22、古典概型、事件的独立性、条件概率与全概率公式-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

22、古典概型、事件的独立性、条件概率与全概率公式 1.答案：B 由题意可知基本事件的总数为63， 而符合向上的点数依次成等差数列的事件可分为三类： 第一类，三数相同时，共有6种； 第二类，连续三数时，即公差为1或一1时，基本事件有： (1,2,3)、(3,2,1)、(2,3,4)、(4,3,2)、(3,4,5)、(5,4,3)、 (4,5,6)、(6,5,4),共8种： 第三类，不连续三数即公差为2或一2时，基本事件有： (1,3,5)、(5,3,1)、(2,4,6)、(6,4,2),共4种 综上，向上的点数依次成等差数列的概率为P=6十8+4_ 6 12 2.答案：D 对于A:事件C发生时，事件AB不一定发生，所以A错； 对于B:x1=1,x2=8时，A,B同时发生，所以B错； 对于C:x1=3,x2=6时，A,B同时发生，所以C错； 1 对于D:P(B)=8,P(C)=8,P(BC)=64 P(B)×P(C)=P(BC),P(C)=P(BC),所以D正确 3.答案：A 设该校学生人数为x, 则近视人数约为0.4x,每天玩手机超过1小时的人数约为0.2x, 这些人的近视人数约为0.2x×50%=0.1x, 因此每天玩手机不超过1小时且近视的人数约为0.4x一0.1x=0.3x, 而每天玩手机不超过1小时的人数约为x一0.2x=0.8x, 所以从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生， 则他近视的概率约为P= 0.3.x 0.8x =0.375,故选：A. 4.答案：B 解法一：画出树状图，如图， 甲 丙丁乙 乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 丙 丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲 丁乙丁甲乙甲 丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率P= 81 2431 解法二： 当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种， 共2种； 于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是 共8种排法符合题意； 基本事件总数显然是A=24,根据古典概型的计算公式，丙不在 排头，甲或乙在排尾的概率为员号故选，B 5.答案：A 由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为， 3① 又三个社团都进不了的概率为 0 所以(1-m)(1-n)(1- 7 由①②可得，m十n=2故选：A 6.答案：A 由题意可知在红箱内取到红球的概率为？，取到白球的概率为8， 3 5 在白箱内取到红球的概率为令，取到白球的概率为。， 第n十1次取出白球，包括“第n取出是红球”和“第n次取出是 白球”两种情况，第n次取出的球是白球的概率为P,则第n次 取出的球是红球的概率为1一Pm, 所以P1=P.+1-P,)=P,+故选：A 7.答案：B 设事件A1,A2分别表示取得的这块芯片是由甲、乙生产的，事件 B表示取得的芯片为次品，甲生产该芯片的次品率为饣， 123 则P(A)=20-5,P(A)=5, P(BA)=p,P(BA:)=20:则由全概率公式得 PB)=PA)P(B1A)+P(A)P(BA)=号×p+5×20 3 21 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 =0.08,解得力=0故选B 8.答案：D 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比 赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为)，则此时连胜两盘 的概率为p甲，则 p甲=2[1-p:)p1p十p:p1(1-p)]+2[1一p:)p1p:+D:p1(1-p2)] =p1(p2十p3)-2p1p2p3； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则 p乙=(1-p1)p2p3十p1p2(1一p3)=p2（p1+p3)一2p1p2p3, 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，则 p丙=（1-p1)p3p2十p1p3（1-p2）=p3（p1十p2)-2p1p2p3, 则p甲-pz=p1(p2十p3)-2p1p2p3-[p2(p1十p3)-2p1p2p3] =(p1一p2)p3<0 p乙一p丙=p2（p1十pa)一2p1p2p3一[p3（p1十p2）一2p1p2p3] =(p2一p3)p1<0 即p甲<p乙，p乙<p丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大。 选项D判断正确：选项BC判断错误；p与该棋手与甲、乙、丙的 比赛次序有关，选项A判断错误.故选：D. 9.答案：ABD .n(2)=24,∴.n(AB)=n(2)-n(AUB)=24-16=8, P)-4石PaU)--9台 n(2) 243 P(AB)=(AB)=8=1 n(Q)一243故A正确，B正确： .n(AB)=4,.AB≠⑦.A与B不互斥，故C错误； Pa)是ra,®是 n(2)243 1、11 P(A)·P(B)=2X3=6 =P(AB), ∴.