19、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

19、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质 1.答案：A 由题意可得：一0=2，解得a= 1 8 2.答案：C 由题意，设F1(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4), 则F1F2=2c=8,PF1=√62+(4十4)2=10， |PF2|=√62+(4-4)7=6， 则a=PP-1P.=10-6=4,则e器=及-2 3.答案：D :港物线y=4:0>0的熙点（少，0）是销圈动十芳-1的一 个焦点， .3p一p=p2,解得：p=2. 4.答案：A 依题意，设双曲线方程为二-1(a>0,b>0 因为BC=2,则a=1,显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双 曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，双曲线与圆O交于第 33 一象限内的点为（二， 于是()： ② -1，解得公-号 62 所以双曲线的方程为x2 7y=1.故选：A 9 5.答案：C 由已知∠F1MF2=60°，得∠MF2F1=30°， 则tan∠MF,F,=5 3 又在椭圆中通径的长度为MF,=么，F,F,=2c, a b2 MF a3 故tan∠MF,F1=F,Fa-2c3' 即c =”-=1-- 2ac 2c 2a 2e 23' 解得e= 3 6.答案：A 国元+号-1右焦点的4,0 9x1 因点A(x1,y1)在此椭圆上，-5≤x1≤5，y=9一 251 /16 则AF|=√(x1-4)十y所= √2521-8x1+25=5 521, 同理CF=5-522, 而BF= 9 AF+cP-2B那=6-专)+5-专）9专8-- 于是得|AF|+|CF|一2BF|=0台x1十x2=8, 所以“|AF|,BF,CF|成等差数列”是“x1+x2=8”的充要条件. 7.答案：B 以线段AB的中点O为原点，射线OB为 x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如 图，则A(一2,0)，B(2,0),C(3,√3)， 令点E(x,y)为曲线PQ上任意一点， 则EA|-|EB|=2<|AB|, 因此曲线PQ是以点A,B为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支， 其方程为-号=1>0)。 显然点C在曲线PQ含焦点B的区域内， 设M(xn,y0),x≥1，有y=3.x8-3, 修建这两条公路的总费用 W=aMB+2a MC =a√(x0-2)2+y+2a√(xw-3)2+(yw-√5) =a(√(xo-2)2+3.x-3+2√(xo-3)2+(y。-√3)) =a(2a-1+2W(xn-3)2+(yn-√5)) ≥a(2x。-1+2xo-3|)≥a[2x0-1+2(3-xo)]=5a, 当且仅当yo=3,1≤x≤3时取等号， 由yw=√5，且y=3x-3,x≥1解得x。=√2， 即M(√2，√3)时Wmn=5a, 所以修建这两条公路的总费用最低是5a万元. 8.答案：C 由题意可知，画出几何图形如图所示： 由椭圆与抛物线的对称性可知，AB与y轴交于椭圆的另一焦 点F', 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 则|FF'|=2c. 由椭圆定义可知AF'|+|AF|=2a, 且△FAB为正三角形， 所以AP'1=AF1, 则AF1-号，AF1-号 由正三角形性质可知△AF'F为直角三角形 所以(AFI)2+(FF'I)2=|AF|2, 即侣)'+ee)-(g),化简可得3=a, 所以：号 9.答案：ACD 对于A,若m>n>0,则mx2+y=1可化为号+ -=1, m n 因为m>>0,所以<习即由线C表示怎点在y错上的特 圆，故A正确； 对于B,若m=n>0,则mx2+y2=1可化为+y=1 此时曲线C表示圆心在原点，半径为”的圆，故B不正确： 1 对于C若m<0,则m2+w=1可化为号 1y 1 =1,此时曲线 m n C表示双曲线， 由mx2+ny2=0可得y=±， ”1,故C正确； 对于D,若m=0,n>0,则mx2十ny2=1可化为y2= 1 y- ，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确， n 10.答案：ACD 圆柱的底面半径是√2，直径是2√2，所以椭圆的长轴长2a= 2√2 C0s45 =4,a=2,短轴长2b=2√2，b=√2，则c=√a2-b= 厄，离心率：：竖走立适当的坐标系，椭园的方程为号 )=1,椭圆上的点到焦点的距离的最小值是a一c=22 故选ACD. 