18、直线与圆的方程及位置关系-【伯乐马】2026年高考数学一轮复习同步考练卷

数学一轮复习同步考练（十八） 直线与圆的方程及位置关系 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.曲线f(x)=e一3x在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成 的三角形的面积为 c 1 A.8 b.6 D.3 2.圆x2十y2一2x+6y=0的圆心到直线x一y+2=0的距离为 A.√2 B.2 C.3 D.3√2 3.已知直线Ax十By十C=0与直线y=2x一3垂直，则 A.A=-2B≠0 B.A=2B≠0 C.B=-2A≠0 D.B=2A≠0 4.一条光线从点P(一6,6)出发，经x轴反射后，若反射光线被圆 C:(x一2)2+(y-3)2=1遮挡，则反射光线的斜率可能为 A.言 B.3 C.o n 5.已知b是a,c的等差中项，直线ax十by十c=0与圆x2十y2+ 4y一1=0交于A,B两点，则|AB|的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.2√5 6.如图，设M(x1y1),P(2y2)是圆O: y M x2十y2=8上的两个动点，且M、P点都不 在坐标轴上，点M关于原点的对称点为 M1,点M关于x轴的对称点为M2,若直线 0 PM1,PM2与y轴分别相交于(0，m)和 (0,n),则m·n= A.2 B.4 C.6 D.8 7.已知点M(1,2)是圆C:x2+y2=r2内一点，直线1是以M为中 点的弦所在的直线，直线m的方程为2x一y=r2,那么 A.l⊥m且m与圆C相切 B.l∥m且m与圆C相切 C.l⊥m且m与圆C相离 D.l∥m且m与圆C相离 8.已知⊙M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线1：2x十y+2=0,P为1 上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB,切点为A,B,当 PM·AB最小时，直线AB的方程为 A.2.x-y-1=0 B.2.x+y-1=0 C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.设有一组圆C:(x一k)2+(y一k)2=4(k∈R),下列命题正确的 是 A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆C均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆C有且只有一个 D.所有圆的面积均为4π 10.已知圆C:x2十y2=1,A(4,a),B(4,一a),若圆C上仅存在一 点P使PA⊥PB,则正实数a的取值可以是 A.2 B.3 C.4 D.5 11.已知曲线E:x2十y2一2x一2y=0,则 A.曲线E围成图形面积为8十4π B.曲线E的长度为4√2元 C.曲线E上任意一点到原点的最小距离为2 D.曲线E上任意两点间最大距离4√2 三、填空题 12.“蒙旦圆”涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为： 椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆 上，该圆称为原椭圆的蒙日圆.若椭圆C:+y2=1(a>1)的离 心率为号，则该稍圆的发日圆方程为 13.写出与圆x2+y2=1和(x一3)2+(y一4)2=16都相切的一条 直线的方程 14.在△ABC中，B(1,4),C(6,3),∠BAC的平分线所在的直线方 程为x一y+1=0,则△ABC的面积为 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十八）·数学·第1页（共2页） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y一8=0，Q为它们 的交点，点P(0,4)为平面内一点.求： (1)过点P且与l1平行的直线方程； (2)过Q点的直线，且P到它的距离为2的直线方程 16.已知圆C的圆心坐标为C(3,0),且该圆经过点A(0,4). (1)求圆C的标准方程； (2)直线n交圆C于M,N两点（点M,N异于A点），若直线 AM,AN的斜率之积为2，求证：直线n过一个定点，并求出 该定点坐标. 17.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4,直线11过定点A(1,0). (1)若11与圆相切，求11的方程； (2)若11与圆相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M,又11与 I2:x+2y+2=0的交点为N,求证：AM·AN为定值. 