩形A1ABm1=3×6=18, 所以阳马C1一ABB1A1的表面积为 6+12+15+18+313=51+3√/13， 16.(1).O01=5dm,∴.P01=2dm. .玻璃罩的容积 V=号×62×2+62×5=24+180=204(dm)=204(). 3 (2)连接A1O1,设PO1=xdm(0<x<4), 则010= 2 xdm,A10=16-2 dm, A1B1=√2√/16-xzdm, ∴.正四棱柱的侧面积 5 S=42x·2W16- =10W2√(16-x)x. :S≤102×+16-x=802, 2 当且仅当x=√16一x,即x=2√2时，取等号： ∴.当PO1=2√2dm时，正四棱柱侧面积最大，最大为80√2dm2. 17.(1)将圆锥SO的侧面自母线SA剪开展开在平面内，得到扇形 ASA',则点B为弧AA'的中点，如图， 依题意，弧AA'长为2元·OA=2π， ∠ASA'--5: 2π2π 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 ∠ASB=3∠ASA'- 3 而D为SB中点，在△ASD中，由余弦定理得 AD SA:+SD:-2SA.SDcos3 3 (2X3X 1 5X2 33 2 所以A,D两点的距离的最小值为33. (2)依题意，得到的正方体新工件体积最大时，正方体的一个面 在圆锥的底面圆内，且为圆锥的内接正方体，设正方体的棱长为 x,沿正方体的对角面作圆锥SO的轴截面，如图， 则EF=√2x,FG=x,显然△SEF∽△SAB,有 AB =S0,而s0=V3-下=2w2, EF SO-FG 因此2一22- 2√2 ,解得x=2 3 则正方体工件体积V==(2E)”162 G 3 27 圆锥S0的体积V2= 3r·OA2·S0= 2W2π 16√2 所以原工件材料的利用率为 27 P 2√2π 9π 3 18.(1)如下图，取AB的中点F,连接EF、A1B、CF 因为E是AA1的中点，所以EF∥A1B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D1∥BC,A1D1=BC, 所以四边形A,BCD1是平行四边形，所以A,B∥D,C, 所以EF∥D1C, 所以E、F、C、D1四点共面 因为E、C、D1三点不共线 所以E、F、C、D1四点共面于平面a, 所以面EFCD1即为平面a截正方体所得的截面. D (2)由(1)可知，截面EFCD1为梯形， EF=√AE+AF=√I+I=√2， CD1=√CD+DD=√4+4=2√2， D1E=√A1D+A1E=√4+I=5, 同理可得CF=√5， 如下图所示： D 分别过点E、F在平面CD1EF内作EM⊥CD1,FN⊥CD1,垂 足分别为点M、N, 则D1E=CF,∠ED1M=∠FCN,∠EMD1=∠FNC=90°， 所以，△EMD,≌△FNC,则D1M=CN, 因为EF∥CD1,EM⊥CD1,FN⊥CD1, 则四边形EFVM为矩形， 所以，MN=EF=√2， DM-CN-CD-MN_2- 2 所以，EM=√ED-D1M花= 13√2 5 2 2 所以，梯形CD1EF的面积为 S=2(EF+CD)·EM=2X32x32=9 2-21 (3)多面体AEF-DD1C为三棱台， SAAEF=- AEA=X1F日 S。mc=2DD,·DC=号×2：=2，该按台的高为2， 所以，该棱台的体积为 3(SABF+SA1c+VSA4F·SAC)·AD ×2= 7 故剩余部分的体积为8一了号 717 故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为7 19.(1)设球的半径为r,正方体的棱长为a,正四面体的棱长为b, 则K。= (4πr2) =36r,正方体的系数为K1=(6a2) (a3)2 =216, 正四面体的表面积为S=4×)b2×号=36， 如图，设E为正三角形BCD的中心，连接AE, 连接AE,设正四面体的棱长为，则BE=}Xb 21 元 3b, sin 3 故AE=,b2 b 33 则其体积为AE·S△BcD= x56x56=5 3 4 2b, 侧正四面体的系数为K? (W3b2) =216√5 (26 所以，正方体“球形比例系数”f 36元_元 216 6, 正四面体的“球形比例系数”f= 36πV3π 216518 (2)设圆柱底面半径为r,高为h, 则全面积为S=2πr(r十h),体积为V=πr2h, 于是K==8) +) 三8 (r2h)9 设x=f)-1+3 则f'(x)=1十x)(x-2) 当x∈(0,2)时，f'(x)<0;当x∈(2，十0)时，f'(x)>0; 即x∈(0,2)时，f(x)单调递减；x∈(2，+∞)时，f(x)单调递增. 即x=2,h=2r时，圆柱体的系数最小为K=54π， 所以，圆往体的球形比创系数的值域为0，引 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 (3)考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为r,圆柱的高为 h,= h 于是组合体的全面积S=3πr2十2rh,体积V= 3w3+元r2h S3 (3πr2+2πrh)3 (3+2x)3 2 =9π 2 33+r2h (2+3x)2’ f(x)= K。_4(2+3.x)2 K (3十2x)3· f(1)= >，而f2)=8 4、3 2563 当x≈1.95时，f(1.95)≈0.75， 注：（可以使用计算器）； 故存在球形比例系数为：的几何体，其由圆柱和一个半球组合 而成，底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍.数学一轮复习同步考练（十五） 空间几何体的结构特征及其表面积与体积 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.如图所示，在三棱台A'B'C一ABC中，沿平 面A'BC截去三棱锥A'一ABC,则剩余的 部分是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体 2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截 面中两条母线的夹角)是 A.30 B.45° C.60 D.90° 3.如图所示是水平放置的△ABC的直观图，其中A'O'=B'O'= C'O'=1,则原△ABC是一个 A.等边三角形 B.直角三角形 C等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.