21、计数原理与二项式定理-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

21、计数原理与二项式定理 1.答案：A (x一√x)的二项展开式为 T+1=C4x4'(-√)'=C4(-1)x4-,(r=0,1,2,3,4), 令4-7=3，解得r=2,故所求即为C(-1)2=6,故选：A 2.答案：C =3, 先将官、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中，共有3A=36种故选：C. 3.答案：B 因为+2 的辰开式中前三项的系数C:C、C成等差 数列， 所以C心+C=C,即-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍) 所以=项式(+ 展开式的通项为 T,+1=C8x8-r( 三C2令8-2r=4可得r=2 所以x的系数为())C%=7. 4.答案：B 按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中 选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有C号·A=3×2=6种 可能； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选 一个，剩下四人中选取三人进人天和核心舱即可，则有C·C!= 2×4=8种可能； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.故选：B. 5.答案：D 在(a十y)的展开式中，通项公式为T,+1=Cx'y', 故x3y3,xy的系数分别为C%,C, 所以在g)+y)的展开式中y的系数为c一2C=8 6.答案：C 如图所示，在八个顶点中任取三个点为顶 点作三角形，共有C=56个， 而其中不是直角三角形的有△ACB1, △ACD1,△BDA1,△BDC1,△A1C1B, △A1C1D,△B1D1A,△B1D1C,共8个， 故直角三角形的个数为56一8=48. 7.答案：B 因为(2x十1)”=a0十a1x十a2x2+…十anx", 令x=1可得a。十a1十a2十…十am=(2+1)"=243,解得n=5, 令x=0可得a。=1, 可得@++++-2x号+1=32， 1 令x= 8.答案：C 由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面 的涂色 先涂区域1，有7种选择； 再涂区域2，有6种选择。 当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的 区域4有5种选择. 当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择. 故不同的涂色方案有7×6×(5×5+6)=1302种.故选：C 9.答案：ACD 选项A,将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，则有 A号A=48(种)，故A正确； 选项B,要求女生与男生相间排列，采用插空法，先将3名男生进 行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，则有 AA=12(种)，故B错误； 选项C,先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生 所形成的4个空中，则有AA=72(种)，故C正确； 选项D,将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5 个空位中，先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同 学进行全排列，则有A}A4=72(种)，故D正确 10.答案：AC 因为a=C92十C22·2+C%2·22+…十C2器·222=(1+2)2=32， 32=91=(10-1)1=C×101-C×1010+…+C"×10-CH =10(C8,×101°-C1×109+…+C州-1)+9， 所以a除以10所得的余数是9. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 又因为a三b(mod10),所以b除以10所得的余数是9. 而2019=201×10+9,2023=202×10+3,2029=202×10+9， 2033=203×10+3,故选：AC. 11.答案：BCD 在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是C=6,A错： 由二项式系数的性质知C”十C十C%十…十C”=2”,B对； 由于C3+C+Cg+…+C。=C3+C+C+Cg+…+C。-Cg =C十C+C号十…十C。-Cg=C3-Cg=164,故C正确； 取k=2,则C+1-C=C%+1-C%=C=n,因为(n十1)-n=1, 所以数列C+1一C}为公差为1的等差数列，D对. 12.答案：96 从3,4,5,9中选择一个数字放入两个1之间，将其与两个1看 作一个整体，与剩下元素全排列，故不同的密码个数为C】A =96. 13.答案：5 由题展开式酒项公式为T+1=C(行 x',0≤r≤10且r∈Z, 设展开式中第r十1项系数最大，则 c.c 29 4 郎29 33 -33 r≤4' r 又r∈Z,故r=8,所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项 系数为C 3 14.答案：767 f'(x)= 8 -6sin2,f0)=3,则-3×m=-1m=8 故g(x)=(1十x十x2)(1十x)”=(1+x+x2)(1+x)8, 令x=0,可得g(0)=1=ao; 令x=1,得g(1)=ao十a1十a2十…十am+2=3X28. 所以a1十a2+…十an+2=3X28-1=767. 15.(1)方法一（直接法）：至少有一名组长含有两种情况： 有一名组长和两名组长，故共有CC。十C号C。=540种， 方法二（间接法）： 至少有一名组长可以采用排除法，有C2一C。=540种. (2)至多有2名女团员含有四种情况：有2名女团员，有1名女 团员，没有女团员， 故共有C8+CC&+C号C=672种 (3)既要有组长当选，又要有女团员当选含两类情况： 第一类：女组长当选，有C种， 第二类：女组长不当选，男组长当选，有C1。一C种 共有C1+C1。-C=505种. 16.(1)展开式的通项为T,+1=C9·39-r·x‘,故a8=3C98=297. (2)展开式的通项为 Tr+1=C9·39-r·(mx)=C99·39-r·mr·x', ag=C33“m5,a4=C335m,a=19m 4 3 由6<号m<7得8m<器又m∈z知w=1, 取x=1,可知a0十a1十a2十…十a9=49. 17.(1)由于可以随便放，故每个小球都有4种放法，所以放法总数 是：4×4×4×4×4=1024种. (2)因为有5个球，4个盒子，所以四个盒都不空，必然有且只有 一个盒子放2个球， 所以放法共有C号·A=240种. (3)因为恰有一个空盒，所以取出一个盒子有C!种取法， 5个球放入三个盒子可分3,1,1和2,2,1两类方法， 所以共有c·(c+气)600种 18.(1)当m=4,n=5时，f(x)·g(x)=(1+x)4·(1+5.x) 则f(x)g(x)的展开式中含x2的项的系数为： C8·C×52+C·C×5+C·C=356, 所以f(x)g（x)的展开式中含x2的项为356.x2 (2)因为h(x)=f(x)十g(x)=(1十x)m+(1+5x)”, 且h(x)的展开式中含x的项的系数为24， 所以Cm+5C=24,即m=24-5n(其中1≤n≤4，n∈N"). 当n=1时，h(x)的展开式中含x2的项的系数为C=171; 当2n≤4，n∈N*时，h(x)的展开式中含x2的项的系数为： C%+5C=mm-1）+25na-1)=24-5m)23-5m) 2 2 25n(n-1) 2 =25n2-130m+276=25 13 n5 +107(其中1≤ n4,n∈N*) 又因为2- 5 >3- 所以当n=3,m=9时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取得 最小值111； 综上，当n=3,m=9时，h(x)的展开式中含x2的项的系数取 得最小值111. 19.