事件A与B相互独立，故D正确.故选：ABD. 10.答案：AC 对于A,依划意P(A)P(B)日P(AB)=3 P(A)P(B),所以事件A与事件B相互独立，故A正确： 对于B,由题意可知，事件A与事件B有可能同时发生，例如 “甲正面向上且乙正面向上”，故事件A与事件B不是互斥事 件，故B错误； 对于CD,P(C)=1-}x1=3, 224 因为BCC,所以P(BC)=P(B)= 1 1 P(BC) 所以P(BC)= P(C) 3 号故C正确，D错误。 11.答案：AD 由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢n十1局， P)-(合)C1+C++). C8m+C2n+…+Cgn1+Cgn十Cg1+…十C3n=22m, 又C8n十C3n+…+C8.1=Cg1+C+2+…十C2a-1+C0, .Cn+C2n+…+C8n1=Cg+1+C8+2+…+Cg:1+Cg 22n-C2n 2 六"。心日会故心馈误 P0)=2· P0)=名号子故A正0： 1 C11 P(③)=22-32故B错误： P()=2 C 22+1 6) ∴Pa+1)=2- 9+2 2+2, 22m 4C2n 4(2n)1 n！n！ 4(n+1)2 C9+2 C92 (2n+2)！ (2n+2)(2n+1) 22n+2 (n+1)!(n+1)! 2(n+1) 2n+1 >1,. C2n、 22 ,PC)<P+1),即p()单调 递增，故D正确故选：AD. 12.答案：0.28 由表知：甲购买A口罩概率为0.5，乙购买B口罩概率为0.5， 所以甲、乙购买同一种口罩的概率P=0.5×0.3十0.1×0.5十0.4 ×0.2=0.28. 13.答案： 4 P(AB)1 P(A|B)=P(B)=3' 将P(B)= 代人可以求得P(AB)- 2 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 31 将PB)=,PAB)=日，求得PA)=吉 14.答案：5 设A=“取出盒中有张代金券”，k(k=1,2,3,…,n), B=“从盒中依次从中不放回地取出2张卡片，第二次取出无效卡”， 则PA,)一司，P(B1A)”,由全概率公式可得 n(n-1) PB)=2PBA)Pa)-之" 2 -n-1 2n 由题意可得，”≤号解得：m≤5且n>2n∈N, 2n 所以n的最大值为5. 15.(1)A公司过去6个月平均每月的利润率为 10%x音-5%×号-5%×日高 B公司过去6个月平均每月的利润率为 109×号+5%×号-5×号-0 71】 因为20>30，所以A公司过去6个月平均每月的利润率大于 B公司过去6个月平均每月的利润率， (2)A公问过去6个月立利的顿率为告2-名， B公司过去6个月盈利的频率为行2二，门 用频率代替概率，可知A,B两公司未来某个月盈利的概率分别 52 为631 设A,B两公司盈利分别为事件M,N, 由题知M与N相互独立， 所以所求概率为 1-PMN)=1-PM)pN)=1-吉×寸0 16.(1)设小许“第一次命中”为事件B1,“第二次命中”为事件B2, “第三次命中”为事件B3,“小许投篮三次，恰有两次命中”为事 件E,则P(E)=P(B1B2B3)十P(B1B2B3)+P(B1B2B3)= ××+××是+××器 (2)设“小丽命中”为事件A,“小许命中”为事件B,“小静命中” 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 为事件C,“三人投篮，至少一人命中”为事件D,则“三人投篮， 均未命中”为事件D, 所以PD)=(-)×-)×-)0 所以P(D)=1-P(D)=1-60-60 159 所以三人投篮，至少一人命中的概率为 9 601 17.(1)设事件A1表示第一回合该中国队运动员赢球，事件A2表 示第二回合该中国队运动员赢球，事件B表示第二回合比赛有 运动员得分， 由已知，P(A)=至，PA:)=PA)=PA)= P(B|A1)=P(A2),P(B|A1)=P(A2), P(B)=P(A)P(BA)+P(A )P(BA) =P(A1)P(A2)+P(A1)P(A2) =×是+×}-8 即第二回合比赛有运动员得分的概率为 5 (2)设运动员甲先发球， 记事件A,表示第i回合该运动员甲赢球， 记事件A表示运动员甲先得第一分， 则A=A1U(A1A2A3)U(A1A2A3A4A)U…, 则Pa)+侣)+ 所以P(A)>2: 即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于， 则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据 心理上的优势，所以旧制不合理 18.(1)设P(n)为第n回猜拳决出胜利者的概率，考虑3个人猜拳， 每人有3种选择，共27种可能性， 若一回合决出胜利者，则某人出石头且另外2人出剪刀或某人 出剪刀且另外2人出布或某人出布且另外2人出石头，共3×3 =9种可能， 1 所以3个人猜拳一次决出胜利者的概率为27 3 故P1)=子 (2)同理，若3个人猜一次拳淘汰1人，则某人出石头且另外2 人出布或某人出剪刀且另外2人出石头或某人出布且另外2人 出驹刀，概率为了， 则3个人猜拳既无人淘汰且未决出胜利者的概率为写 考虑2个人猜拳，每人有3种选择，共9种可能性， 出拳相同的情况有3种，出拳不同情况有6种，出拳不同必定决 出胜利者，故2个人裤案一次决出胜利省的颗率为号。 