18.已知点A(3,0),B(6,0),动点P(x,y)满足|PB|=2|PA|, 记P的轨迹为曲线T. (1)求下的方程，并说明T是什么曲线； (2)设直线I:x=一1与x轴的交点为M,过M的两条直线I1, I2都不垂直于y轴，11与T交于点A,B,l2与T交于点C, D,直线AC,BD与I分别交于E,G两点，证明：ME= MG. 2026年伯乐马一轮复习同步考练（十八）·数学·第2页（共2页） 19.已知圆O:x2十y2=4,直线11：x=m,直线12：y=x十b和圆交 于A,B两点，过A,B分别做直线I1的垂线，垂足为C,D (1)求实数b的取值范围； (2)若m=一4，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数 b的值； (3)若直线AD和直线BC交于点E,问是否存在实数m,使得 点E在一条平行于x轴的直线上？若存在，求出实数m的 值；若不存在，请说明理由.18、直线与圆的方程及位置关系 1.答案：C 由f(x)=e-3x,得f'(x)=e-3,则f(0)=1,f'(0)=-2, 所以曲线f(x)=e一3x在点(0，f(0))处的切线方程为y= 2x十1.令y=0,得c三号，令x=0,得y=1,故该切线与两塑 标轴所围成的三角形的面积为？×号×1-子 4 2.答案：D 由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+(0y+3)2=10, 其圆心坐标为(1，一3)，则圆心到直线x一y十2=0的距离为 11-(-3)+2=32. √12+(-1)2 3答案：D 直线y=2x一3的斜率为2，又两直线互相垂直，所以直线 Ax+By十C=0的斜率为-2，即一合-2且A≠0，B≠0，所 以B=2A≠0. 4.答案：C 点P关于x轴的对称点为（一6，一6），设反射光线的斜率为k, 直线方程为y十6=k(x十6)，整理为x一y十6k一6=0， 当反射光线与圆C相交时2水3十6k-6解得之k号 √2+1 可得反射光线的斜率的取值范围为 204 2'3月 5.答案：C 因为a,b,c成等差数列，所以2b=a十c,c=2b一a, 代人直线方程a.x十by十c=0得ax十by十2b-a=0, 得1 即a(-1)+b0+2)=0,令-1= y+2=0可{y=-2 故直线恒过(1，一2)，设P(1,一2)， 圆化为标准方程得：C:x2+(y+2)2=5, 设圆心为C,画出直线与圆的图形， 由图可知，当PC⊥AB时，AB最小， |PC=1,AC=r=√5，此时 |AB|=2AP|=2w√AC-PC=2√/5-1=4. 6.答案：D 依题意，x十y=8,x2十y=8, 显然M1(-x1,-y1),M2(x1,一y1), PM的方程为y+y=心十 y2十y1x2+x1 令x=0,得m=2心y:一x2y x2十x1 PM2的方程为 y+y1=x—1 2+y1x2一x1 M 令x=0,得n=—11y,-xy1 22一21 所以m·n= xiyi-xiyi_(8-xi)-zi(8-i)-8. xi-xi x台一x1 7.答案：C 由点M(1,2)是圆C:x2+y2=r2内一点得r2>5. 所以圆心C(00)到直线m:2x-y=r的距离为d=三 5r2 =r,故直线m与圆C相离. 因为直线CM的斜率为。-2，丽直线/是以M为中点的弦所 在的直线，故直线CM⊥l. 又直线m的斜率也是2，所以CM∥m,所以I⊥m,故选C. 8.答案：D 圆的方程可化为(x一1)2+(y一1)2=4，点M到直线1的距离为 4=2X1+1+2-5>2,所以直线1与圆相离. √22+12 依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP,所以 IPM·|AB=4S△Mw=4X2×|PA|X|AM=4|PA, 而|PA|=√TMP-4,当直线MP⊥l时，|MP|mn=√5， |PA|m=1,此时|PM·|AB|最小. MPy-1=e-1)即y2+2 1 由y三2干2解得，二1 y=0 2x+y+2=0 所以以MP为直径的圆的方程为(x-1)(x+1)+y(y-1)=0, 即x2+y2-y-1=0, 两圆的方程相减可得：2x十y十1=0，即为直线AB的方程。 9.答案：ABD A选项，圆心为(k,k),一定在直线y=x上，A正确； B选项，将(3,0)代入得2b2一6k+5=0,其中△=-4<0，方程 无解，即所有圆C均不经过点(3,0)，B正确： C选项，将(2,2)代人得k2-4k+2=0,其中△=16-8=8>0，故 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第1页 经过点(2,2)的圆C有两个，C错误； 所有圆的半径均为2，面积均为4π，D正确.故选ABD. 10.