4、基本初等函数及其应用-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（四） 基本初等函数及其应用 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合A=(x1<0,B={2<3<2},则AUB A.(0,log32) B.(-log2,log 2) C.(-log32,1) D.(-0,1) 2.有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个 函数的三个性质：(1)是偶函数；(2)值域是{yy∈R,且y≠0}； (3)在（一∞，0）上单调递增.如果给出的三个性质中，有两个正 确，一个错误，则该同学研究的函数是 A.y=x B.y=x-2 C.y=x3 D.y=zi 生物丰富度指数d、是河流水质的一个评价指标，其中§ N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指 数d越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有 变化，生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高 到3.15，则 A.3V2=2N1 B.2N2=3V C.N=N D.N=N 4.设a=0.42,b=log.43,c=4.3,则a,b,c的大小关系为 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 5.已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1og,x 一1，则f(一4)= A.g 5 B.- c 4 D.-9 6.命题p:0<a<1,命题q:函数f(x)=log。(2-ax)(a>0且 a≠1)在（一o,3)上单调，则饣是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.若ae=blnb(a>0),则 A.a<b B.a=b C.a-b D.无法确定 8.已知f(x),g(a)分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且 f(x)十g(x)=e,若关于x的不等式2f(x)-ag(x)≥0在 (0,ln3)上恒成立，则正实数a的取值范围是 + ）B.[0,+∞) c(]. 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.对于函数f(x)的定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结 论：当f(x)=e时，下述结论正确的是 A.f(x1-x2)= f(2) f(x2) B.f(x1·x2)=f(x1)十f(x2) C.(x1-x)[f()-f(2)]>0 2 10.已知a=b,函数y=log。（-x)与y=b的图像可能是 11.已知函数f(x)=ln.x十ln(2-x),则 A.f(x)在(0,2)上单调递增 B.f(x)在(0,2)上的最大值为0 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 三、填空题 12.使lga十lgb=lg(a+b)成立的一组a,b的值为a= b= 12 13设k∈{-2，-1,3,3,2，若x∈（-1,0)U(0,1),且 x>x,则k取值的集合是 14.函数fu)-日-1ge+2)a>0且a≠1在2a-3,+m) 上是增函数，则S=4a2十4a+3的取值范围是 2026年伯乐马一轮复习同步考练（四）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)计算：（分）+2w1og日-21gW8++8-5): 324 (2)计算：2g9专g5+1g25: 5 (3)已知a>b>1,log,b+log,a=之，且a=b,求a与b的值. .已知函数f(x)=() (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的最大值等于是，求实数a的值。 17.当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时25% 的速度减少. (1)按照医嘱，护士给患者甲注射了amg药品A两小时后，患者甲 血液中药品A的残存量为225mg,求a的值； (2)另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时 10%的速度减少.