11.答案：ABD 设曲线上的动点P(ay), 则x>-2且√/(2-2)2十y2×x一a=4, 因为曲线过坐标原点，故√(0-2)2+0×|0一α|=4，解得 a=一2，故A正确. 又曲线方程为W√(x-2)2+y2×x+2=4,而x>一2， 故√/(x-2)+y2×(x+2)=4. 当x=2W2,y=0时，√(2√2-2)×(2W2+2)=8-4=4, 故(2√2,0)在曲线上，故B正确. 由曲线的方程可得y2= 16 (x+2)2 --2)2,取2=3 则y-站而结}-1-酷-60， -49449×4 故此时y2>1, 故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误 当点(x。,yo)在曲线上时， 16 16 由C的分析可得y= (o+2)2-(20-2)2≤ (。+2)2, 故 4 2xw十2Sy≤ 十2故D正确 12.答案：4√2 由y2=4x知抛物线的准线方程为x=一1， 设点P(x0,yo),由题意得2。十1=9，解得xo=8, 代人抛物线方程y2=4x,得y?=32,解得y。=士4√2， 则点P到x轴的距离为4√2. 13.答案：8 因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ= |F,F2,所以四边形PF,QF2为矩形， 设PF1=m,PF2|=n,则m十n=8,m2十n2=48, 所以64=(m十n)2=m2+2mn十n2=48+2mn,mn=8, 即四边形PF1QF2面积等于8. 14.答案：(1,1+√3] 由题意知A,B两点关于原点对称，原点为线段AB的中点，因 为点F为双曲线的右焦点，且满足AF·BF=0,所以△ABF 为直角三角形， 且AO=|OB|=OF|=c,设∠BAF=a, AF |=2c cosa,BF=2csina, 设椭圆的左焦点为F1,连接AF1,BF1, 因为原点为线段FF的中点， 所以四边形AFBF1为矩形，即|AF|=|BF, 所以，由双曲线定义可知，|AF,|-|AF|=|FB|-|AF|= 2a,2c (sina-cosa)=2a. 因为 ≥5，所以am≥。 因为a是镜角，所以a[后，受. 所以e= 1 1 a sina-cosa 2sina-4》 ’2 ∈(1,1+√3] 所以双曲线的离心率e的取值范围是(1,1十√3]. 15.(1)因为椭圆的一个焦点F(0,一1)和短轴的两个顶点 (2,0)与(-2,0). 可得c=1,b=2,即a2=5, 所以半个椭圆的方程为+苦=1,020)： y 圆弧经过椭圆的一个焦点F(0,一1)和短轴的两个顶点 (2,0)与(-2,0)， 设圆弧方程为x2十(y一t)2=r2,(y<0), 利用1-1-小=，=2十7，解得4=号所以r=号 得x2+ 25 所以果方程为号+-1.0≥0)+()- 2 _3-√47 4 (2)由 4,(y≤0) 解得 y= 3-√4T 4 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 得A x=2 0,解得 ly=x 25 3 得B2525 3,3 所以|AB|=√2②5_3+V4） ≈3.31. 、344 16.(1)由题意可设C,的方程为2 -3=入（入≠0）， 降（一432）代人可得，？58=入，解得入2 C的标准方程为 61. y (2设P).则=6官-小： 点P在第一象限，∴x>2,且F1(-√10,0)，F2(√10,0)， PF·PF2=(-√10-x,-y)·(W10-x,-y) =x-10+y2=号-16e(-6,+o1, ∴PF·PF2的取值范围是(-6，十o) 17.(1)设抛物线的方程为y2=2px(p>0). 因为AB=4√3，MO=2,所以点A(2,2√3)在抛物线上， 所以12=4p,故p=3,所以抛物线的方程为y2=6.x. (2)如图，由1归Q小 4 设宜线1：=》 R(1y1),S(2y2),P(x,y), y2=6x, 可得2x2+(6k2-6)2+9k3=0. 4 由△>0，得一1<k<1,且k≠0， 6 x1十x2= 321x2= 分别过点P,S作x轴的垂线与过点R的y轴的垂线交于点 P1,S1 显然PP1∥SS1, 3 RP RP RQ x1十 2 则有 PS x一，同理有，Q PS 22-x 3 x2十 2 RP RQ 3 由 PS QS 可得2一21 x2一x x2+2 3、 6 2x1x2十 2a1+x2)2X9 +2 -3) ×( 整理得x= x1十x2+3 6 2-3+3 9199 3 6 k2 又x= 时y=+ =3k,因-1<k<1,且k≠0， 故有y∈(-3,0)U(0,3) 即点P的轨迹方程为x=2y∈(-3,0)U(0,3). 18.(1)由抛物线C2:y2=一2px(p>0)的焦点为F1(-c,0), 知p=2c, 所以抛物线方程为y2=一4cx,准线方程为x=c, 5 2 因为|PF=3c,所以-xp十c= 3c,得xp= 3c, 所以y=-(-子)，所以-2。 