当n≥2时，分类讨论如下： 若到第n回合时，仍有3个人猜拳，且在第n回合决出胜利者， 则概率为： 3】 若到第n回合时，有2个人猜拳，且在第n回合决出胜利者， 则在第j(1≤j≤n一1)回合猜拳淘汰1个，概率为： )××)”×是 X3-3, 所以Pn3十∑=1 3 当n=1时 21子病足该式， 31 综上，P(n)= 2n-1 3m(0m∈N), 在第”回猜拳决出胜利者的概率P(n)2”(aC八)。 19.(1)8张完全相同的卡片，3张写有A宇母，3张写有B宇母，2 张写有C字母，由抽取规则可知， 该顾客取到写有B卡片的概率为 P=+×号+×号×+×号××g- (2)①这4条灯谜的位置从第1条到第4条排序，有A=24种 情况， 要摘到最适合的灯谜，有以下两种情况： 最适合的灯谜是第3条，其他的灯谜随意在哪个位置，有A=6 种情况， 最适合的灯谜是最后1条，第二适合的灯谜是第1条或第2条， 其他的灯谜随意在哪个位置，有2A=4种情况 故所求概率为P=6+45 24121 ②记事件A表示最适合的灯谜被摘到，事件B,表示最适合的 灯谜在灯谜中排在第j条， 因为最适合的灯谜出现在各个位置上的概率相等， 所以PB,)=1 以给定所在位置的序号作为条件， PA)=2P(AB,)P(B,)=12PA1B,) n 当1≤j≤k时，最适合的灯谜在前k条灯谜之中，不会被摘到， 此时P(AB,)=0. 当k十1≤j≤n时，最适合的灯谜被摘到，当且仅当前j一1条灯 谜中的最适合的一条在前条灯谜中时， 此时P(AB,)=- k 由全版率公式知PA)上之合去2}n n,j-1njn“ 令函数g)-h兰c>0)u)h经-日 令g'(u)=0.则x=名， 当x∈0，)时g'(x)>0,当x∈(m 时，g'(x)<0, 所以g()在0，)上单调递增，在(n上单调递减。 所以ga)m=日) 所以当为=名时，PA)-冬1n公取得最大值，最大值为， 此时1 即P的最大值为。，此时1的值为。 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页数学一轮复习同步考练（二十二) 古典概型、事件的独立性、条件概率与全概率公式 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列 的概率为 A号 32 1 1 1 D18 2.一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两 次，记与地面接触面上的数字依次为x1,x2,事件A=“x1=3”, 事件B=“x2=6”,事件C=“x1十x2=9”,则 A.AB=C B.A+B=C C.A,B互斥 D.B,C相互独立 3.长时间玩手机可能影响视力.据调查，某校大约有40%的学生近 视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的 近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调 查一名学生，则他近视的概率约为 A.0.375 B.0.425 C.0.325 D.0.45 4.甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概 率是 A号 B.s c 5.某校高二年级小华同学参加了学校“数学社”“物理社”“话剧社” 三个社团的选拔，该同学能否成功进人这三个社团是相互独立 的.假设该同学能够进入“数学社”“物理社”“话剧社”三个社团的 概率分别为m,m,行，小华进人两个社团的概率为品，三个社团 都进不了的概率为行，则m十”= A.12 c D 6.已知红箱内有5个红球和3个白球，白箱内有3个红球和5个白 球，所有小球形状大小完全相同.第一次从红箱内取出一球后再 放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一 球，然后再放回去，依次类推，第k十1次从与第k次取出的球颜 色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第n次取出的球是 白球的概率为Pm,则 91 A.P B.Pn+1=164 P C.Pn-IP.+3 4 .+ D.P+1=4 7.设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产5nm规格的芯片，现 有20块该规格的芯片，其中甲、乙生产的芯片分别为12块、8 块，且乙生产该芯片的次品率为0现从这20块芯片中任取一块 芯片，若取得芯片的次品率为0.08，则甲厂生产该芯片的次品率 为 c ·20 8.某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独 立.已知该棋手与甲、乙、丙此赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且 p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图是一个古典概型的样本空间2及事件A和事件B,其中 n(2)=24,n(A)=12,n(B)=8,n(AUB)=16,则 A.P (AUB)=3 2 BPaB)日 C.事件A与B互斥 D.事件A与B相互独立 10.同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件 A,“乙正面向上”为事件B,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件 C,则下列判断正确的是 A.A与B相互独立 B.A与B互斥 c.p(BIC)=号 DPC)=专 11.