如果同时给两位患者分别注射800mg药品A 和500mg药品B,请你计算注射后几个小时两位患者体内两种 药品的残余量恰好相等.（第(2）问计算结果保留2位小数) 参考值：1g2=0.301,lg3=0.477. 18.已知幂函数f(x)=(m2+m一5)·xm(m∈R)是定义在R上 的偶函数 (1)求函数f(a)的解析式； 1 (2)当x∈581时，求函数g)=f(og,x)-21log,[f()]+2 的最值，并求对应的自变量x的值. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（四）·数学·第2页（共2页） 19.已知函数f)=ag)+2(a为常数，且a≠0，a∈R a·4 请在下面四个函数：①g1(x)=2x,②g2(x)=log2x, ③g3(x)=x2,④g4(x)=8,中选择一个函数作为g(x),使得 f(x)具有奇偶性. (1)请写出g(x)表达式，并求a的值； (2)当f(x)为奇函数时，若对任意的x∈[1,2]，都有f(2x)≥ mf(x)成立，求实数m的取值范围： (3)当f(x)为偶函数时，请讨论关于x的方程f(2x)=mf(x) 解的个数.4、基本初等函数及其应用 1.答案：C 因为A={xlnx<0}=(0,1), B-{2<3<2-（cg71og,2: 所以AUB=(-log2,1).故选：C. 2.答案：B 对于A,y=x1是奇函数，值域是{y|y∈R,且y≠0}，在 (一∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确；对于B,y= x是偶函数，值域是{yy∈R,且y>0},在(-∞，0)上单调递 增，三个性质中有两个正确，符合条件；同理可判断C,D中的函 数不符合条件。 3.答案：D 由题意得-21.-8.15，则21nN,-3a16nNa InNL 即2lnN1=3lnN2,所以N=N.故选：D. 4.答案：B 因为y=log4x在定义域上单调递减，所以b=log。43<log.41=0, 又y=4在定义域上单调递增，所以c=4.3>4°=1， y=0.4在定义域上单调递减，所以0<a=0.42<0.4°=1， 所以b<a<c.故选：B. 5.答案：A f)-号ga-1-号e2-1-号×号-1= 2 5 因为fx)为R上的奇函数，所以了(-酒)=-了)-号 故选：A 6.答案：B 设t=2-a.x, 则f(x)=log。(2-a.x)(a>0,a≠1)可化为y=logt. 充分性：当0<a<1时，函数y=logt在(-∞，3)上单调递减， 1=2-0x在（一0,3）上单调通减，且当0<<号时>0，f() =log。(2-ax)(a>0,a≠1)在(-o,3)上单调递增， 当号<a<1时<0，此时f(x)没有意义，故充分性不成立。 必要性：若y=logt在（一n,3)上单调递减，则0<a<1,所以 t=2-ax在（一0,3）上单调递减，且t=2一a.x>0在(-o,3)上 恒成立，所以23a>0,得u<号， 2 所以当0~a<3时，f(x)在(-0,3)上单调递增： 若y=logt在(-w,3)上单调递增，则a>1,所以t=2-a.x在 (一o,3)上单调递减， 且t2-a心>0在(-0,3)上恒成立，所以2-30>0，得a<号 不符合题意，舍去 综上可知，当函数了)在（一0,3）上单调时.0<a<号，因比必 要性成立 所以p是q的必要不充分条件故选：B. 7.答案：A 因为a>0,所以ae“>a>0, 因为ae=blnb,所以blnb>0,可得b>1, 令ae“=blnb=k,k>0, 所以e-会w-会 a g(x) h(x f(z)=e*,g (z)=Inz,h(x)= 作出它们的图象如图： 由图可知a<b.故选项A正确. 8.答案：D 因为f(a),g(x)分别为R上的偶函数和奇函数， f(x)十g(a)=e①， 所以f(-x)十g(-x)=e,即f(x)-g(x)=er②， g(x)=e-e 联立①@可解得fc)=+e 2 所以不等式2f(x)-ag2(x)≥0可化为 e'te--a.(e'-e-) ≥0， 4 因为∈0，n3)则e-e>0,故a<ee3 设e十ex=t,则(e-ex)2=(e2十e)2-4=t2-4, 故Q2-4，广一 4 因为t=e十er,x∈(0，ln3),所以t'=e-e>0, 故1=e十e在0，lh3)上是增函数，则12.9) 又因为y=1-在∈，智时是增函数， 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 所以0<t一 下15则415 432 48 t t 因为a←号在e0,l6)恒成立，所以a≤号 15 所以正实数。