答案：BD 若圆C上仅存在一点P使PA⊥PB,则以AB为直径的圆与圆 C相内切或外切， 由A(4,a),B(4,一a),则以AB为直径的圆的圆心为(4,0)，半 径为a>0, 则有√(0-4)+(0-0)产=1十a或√(0-4)+0-0)=|1-a|, 分别解得a=3或a=5,故a=3或a=5, 故B、D正确，A、C错误 11.答案：ABD 当x>0,y>0时，曲线E:(x-1)2+(y-1)2=2; 当x>0,y<0时，曲线E:(x-1)2+(y+1)2=2; 当x<0,y>0时，曲线E:(x+1)2十（y-1)2=2; 当x<0,y<0时，曲线E:(x+1)2+（y+1)2=2; 当x=0,y=0时，曲线E为原点. 画出曲线E的图形，如图所示。 对于A,曲线E围成的面积可分割为一个边长为2√2的正方形 和四个半径为√2的半圆， 故面积为2√2×2√2+2π×（√2）=8+4π，故A正确； 对于B,曲线E由四个半径为√2的半圆组成，故周长为2×2π× √2=4√2π，故B正确； 对于C,如图所示，因为原点在曲线E上，所以最小值为0，故C 错误； 对于D,如图所示，曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时， 距离最大，最大为4√2.故D正确， 12.答案：x2十y2=3 由精圆C若+y-1o>1)的离心率为号 的学，得a √a 2 解得a=2, 椭圆C:2+y2=1在顶点(W2,0),(0,1)处的切线分别为 x=√2，y=1,它们交于点(W2,1), 显然点（√2,1）在椭圆C的蒙日圆x2十y2=r2上， 因此r2=(√2)2+12=3， 所以椭圆C的蒙日圆方程为x2+y2=3. 1以答案y=一子+或y名4或x=1 圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1， 圆(x一3)2+(y一4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4， 两圆圆心距为√32十4=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图，当切线为时， 因为k0=3,所以k,= n 4 设方程为y=一 4x十t(t>0) 0,(3,4) O到l的距离d= la 三1 9 1+6 解得t=4: 所以1的方程为y=一32 5 4x+4 当切线为m时，设直线方程为kx+y十p=0,其中p>0,k<0, p 二1 7 √1+k k= 24 725 由题意 |3k+4+b=4 解得 5y=24024 √1+k p= 24 当切线为n时，易知切线方程为x=一1， 故答案为：y=一 +或y= 3 5 25 242-24 或x=一1. 4 14.答案：8 设B(1,4)关于直线x-y+1=0的对称点为B'(a,b), 「a+1b+ 4+1=0, 2 2 由题意得 解得3， 所以B'(3,2), b-4 b=2, la-1 =-1, 所以CB'的直线方程为x一3y+3=0. 联 ,解得0， =1,所以A0,1). 所以|AC|=√(6-0)+(3-1)严=2√10. 点B到直线AC的距离d=1-3×4+31.8 √1+(-3)F√/101 所以△ABC的面积为S=×AC×d=8 15.(1)直线11：x一2y+3=0的斜率为k1= 2故过点P(0,4)且 与l1平行的直线方程为x一2y+8=0. (2)联立直线1,2的方程-2y十3=0 2x+3y-8=0 解得1 2 即Q(1,2). 当所求直线的斜率不存在时，其方程为x=1,不符合题意； 当所求直线的斜率存在时，设其方程为y一2=k(x一1)，即 红-y十2-6=0，则是-2，解得6=0或 4 √2+1 综上所述，满足条件的直线方程为y=2或4x一3y十2=0. 16.(1)设圆的标准方程为(x一3)2+y2=r2, 把A(0,4)代人得r=5, 故圆的标准方程为(x-3)2十y2=25. (2)当直线n斜率不存在时，设M(a,b),N(a,一b), :直线AM,AN的斜率之积为2，A(0,4), :6二4.-b-4=2,a≠0，即6=16-2a2a≠0， a a .点M(a,b)在圆上，∴.(a-3)2+b2=25, 联立 b2=16-2a2,a=0 10-32+62=256=士4舍去 IN 当直线n斜率存在时， 设直线n:y=k.x十t,M(x1,kx1十t),N(x2,k.x2十t), EAM·kAN kx1十t-4.kx十t-4=2 →(k2-2)x1x2十k(t-4)(x1十x2)+(t-4)2=0① 联立方程} y=kx十t a-3)+y=25>(k+1)x+(2t-6)x+2-16=0, (2kt-6) t2-16 ∴.x1十x2= 1+k2 ,x1x=1+620 代人①，得 (k2-2)(t-16)+(kt-4k)(-2kt+6)+(t-4)2(1+k2)=0, 化简得k=合十2或1=4， 若t=4,则直线n过(0,4)，与题设矛盾，舍. 