3c, 所以点P的坐标为 2.26 3c,gc点P在椭圆上， 4224c2 4c2,24c2 所以。+6=190+9b=1. 所以4b2c2+24a2c2=9a2b2, 4c2(a2-c2)+24a2c2=9a2(a2-c2), 化简整理得4c4一37a2c2十9a4=0, 所以4e4-37e2+9=0,(e2-9)(4e2-1)=0, 解得e2=9(舍去)，或2 1 所以e=2 2由10知后分则a=26=后c-5 所以椭圆方程 4c 3c21, 因为P的坐标为 2 26 3c,3C ,F1(-c,0), 26 3c0 所以kPF1= 2 -=2√6， 3c+c 所以直线PF1为y=2W6(x十c), y=2√6(x十c) 由 22 8 c2 二1 化简整理得33.x2+64cx十28c2=0, 所以(3x+2c)11x+14c)=0,得x=- 3c,或x=-14 17c, 14 所以xp=一 3c,xq=- 1]c, 2 所以S PF 11 S2 QF xQ一xF1 14 9 lle+c 19.(1)因为点M(1,m)在椭圆上，所以 1 十m2=1, 因为m>0,所以m= 2 因为a=2,b=1,所以c=√a2-b=√3， F(-√3,0)，F263,0), 所以Sam:=号1F,F·n=}×25×- 2-2 (2)如图： 因为点M在椭圆上，所以一2≤x。≤2， 由余弦定理得cos∠F,MF,=|FM+|MF,P-IE,E上 2F,M×MF2 (十3)+y6+(x0-√3)2+y-12 2|F,M×MF2 因为∠F1MF2是钝角， 所以(xo十3)+y+(x。-5)+y-120, 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页 又因为y8=1- ,所以<号解得2，<2 3 3 xw的范围为 2v6 2W6 3 3· M (3)如图： B 设A(x1,y1),B(x2y2), g+y2= 64 由 得(1+4)z2-24 k 25 =0, y=kx 5 4=64k2+ . x1十x2 24k 64 5(4k2+1),21x2= 25(4k2+1)1 3 又y1=k.x1- 后：=x,一号，所以 MA.Mi=(x1,y1-1)·(2y2-1) =(1十k2)x1x2- 8 4 (a,+)+25 -64 =(1+k)25(42+1) 8k 24k 64 55(4k2+1)25 _64[-0+)-362+462+1=0, 25(4k2+1) 即有MA·MB=0为定值.数学一轮复习同步考练（十九） 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及几何性质 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1抛物线x=y的准线方程是y=2,则实数a的值 A. 1 8 B.8 C.8 D.-8 2.已知双曲线的两个焦点分别为(0,4)，(0，一4)，点（一6,4）在该 双曲线上，则该双曲线的离心率为 A.4 B.3 C.2 D.2 物线y4pz>0)的焦点是椭圆3力十力1的 点，则p= A.8 B.4 C.3 D.2 4.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形， 如图2所示，篮球的外轮形状为圆O,将篮球表面的粘合线看成 坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将 圆O的周长八等分，AB=BC=CD=2,视AD所在直线为x 轴，则双曲线的方程为 图1 图2 A.22、7 91 B.2.x2-y2=1 C.22- 9y2 7>1 D.x2一 3y2 4 三1 .已知广、R:为椭离后+ =1(a>b>0)的焦点，M为椭圆上一 点，MF,垂直于x轴，且∠F1MF2=60°，则椭圆的离心率为 A B号 6设Ay),B(,号)C()是右然点为F的稀回写+号 =1上三个不同的点，则“|AF|,|BF|,CF|成等差数列”是 “x1十x2=8”的 A.充要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30° 方向2km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比 到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向 B、C两地转运货物.经测算，从M到B、C两地修建公路的费用 分别是a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路的总费用 最低是 A.(2√7-2)a万元 东 B.5a万元 C.(2√7+1)a万元 D.