的取值范画是6，背] 故选：D. 9.答案：AC 对于A,f(1-x2)=e-,f）-e f(x1) f(-:)=fiza) ,正确； 对于B,f(x1·x2)=e1·2,f(1)+f(x2)=e1十e2, f(x1·x2)≠f(x1)十f(a2)错误； 对于C,:f(a)=e在定义域中单调递增， (x1一x2)[f(x1)一f(x2)]>0,正确； 对于D,f2 1十x2=eΨ a≤e+e) 2 2 故选：AC 10.答案：AB 因为a=b,即a=(分，所以a=方， 当a>1时，则0<b<1,指数函数y=bx在R上单调递减，且过 点(0,1)； 对数函数y=log。x在(0，十∞)单调递增且过点(1,0)，将y= log。x的图像关于y轴对称得到y=log。(一x)的图像，则y= log。（-x)在(-0,0)上单调递减且过点（一1,0），故A符合 题意； 当0<a<1时，b>1,同理可得，指数函数y=b在R上单调递 增，且过点(0,1)， y=log。（-x)在(-0,0)上单调递增且过点(-1,0)，故B符合 题意； 故选：AB, 11.答案：BC f(x)=lnx+ln(2-x),定义域为(0,2)， f(x)=ln[x(2-x)]=ln(-x2+2x), 令t=-x2+2x,y=lnt, 因为t=-x2+2x,x∈(0,2)， 则在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 故A错误； f(x)mx=f(1)=0,故B正确； 因为f(1+x)=ln(1+x)+ln(1-x), f(1-x)=ln(1-x)+ln(1+x),所以f(1+x)=f(1-x), 所以f(亿)的图象关于直线x=1对称，故C正确，D错误。 12.答案：2（答案不唯一）；2（答案不唯一） ab=a+b 若lga十lgb=lg(a+b),则lgab=lg(a十b),可得a>0 b>0 例如a=b=2符合上式 18容案：-2号 若x∈(-1,0)U(0,1),且x>x, 则幂函数y=x的图象一定在y=|x的上方， 故y=不可能为奇函数，即：不能取-1和了， 当k取-2，号，2时y=是偶函数故只需满足∈0,1即可. 此时x>x,即x-1>1,则k-1<0,即<1， 2 取2，了故6取值的集合是 14.答案：[6,11) 当a>1,则f(x)在定义域（一2，十o)上递减，不满足题设； 当0<a<1,则f(x)在定义域(-2，十o)上递增，又f(x)在 (2a-3,十o)上是增函数，所以2a一3≥一2，可得a≥ 2,即2≤a<1. 由S=4a2+4如十3=4(a十分)+2.故S在[21)上递增， 所以S的取值范围是[6,11). 15.(1)原式=(33)+3×1og,23-1g(√3+5+√3-5) =9-9-1lg(6+2√3+√5·√3-√5)=-1： 2)原式ls0-s2)+1gv2丽 g2-1g4+1gv2需-1g号+g2而=lg而- 二1g (3令1ogb=10<1<1.则16gb+1ga=1+}-名郭得 1=2含成2即0gb=号故6=石 又a=b,则a=(a)',即a=a,即后=号，解得a=4, 故b=2. 2 3 )2-a,x≥0 16.(1)f(x)=( 23 -)-x-a,x<0 所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，在（一∞，0）上单调递增； (2)由于|x-a的最小值为-a, 所以f)=(学)的最大值为（号） 2 即（号=故a=2 17.(1)由题意可得，注射药品A两小时后药品A的残存量为 a(1-25%)2=56.25%amg, 所以56.25%a=225,解得a=400, 即注射了400mg药品A,a的值为400. (2)设药物B注射量为m,则n小时后残余量为m(1一10%)”， 设药物A注射量为t,则n小时后残余量为t(1一25%)”， 又题可知，药物A注射量为800mg,药物B注射量为500mg, 设n小时后残余量相同，则800(1一25%)”=500(1一10%)”， 即1.6 0.9 0.75 两边取对数可得g1.6=g1.2,即1g号=nlg, 6 即gs1s号-个ie6-k),即4e2-1=a0g12-), 即4lg2-1=n(1g3+lg4-1), 即4×0.301-1=n(0.477+2×0.301-1), 解得n≈15.24，所以注射15.24小时后两位患者体内两种药品 的残余量恰好相等. 18.