2、不等式的性质、解法及基本不等式-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（二） 不等式的性质、解法及基本不等式 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.不等式x(1一2x)>0的解集为 A(-n,0u02) c.+ ) 2.已知a,b∈R,满足ab<0,a+b>0,a>b,则 B+>0 C.a2>b2 D.a<b 3.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分 数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和 过剩近似值分别为2和（a,b,c,dCN+),则十是x的更为 精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道e=2.71828…,若令 品<。兰则第一次用调日法后得能是c的更为精确的过利 近似值，品<。号：若每次都取及简分数，那么第三次用调日 法”后可得e的近似分数为 罗 B器 c号 87 D.92 4.当x>a时，2x十 8。的最小值为10，则a弓 A.1 B.√2 C.22 D.4 5.“a>b”的一个充分条件是 A.e-6>0 an分>0 C.ab 6.已知关于x的不等式k.x2一6kx+k+8≥0对任意x∈R恒成 立，则的取值范围是 A.[0,1] B.(0,1] C.(-∞，0)U(1,+o∞) D.(-∞，0]U[1,+∞) 7.已知a,b∈(-o,0),且a十4b=ab一5，则ab的取值范围为 A.[25,+o) B.[1,+o) C.(0,5] D.(0,1] 8.已知不等式a.x2十bx+c>0的解集为{x|一2<x<3},且对于 Vx∈[1,5]，不等式bx2+amx+2c>0恒成立，则m的取值范 围为 A.(-∞，4√3] B.(-o∞，4√3) C.[13,+o∞) D.(-o∞，13) 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=” 作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符 号，并逐步被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深 远.若a>0,b>0,a十b=2,则 A.0<a1 B.0<ab≤1 C.a2+b2≥2 D.0<b<2 10.已知函数y=x2十a.x十b(a>0)有且只有一个零点，则 A.a2-b2≤4 B+4 C.若不等式x2十ax-b<0的解集为(x1x2),则x1x2>0 D.若不等式x2+ax十b<c的解集为(x1,x2),且x1-x2=4, 则c=4 11.已知实数a,b满足0<a<b<1,则 A.6b-1 aa-l B.a+b-ab C.a<b D.2-2<loga-log号b 三、填空题 12.不等式<分的解集是 13.已知圆锥的母线长为2，侧面积为S,体积为V,则s取得最大值 时圆锥的体积为 14.记max{z1,x2,z3}表示x1,x2,x3这3个数中最大的数.已知 。oc是正实数，M=n+兰后}则M的最小值为 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知关于x的不等式a.x2-ax一1≥0，其中a为参数 (1)从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得不等式 有非空解集，并求此不等式的解集； 条件①：a=一4；条件②：a=-1;条件③：a=1. (2)若不等式的解集为)，求a的取值范围. 16.长征二号F遥十四运载火箭在设计生产中采用了很多新技术 新材料.甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时（为保证 质量要求1≤x≤10)的速度匀速生产，每小时可消耗A材料 (kx2十9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料 10千克. (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x 的函数； (2)要使生产1000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取 何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少. 17.已知f(x)=x2-(a+1)x+a,a∈R,x∈R (1)当a=一2时，解关于x的不等式f(x)<0; (2)若存在x∈[3，十o),使得f(x)=一1成立，求实数a的取 值范围. 18.某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验.已 知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y(微克)随着时间 2. (0x6) x(小时)变化的函数关系式近似为y= 8-x 当 12-x(6<x≤12) 每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的 效果， (1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的 效果？ (2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请 问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？ 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二）·数学·第2页（共2页） 19.设函数f(x)=ax2+(1-a)x十a-2, (1)若关于x的不等式f(x)≥一2有实数解，求实数a的取值 范围； (2)若不等式f(a)≥-2对于实数a∈[-1,1]时恒成立，求实 数x的取值范围； (3)解关于x的不等式：f(x)<a-1,(a∈R).2、不等式的性质、解法及基本不等式 1.答案：A 由题意得x≠0， 当x>0时，原不等式即为x1-2)>0,所以0<<分： 当x<0时，原不等式即为一x(1一2x)>0,所以x<0, 综上，原不等式的解集为（一0,0）U0,)故选：A 2.答案：C 因为a6<0a>h,则a>0b<0,>0,方<0，A不正确： 合<0，号<0则+<0，B不正确： a 又a十b>0,即a>一b>0,则a2>(-b)2,a2>b2,C正确： 由a>一b>0得a>|b|,D不正确. 3.答案：C 第一次用调日法“后得号是©的更为精确的过利近似值，即得 10 ®<品第二次用调日法后得器是e的更为精确的过利近似值， 41 即器<。<爱：第三次用调日法"后得号是e的更为精确的不足 19 近似值，即9 68 19 ,所以答案为 4.答案：A 2x+ x-a =2(x-a)+ +2a≥22(x-a)X8+2a 8 2x一a =8+2a,即8十2a=10,故a=1. 5.答案：D 根据e“-6>0得a一b为任意实数，故A错误； 由ln分>0=ln1,得号>1，当a>0且b>0时，有a>b:当a<0 且b<0时，有a<b,不满足题意，故B错误； 因为a=2>b=1满足a“>b,a=- <b=1也满足a“≥b 不满足题意，故C错误； 因为<石<0，所以0>a>6,所以能推出a>6:清足题意，故D 正确， 6.答案：A 当k=0时，不等式kx2一6kx十k十8≥0可化为8≥0，恒成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2一6kx十k十8≥0对任意 x∈R恒成立，只需>0， 解得0<k≤1. △=36k2-4k(k+8)≤0， 综上，k的取值范围是[0,1] 7.答案：D 首先确定0<ab<5,再由基本不等式得到ab十4√ab一5≤0，从 而求出ab的取值范围. 因为a,b∈(-o,0),a+4b=ab-5,则a+4b<0,所以0ab<5. 又ab-5=a+4b=-[(-a)+4(-b)]≤-2√4ab=-4√ab, 即ab+4√ab-5≤0，即(ab+5)·(√ab-1)≤0， 解得0<√ab≤1， 所以0<ab≤1，当且仅当-a=-4b,即a=4b=-2时，等号成立， 即ab的取值范围为(0,1]. 8.答案：B 由不等式ax2十bx十c>0的解集为{x一2<x<3},可知-2,3 为方程0r+r十(=0的两个根，故a<0且-名 =-2+3=1, C=(-2)X3=-6,即b=一a,c=-6a,则不等式bx2+am.x十 2c>0即为一ax2+amx-12a>0,由于a<0,x∈[1,5]，则上式 可转化为m<x+2在[1,5]上恒成立，又x+2≥2，·卫 2 46,当且仅当号即=2时等号成立，故m<45。 9.答案：BCD a>0 a>0,b>0,b=2-a.. ,解得0<a<2,同理0<b< 2-a>0 2,则A不正确D正确： :ab≤ =1,当且仅当a=b时，等号成立， .0<ab≤1，则B正确； a2+b2≥(a十b)22 2 -=2,当且仅当a=b时，等号成立， ∴.a2+b2≥2，则C正确.故选：BCD. 10.答案：ABD 根据题意，函数y=x2十ax十b(a>0)有且只有一个零点， 则△=a2-4b=0,即a2=4b(b>0) 对于A,a2-b2-4=4b-b2-4=-(b2-4b+4)=-(b-2)2 ≤0，即有a2一b2≤4，故A正确； 对于Ba+方=6+方>≥2,6·石=4，当且仅当h=方即 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 b=号时等号成立，故B正确： 对于C,由x1,x2为方程x2十Q.x一b=0的两根，可得2x1x2= 一b<0,故C错误； 对于D,由1，x2为方程x2十ax十b一c=0的两根，可得 x1十x2=一a,x1x2=b-c,则|x1-x22=(x1十x2)2-4x1x2 =a2一4(b-c)=a2-4b+4c=4c=16,解得c=4,故D正确. 11.答案：BCD 由01可得。名白)>0所以A特灵 由a+b-ab=a十b(1一a)>0,则a十b>ab,所以B正确； 令f(x)r,可得f(=1-ln 当0<x<e时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 因为0<a<b<1,则f(a)<f(b), 所以Ind Inb 。<b,即b1na<alnb,lna<1nb, 所以a<b“,所以C正确： 由函数g(x)=2-log1x在(0，十o)上单调递增， 因为0<a<b<1,则g(a)<g(b),即2-loga<2-logb, 所以2-2<log号a-log号b,所以D正确。 12.答案：(-0,0)U(2,十∞) 不等式号即<02u-2)≥0，解得>2或1<0 2x 2√2π 13.