近年来，越来越多的市民喜欢在周末带着帐篷到户外开展活动， 帐篷的造型多种多样，从中抽象出两种帐篷模型，模型①；正三棱 柱，如回1所示：极型四：半圆住体，如回2所示，定义“7S其 中V表示帐篷的体积，S表示帐篷的表面积（不包括阴影部分）”， 记模型①②的7值分别为1,2，则 (参考数据3≈1.732,4.8663≈115) 2 2 2 A.71>7 B.01<72 C.1=72 D.不能确定 5.一个五面体ABC一DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离 为1.并已知AD=1,BE=2,CF=3.则该五面体的体积为 6 3/ 3 1 B. 51 D. 4 2 6.已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下 底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为 455 A.3π B.5√5π D.7√3π 7.在四面体ABCD中，AD与BC互相垂直，AD=2BC=4,且 AB+BD=AC+CD=2√14，则四面体体积的最大值为 A.4 B.6 C.8 D.4.5 8.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为 1,高为2的圆柱，两端是半径为1的半球组成，现欲加 工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的 球面上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为 B号 c号 D.3 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中，错误的为 A.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正 六棱锥 10.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作 “干乐”，北方叫作“冰尜(gá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木 制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺（如图所示），其底面半 径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S 滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3 周，则 A.圆锥的母线长为9 B.圆锥的表面积为36π C.圆锥的侧面展开图（扇形）的圆心角为60° D.圆锥的体积为12√2π 11.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M,N,若线段 MN的最小值为√一1，则下列说法中正确的是 A.正方体的外接球的表面积为12π 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十五）·数学·第1页（共2页） B.正方体的内切球的体积为智 C.正方体的棱长为2 D.线段MN的最大值为2√ 三、填空题 12.正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的 体积为 13.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器ABCD A1B,C1D1,AB=4,容器内装有高度为h的水，现将容器绕着 棱A1B,所在直线顺时针旋转45°，容器中溢出的水刚好装满一 为、√的半球形容器，不考虑容器厚度以及其俐 响，则h= C D B 14.已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体 积为3，则该球的表面积的最小值为 64 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面 为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相 对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底 面垂直的四棱锥)和一个鳖嚅（四个面均为直角三角形的四面 体).在如图所示的堑堵ABC一A1B1C1中，已知AB=3,BC= 4,AC=5.当阳马C1-ABB1A1体积等于24时，求： (1)堑堵ABC一A,B,C1的侧棱长； (2)鳖臑C1一ABC的体积； (3)阳马C1一ABB1A1的表面积. 16.为了保护一件珍贵文物，博物馆需要用一个密封的玻璃罩罩住 文物，玻璃罩的几何模型如图，上部分是正四棱锥P一 A1B1C1D1,下部分是正四棱柱ABCD一A1B1C1D1,正四棱柱 的高O,0是正四棱锥的高P0,的号倍。 (1)若AB=6dm,OO1=5dm,求玻璃罩的容积是多少升（玻璃 厚度不计)； (2)若PA1=4dm,当PO1为多少时，下部分的正四棱柱侧面积 最大，最大侧面积是多少？ D 17.下图是一块圆锥体工件，已知该工件的底面半径OA=1,母线 SA=3, (1)A,B是圆O的一条直径的两个端点，母线SB的中点D,用 软尺沿着圆锥面测量A,D两点的距离，求这个距离的最小 值； (2)现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新 工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，求原工 件材料的利用率， 18.如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，棱长为2，E是线段 AA1的中点，平面a过点D1、C、E. (1)画出平面α截正方体所得的截面，并说明原因； (2)求(1)中截面多边形的面积； (3)平面α截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与 比较大的部分的体积的比值. 参考公式：V恢台=3h(S'+√SS+S) D C B D 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十五）·数学·第2页（共2页） 19.设一个简单几何体的表面积为S,体积为V,定义系数K=司， 已知球体对应的系数为K。,定义∫为一个几何体的“球形 比例系数” (1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2)求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在， 请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由，