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第2页 ∴直线n的方程为：y ∴（哈+1）+2x-y=0, +1=0且2x-y=0, …6 x=-6,y=-12. .过定点(-6，-12). 17.(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x=1,符合题意. ②若直线11斜率存在， 设直线11为y=k(x一1)，即kx一y一k=0. 由题意知，圆心(3,4)到已知直线11的距离等于半径2， 即1304二1-2解得太=子 √R2+1 所求直线方程是x=1或3x一4y一3=0. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0， 可设直线方程为k.x一y一k=0. 由/+2y+2=0 xy-6=0得N-2 3k 2+1’2k十)， [y=k.x一k 又直线CM与l1垂直，由 -4=1 (x-3) 2+4k+34k2+2k 得M( 1+k ’1+k2), 所以AMAN=w-0,1+y 2 1+ =yM·yN k2+1 4k2+2 = 1+k 2.( 3k 2k+1 出=6为定直 18.(1)设P(x,y), |PB=√(x-6)2+y2,PA|=W(x-3)+y2, 因为|PB|=2|PA|,所以√x-6)+y=2√(x-3)+y, 化简得：(x-6)2+y2=4[(x-3)2+y2],(x-2)2+y2=4. 所以曲线T的方程为(x一2)2十y2=4, Γ是以点(2,0)为圆心，半径为2的圆. (2)直线1与x轴的交点为M(-1,0),设A(x1y1), B(2,y2),C(x3y3),D(4,y4),E(-1,s),G(-1,t). 设直线l1:x=k1y-1,l2:x=k2y-1,k1≠k2,k1k2≠0， 则x1=k1y1-1,x2=k1y2-1,x3=k2y3一1，x4=k2y4-1. 联立直线1和曲线Γ的方程，得方程组{ x=k1y-1 (x-2)2+y2=41 消去x得(1+)y2-6k1y+5=0, 6k1 5 则y十2=1十1y2=1+k 6k2 5 同理y:十y4=1十yy4=1+ A,C,E三点共线，EA∥EC, .(x1+1)(y3-s)=(x3+1)(y1-s), 得.x1y3-x3y1十(y3一y1)=s(1一x3), s=@十1)y：-(十1)y_1y1y-kyy_(k,-k2)yMy (x1+1)-(x3+1) k1y1一k2y3 k1y1一k2y3 同理t=k,一)yy k1y2一k2y4 :s十t= (k1-k2)y1y3+(k,-k2)yy k1y1-k2y3 k1y2-k2y =(k1-k2) y1y3+ k1y1-k2y3k1y2一k2y4 =(,-)y-:y)十yy,使当-) (k1y1-k2y3)(k1y2-k2y4) (k1一k2) 1y1-2)(k1:-)k11::十y)-k:yy:(0+y2)] -×g×华一××) (k1一k2) 5 5 =0, .ME=MG. 19.(1)圆O的半径为2，因为直线12和圆O交于A,B两点， 所以圆心到直线1，的距离d=b<2, √2 解得一2√2<b<2√2， 则实数b的取值范围为一2√2<b<2√2； (2)设A(x1y1),B(x2y2),则C(-4,y1),D(-4,y2), 由x十6得2x2+26r+6-4=0. x2+y2=4 b2-4 新以x1十x2=一b,x1x2= 2y1-y2=21-x2, 则|y1-y2|=√(x1-x2)7=√(a1十x2)-42x1x2=√8-b, 因为四边形ABDC为直角梯形， 所以四边形ABDC的面积S=2(AC|+|DB)|-y c,+4+x:+4)l1-y=28-6)(8-b), 1 令fb)=(8-b2)(8-b)2(-22<b<2√2)， f'(b)=4(8-b)(b2-4b-4),令f'(b)=0,解得b=2-22, 当-2√2<b<2-2√2时，f'(b)>0,f(b)单调递增， 当2-2W2<b<22时，f'(b)<0,f(b)单调递减， 所以当b=2一2√2时四边形ABDC的面积最大， 且最大值为(6+2√2)W22-1; (3)A(x1y1),B(2y2),则C(m,y),D(m,y2),且直线 AD、BC的斜率存在， 由(2》x1+x:=-b21x,62y1=1+6,y:=,十b, b2-4 直线AD六之只直线C头，” yi-y2 x1-m 联立得y=y十2y,-my,一my2 x1+x2-2m (x2十b)(x1一m)十(x1十b)(x2一m) x1十x2一2m =2x2x1+(十x2)(6-m)-2bm=b2-4-b(b-m)-2bm x1十x2-2m -b-2m om+4 b+2m 若m十4为常数，则m十4=k6十2m),其中为常数， 6+2m 可得作二m ,解得=士2， 4=2mk 所以当m=士√2时点E在一条平行于x轴的直线上. B 2026年伯乐马一轮复习同步考练·数学答案·第3页