(2√3+3)a万元 8.已知抛物线2=2py(p>0)的焦点F是稍圆号+=1a>0 >0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若 △FAB是正三角形，则椭圆的离心率为 1 A.2 ®号 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知曲线C:mx2十ny2=1. A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m=n>0,则C是圆，其半径为√n C.若mn<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=士 m D.若m=0,n>0,则C是两条直线 10.如图所示，一个底面半径为√2的圆柱被与其底面成45°角的平 面所截，截面是一个椭圆，则 A.椭圆的长轴长为4 B椭圆的离心率为2 C箱圆的方程可以为+号 =1 D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2一√2 11.设计一条美丽的丝带，其造型可以看作 图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原 点O.且C上的点满足：横坐标大于一2， 到点F(2,0)的距离与到定直线x=a (a<0)的距离之积为4，则 A.a=-2 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十九）·数学·第1页（共2页） B.点(2√2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(y)在C上时，y,≤4 x。十2 三、填空题 12.已知抛物线y2=4x上有一点P到准线的距离为9，那么点P 到x轴的距离为 V- 13.已知F,F为椭圆C:16+年=1的两个焦点，P,Q为C上关 于坐标原点对称的两点，且PQ=F,F2|,则四边形 PF,QF2的面积为 14.过原点的直线与双曲线C:名一1a>0,b>0)相交于A, 点，点F为双曲线的右焦点，且满足A产·BF0,AF √3，则双曲线的离心率e的取值范围是 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返 回舱是宇航员返回地球的座舱.返回舱的轴截面可近似看作是 由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”.如图，在平面直角坐标系 中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点F(0,一1)和短轴的两 个顶点(2,0)与(-2,0). (1)写出图中“果圆”的方程； (2)直线y=x交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确 到0.01). x2 y2 16.已知双曲线C过点(-4,3)且与双曲线C2:2一3=1有 共同的渐近线，F1,F2分别是C1的左、右焦点. (1)求C1的标准方程； (2)设点P是C1上第一象限内的点，求PF·PF2的取值范围. 17.图1为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交 线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径AB=4√5，深度 MO=2,信号处理中心F位于抛物线的焦点处，以顶点O为坐 标原点，以直线OF为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系 xOy. (1)求该抛物线的方程； (2)设Q是该抛物线的准线与x轴的交点，直线1过点Q,且与 地物线交于R,S两点，者线段RS上有一点P,满足S RQ QS ,求点P的轨迹方程， 图2 y2 .E知F(一c0),F,c,0)分别是椭圆C,:十三 (a>0,b>0)的左右焦点，如图，抛物线C2:y2=一2px (p>0)的焦点为F1(一c,0),且与椭圆在第二象限交于点P, |PF,=了c,延长PF,与椭圆交于点Q. (1)求椭圆的离心率； (2)设△PF,F,和△QF,F,的面积分别为S1S,求. S> 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十九）·数学·第2页（共2页） 19.已知箱圆C:车+y=1的左右焦点为F,P:M为椭图C上 一点 (1)若点M的坐标为(1，m)(m>0),求△F,MF2的面积； (2)若点M的坐标为(xo,y),且∠F1MF2是钝角，求横坐标 x。的范围； (3)若点M的坐标为(0,1)，且直线y=kx一5（飞∈R)与椭圆 C交于两个不同的点A,B.求证：MA·MB为定值.