(1)当x=6时，展开式中二项式系数最大的项为第4项， 这项为C 20 2正明：fe)+fe)-(+)广++)月 ≥2+·+-2+·+ >2(+)>2++ ≥2(+)1+)2f"), 因此，对任意的实数x,都有f②)，十f②>f'). 2 (3)对任意的m∈N*且m>1,有 =1-1+》+4-卫 k! +…+m(m-1)…·2·1,1 m! =2+动)++动0--） +六- <2+ 27 m<2+1x2十+h-万 十十 m(m-1) +-++片)++(1s 又因为C· >0=23…,m)故2×+局)<3. 从而有2n<】 (+)<3m, 即存在a=2,使得am<空〔+)<a+1)n成立 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页数学一轮复习同步考练（二十一） 计数原理与二项式定理 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.在(x一√)的展开式中，x3的系数为 A.6 B.-6 C.12 D.-12 2.五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古 乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徽、羽，如果用上这五个音阶， 排成一个五音阶音序，且商、角不相邻，徽位于羽的左侧，则可排 成的不同音序有 A.18种 B.24种 C.36种 D.72种 3若（〔+） 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x4项的系数为 A.6 B.7 C.8 D.9 4.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验 舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实 验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方 案共有 梦天实验舱 ,天和核心舱 问天实验舱 A.8种 B.14种 C.20种 D.116种 5.在 (x十y)°的展开式中，x2y4的系数为 A.-4 B.4 C.-8 D.8 6.从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三 角形的个数为 A.56 B.52 C.48 D.40 7.若(2x十1)”=a0十a1x十a2x2+…十anx”的展开式中的各项系 数和为248.则号+号十…十 an 2n A.32 B.31 C.16 D.15 8.中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要 的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域 分别印有数字1,2,3，…，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要 求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称 的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜 色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有 6 A.1050种 B.1260种 C.1302种 D.1512种 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5 名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是 A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法 B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法 C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法 D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种 排法 10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研 究，设a,b,m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同， 则称a和b对模m同余，记为a三b(modm).如9和21除以6 所得的余数都是3，则记为9=21(mod6).若a=C82十C22·2+ C2·22+…十C强·22，a=b(mod10),则b的值可以是 A.2019 B.2023 C.2029 D.2033 11.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国 南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出 现，比欧洲发现早500年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每 行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和， 例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是 第0行 第1行 第2行 1 第3行 3 第4行 1 46 4 第5行1 510105 。+。。+ 年。。中 A.在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15 B.由“第n行所有数之和为2m”猜想：C”十C,+C%十…十C”=2” C.C号+C+C%+…+C。=164 D.存在k∈N“,使得C+1一C}为等差数列 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二十一）·数学·第1页（共2页） 三、填空题 12.小明设置六位数字的手机密码时，计划将π=3.14159…的前 6位数字3,1,4,1,5,9进行某种排列得到密码.若排列时要求相 同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设置的不 同密码种数为 13.3十2的展开式中，各项系数中的最大值为 14已知函数f(x)=一日x十3c0s2x在x=0处的切线与直线 y=n.x垂直，若(1十x十x2)(1十x)"=a。十a1x十a2x2+…十 an+2x+2,则a1十a2十…十an+2= (用数字作答). 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某班共有团员12人，其中男团员8人，女团员4人，并且男、女 团员各有一名组长，现从中选5人参加学校的团员座谈会. (用数字做答) (1)若至少有1名组长当选，求不同的选法总数； (2)若至多有2名女团员当选，求不同的选法总数； (3)若既要有组长当选，又要有女团员当选，求不同的选法总数. 16.设实数m≠0，对任意给定的实数x,都有(3十m.x)=a。十a1z 十a2x2+…十ag9x99. (1)当m=1时，求ag8的值； (2)若m是整数，且满足6<a<7成立，求a。十a1十a2十…十 ag9的值. 17.五个不同的小球，全部放人编号为1,2,3,4的四个盒子中.回答 下面几个问题（写出必要的算式，并以数字作答）： (1)可以有空盒，但球必须都放入盒中的放法有多少种？ (2)四个盒都不空的放法有多少种？ (3)恰有一个空盒的放法有多少种？ 18.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+5.x)"(m,n∈N*). (1)若m=4,n=5,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项； (2)若h(x)=f(x)十g(x),且h(x)的展开式中含x的项的系 数为24，那么当m,n为何值时，h(x)的展开式中含x2的项 的系数取得最小值？ 2026年伯乐马一轮复习同步考练（二十一）·数学·第2页（共2页） 19设函数fe)-(+)a∈N,且>1x∈N) (1)当x=6时，求1+) 的展开式中二项式系数最大的项； (2)对任意的实数，证明f②)，十f②>f()(f')是 2 f(x)的导函数)： (3)是否存在a∈N,使得an< 空+)<a+1)n恒成 立？若存在，试证明你的结论并求出α的值；若不存在，请 说明理由，