(1)根据题意可得m2+m-5=1,即m2+m-6=0, 所以(m+3)(m-2)=0,解得m=-3或m=2, 又函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以m=2,f(a)=x2,即函数f(x)的解析式为f(x)=x2. (2)由(1)可知g(x)=f(logx)-21og3[f(x)]+2 =(logx)2-2 log22+2=(logs2)2-4 log2+2 =(l0gx-2)2-2 因xe[381所以og,xe[-1,41, 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 所以当g,=2,即x=9∈[81函数g)的最小值为-2： 当x=3时，logx=-1,函数g(x)的最大值为7. 19.(1)若选①，g(x)=2x, 则f()=2ax+2 ,该函数的定义域为R, a·4x 若函数f)为奇函数，则f(0)=】≠0，不合乎题意： 若函数f(红)为偶函数， 则f(一x)= -2ax+2_4(2-2a.x）_2-2ax·4 a·4-z 由f(-x)=f(),可得2-2x·4_2ax+2 0 a·4x1 8x-2 化简可得2a= x+x·16(x≠0)， 则：不为省数：印西数了)不可能为偶西数，不合 乎题意； 若选②，g(x)=log2x的定义域为(0，十0)， 所以，函数f(x)的定义域为(0，十o), 此时，函数f(a)为非奇非偶函数，不合乎题意； 若选③g(a)=x2,则f)=x+2 a·4x, 若函数f()为奇函数，则f(0)=二≠0，不合乎题意； 若函数f(x)为偶函数， 则f(-）=a2+2-4华ax2+2)2+a.4 a·4x 由f(-x)=f),可得2+a2·4华一ax2+2 a a·4x 2x-8 2(1-42) 2 整理可得a= x2(16x-1）x2(1-42x) x(1+4≠0)， 则a不为常数，不合乎题意. 选④g(x)=8, f)=82=2+22f(-)=2+ ·22, a·4 当f(x)为奇函数，则f(x)=一f(一x), 即f)+f(-x)（+日)2+2)=0可得a=-1: 当f(x)为偶函数，则f(x)=f(一x), 则f)-f(-x)=1-)2-2)=0,可得a=1: (2)当f(x)为奇函数时，f(x)=2一2，x∈[1,2]， 则2∈[2,4]， 由于函数y1=2在[1,2]上为增函数，函数y2=2x在 [1,2]为减函数， 所以，函数f(x)=2-2在[1,2]上为增函数， 则f(x) [ 若对于任意的x∈[1,2]，都有f(2x)≥mf(x)成立 ，=2十2}mn, 设t=2∈[2,4]，9t)=t+, 任取t1、t2∈[2,4]，且t1<t2,即2≤t1<t2≤4， 则s)9)=+)+ =-)--》u-)+ t2一t =(C1-t2)(tt2-1) tit2 ,2≤t1<t2≤4，则t1一t2<0,t1t2>4,可得9(t1)-9(t2)<0, 即9(t1)<p(t2), 所以，函数9(t)在[2,4]上为增函数， 所以9()m=9(2)=2, ∴m<号所以m的取值范围是(n,号 (3)当f(x)为偶函数时， f(x)=2+2,f(2x)=22x十22x=(2十2)2-2， 令s=2十2≥2√2·2=2，当且仅当x=0时，等号成立， 2 则s2-2=ms(6≥2)，m=s-号=h6), 又A()=-兰在2，十四)单调递增，所以A()≥1. ①当m<1,此时方程无解； ②当m≥1，存在唯一解sn∈[2，十∞)， 又因为f(x)=2十2为偶函数，不妨设0≤x1<x2, f(x1)-f(x2)=21+21-(2”十2)=(21-22)十 2x1+x2 2x1+x2 因为0≤x1<x2,则21-22<0，x1十x2>0,所以，21+x>1, .f(x1)<f(x2): 所以f(x)在[0，十o)单调递增，在（一∞，0]单调递减， (i)当m=1时，s。=2,此时方程有唯一解x=0; (ⅱ)当m>1时，s。>2,此时方程有两个解； 下证必要性：令h(a)=2十2x一sw,该函数的定义域为R, h(-x)=2x十22-s。=h(x),则h(x)为偶函数， h(a)在[0，十o)单调递增， h(0)=2-sw<0,h(log2sp)=2120十2-120-s0=2-1o820>0, 所以h(x)在(0，log2sw)有一个零点， 又因为函数h(x)是偶函数， 则函数h(x)在（一log2s,0)也有一个零点， 所以当m>1,s。>2时原方程一共有两个解， 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页