甲、乙两人进行2n(n∈N“)局羽毛球比赛（无平局），每局甲获 胜的概率均为)规定：比赛结束时获胜局数多的人赢得比赛记 甲赢得比赛的概率为P(n),假设每局比赛互不影响，则 A.P(1)=4 B.P(3)=16 C.P(n)=1- 22m D,P(n)单调递增 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二十二）·数学·第1页（共2页） 三、填空题 12.甲、乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售 A,B,C三种医用外科口罩，甲、乙购买A,B,C三种医用口罩 的概率分别如表： 购买A种医用口罩购买B种医用口罩购买C种医用口罩 甲 0.1 0.4 乙 0.3 0.2 则甲、乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为 13.设A,B是一个随机试验中的两个事件，若P(B)=亏， 3 P(A1B)=3,PAUB)=子，则PA) 14.某商家为举办抽奖活动，准备了n(n>2,n∈N*)个相同的盒 子，里面均装有n张形状完全相同的卡片，一部分卡片为写有 “谢谢惠顾”的无效卡，另一部分卡片为写有“100元”的代金券， 第k(k=1,2,3,…,n)个盒子中有k张代金券，n一k张无效卡， 现将这些盒子混合，任选1个盒子，并且依次从中不放回地取出 2张卡片，若第二次取出无效卡的概率不超过号，则”的最大值 为 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多.A,B两 家旅游公司过去6个月的利润率统计如下： 利润率 月数 10% 5% -5% 公司 A公司 3 2 1 B公司 2 2 2 利润率= 利润 成本 ×100%,盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变. (1)比较A,B两公司过去6个月平均每月利润率的大小； (2)用频率估计概率，且假设A,B两公司每个月的盈利情况是 相互独立的，求未来的某个月A,B两公司至少有一家盈利 的概率. 16.已知某中学高一某班小丽、小许、小静三人分别独自进行投篮训 练，命中的概率分别是号，是，号设各次投篮都相互独立。 (1)若小许投篮三次，求恰有两次命中的概率； (2)若小丽、小许、小静三人各投篮一次，求至少一人命中的概率， 17.在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项 目，以4金3银2铜的成绩傲视亚洲.在旧制的羽毛球赛中，只 有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争 夺中输球，则双方均不得分.但发球方输掉此回合后，下一回合 改为对方发球」 (1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率 均为：，且各回合相互独立.若第一回合该中国队运动员发球， 求第二回合比赛有运动员得分的概率； (2)羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的 优势，给出以下假设： 假设1：各回合比赛相互独立： 假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲 获胜的概率均为。； 求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧 制是否合理？ 18.三个人猜拳决定胜利者，三个人分别可以出“石头”，“剪刀”， “布”，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，例 如，当一个人出“布”，另两个人出“石头”时，只用一回正好决定 胜利者；当一人出“石头”，另两人出“布”时，则淘汰出“石头”的 人，三人猜拳输的人被淘汰，直到决出一个胜利者为止， (1)求一次猜拳决出胜利者的概率； (2)求在第n回猜拳决出胜利者的概率. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二十二）·数学·第2页（共2页） 19.“踩高跷，猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地为了弘扬 文化传统，发展“地摊经济”，在元宵节举办形式多样的猜灯谜活 动. (1)某商户借“灯谜”活动促销，将灯谜按难易度分为B、C两类，抽 到较易的B类并答对购物打八折优惠，抽到稍难的C类并答对 购物打七折优惠，抽取灯谜规则如下：在一不透明的纸箱中有8 张完全相同的卡片，其中3张写有A字母，3张写有B字母，2 张写有C字母，顾客每次不放回从箱中随机取出1张卡片，若 抽到写有A的卡片，则再抽1次，直至取到写有B或C卡片为 止，求该顾客取到写有B卡片的概率 (2)小明尝试去找全街最适合他的灯谜，规定只能取一次，并且只 可以向前走，不能回头，他在街道上一共会遇到n条灯谜（不妨 设每条灯谜的适合度各不相同)，最适合的灯谜出现在各个位 置上的概率相等，小明准备采用如下策略：不摘前 (1≤k<n)条灯谜，自第k十1条开始，只要发现比他前面见过 的灯谜适合的，就摘这条灯谜，否则就摘最后一条，设k=tn,记 小明摘到那条最适合的灯谜的概率为P. ①若n=4,k=2,求P； ②当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取 最大值时：的值.（原片有十…十占=n会）