答案：3 设圆锥底面半径为r,高为h,由题意可得母线l=2, 所以圆锥的侧面积为S=πrl=2πr,且h=√2一r=√4一r, 所以圆锥的体积为V=了h=弓·一， 则6 1 2xr 6rr≤+4-r2=1 6 2 当且仅当r=√4一r2,即r=√2时，等号成立， 此时v=号x7-号×x×2XV2-2 31 14.答案：√3 由随密随定山与口。十名，分为不等天，结合装本不等大 即可得最值. 因为M=mu,子+}所以aM,云≤, 又aC都是正实数，所以十+≤M,所以M, 即M≥√， 当且仅当a=分=原时取等号，所以M的最小值为5. 15.(1)若选条件①：a=-4时，不等式为-4x2+4x-1≥0， 即(2x-1)2≤0，解得x=2, 所以不等式的解集为侣}： 若选条件②：a=一1，不等式为-x2十x-1≥0，即x2一x+1≤ 0,其中△=（一1）2一4=一3<0，所以不等式无解： 若选条件③a=1,不等式为一工-1≥0，解得<1,5或 2 x≥1+5 所以不等式的解为-，][+小 (2)当a=0时，不等式为一10，满足不等式的解集为⑦，故a=0: 当a≠0时，要使不等式a.x2-ax-1≥0的解集为⑦， 厕-ay士o<獬得-4a0,小 综上得a的取值范围为一4<a≤0. 16.(1)由题意得k+9=10,解得k=1, 因为生产m千克该产品需要的时间是公 所以y-2+9)=mc+21≤10， (2)由(1)知，生产1000千克该产品消耗的A材料为 9 y=1000(x+)≥1000×2W9=6000(千克). 当且仅当=号即x-3时，等号成立， 故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的A材料最少， 最少为6000千克， 17.(1)f(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1), 当a=-2时，由f(x)<0→(a+2)(a-1)<0P-2<x<1, 所以不等式的解集为（一2,1） (2)f(x)=x2-(a+1)x十a=(x-a)(x-1), 该函数的对称轴为x=十1， 2, 当a=1时，f(x)=(x一1)2≥0，不存在实数x∈[3，十0)，使 得f(x)=一1成立； 当a<1时，函数f(x)在x∈[1，十o)上单调递增，显然在x∈ [3,十o)上也单调递增，而f(1)=0,所以当x[3,十o)时， f(x)>0,故不存在x∈[3，+∞)，使得f(x)=一1成立； 当1<a≤3时，因为函数在x∈[a,+o)上单调递增，所以在x ∈[3，十o)时也单调递增，而f(a)=0,所以此时f(x)=一1不 成立； 当3≤a1时，即a≥5时，要想f(x)=-1在x∈[3，+o)有 解，只需/士)≤-1→生)》 -9 +1)+a≤-1今 2 a≥3或a≤-1，而a≥5，因此a≥5， 当“ <3<a时，即3<a<5时，要想f(x)=-1在x∈ [3,+w)有解，只需f(3)≤-1→9-3(a+1)+a≤-1→a≥3.5， 即3.5≤a<5, 综上所述：实数a的取值范围为[3.5，十o). 18.(1)设服用1粒药，经过x小时能有效抗病毒， [0x6 即血液含药量须不低于4微克，可得 2x4 8-x 解得号<，≤6，所以号小时后该药能起到有效抗肩孝的效果. (2)设经过x小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克； 若0K<6,药物浓度名≥4，解得6， 若6<x≤12，药物浓度(12一x)+ 2(x-6) 8-(x-6)≥4， 化简得x2-20x+100≥0，所以6<x≤12： 若12<x≤18，药物浓度12-(x-6)≥4， 解得x14,所以12<x14; 16 综上x[3,14], 所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时，。 19.(1)依题意，f(x)≥一2有实数解， 即不等式a.x2+(1-a)x十a≥0有实数解， 当a=0时，x≥0有实数解，则a=0, 当a>0时，取x=0,则ax2十(1-a)x十a=a>0成立， 即ax2+(1一a)x十a≥0有实数解， 于是得a>0, 当a<0时，二次函数y=a.x2十(1一a)x十a的图象开口向下， 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 要y≥0有解，当且仅当△=(1-a)P-4如2≥0台-1<a<3从 而得一1≤a<0, 综上，a≥-1， 所以实数a的取值范围是a≥-1； (2)不等式f(x)≥-2对于实数a∈[-1,1]时恒成立， 即Ha∈[-1,1]，(x2-x+1)a+x≥0， 显然x2-x十1>0， 函数g(a)=(x2-x十1)a十x在a∈[-1,1]上递增， 从而得g(-1)≥0，即-x2+2x-1≥0，解得x=1, 所以实数x的取值范围是1}； (3)不等式f(x)<a-1台a.x2+(1-a)x-1<0, 当a=0时，x<1, 当a>0时，不等式可化为(x+2)x-1)<0,而-<0， 解得-1<x<1, 当a<0时，不等式可化为(x+)(x-1)>0, 当-1=1，即a=-1时，x∈R,x≠1， 当1，即a<-1时x<-或x>1, 当-1>1，即-1<4<0时，<1或x>- a 所以，当a=0时，原不等式的解集为（一o,1), 当a>0时，原不等式的解集为(-二，1)， 当-1≤4<0时，原不等式的解集为(-0,1)U(-】,十o), a 当a<-1时，原不等式的解集为(-o,-二)U(1,十o).