第十二章 全等三角形 冲刺学案（知识体系+考情分析+知识点精讲+解题方法技巧+真题精练） 2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十二章全等三角形 一、 全等三角形知识体系 2 二、 中考考情分析 3  高频考点​ 3  命题趋势 4  分值分析 5  考生备考建议 5 三、 知识点精讲​ 6  全等三角形的定义与性质 6  全等三角形的判定定理 7  全等三角形的常见模型 9  全等三角形的实际应用 11  （五）易错点总结 12 四、 解题方法技巧 14  全等三角形判定方法选择技巧 14  全等三角形辅助线添加技巧 14  全等三角形模型解题技巧 15  实际应用题解题技巧 16 五、 真题精练 17 全等三角形知识体系 中考考情分析 · 高频考点​ 全等三角形的性质与判定：★★★★★ 近3年全国中考覆盖率达100%，是几何证明的核心基础。判定定理中，SAS、ASA、AAS考查频次最高（占判定类题目80%），常结合“公共边、公共角、对顶角”等隐含条件出题；直角三角形的HL判定单独考查占比约30%，多与直角三角形其他性质（如斜边上的中线）结合。性质应用集中在“利用对应边/角相等推导线段或角的数量关系”，常作为几何综合题的中间步骤。 全等三角形的模型应用：★★★★☆ 平移、翻折、旋转三大基础模型占比超60%，其中“一线三垂直”“手拉手”（旋转型）是高频模型（2024-2025年中考出现频次提升至45%）。如“平面直角坐标系中，等腰直角三角形旋转后证明全等”“一线三垂直模型求点坐标”，需熟练掌握模型的“对应边、对应角”特征。 全等三角形与实际应用：★★★★ 近3年中考中，“测量距离”类应用题占比约35%，典型场景包括“利用全等测池塘宽度”“测山高或树高（通过影子构建全等三角形）”；“几何作图”类题目（如“用尺规作一个三角形与已知三角形全等”）占比约25%，需掌握基本尺规作图步骤（作线段、作角、作垂直平分线）。 全等三角形与其他几何知识综合：★★★★ 常与“平行线性质”“角平分线性质”“垂直平分线性质”“等腰/等边三角形”综合考查，占几何综合题的60%以上。如“利用角平分线+AAS证明全等，再结合等腰三角形性质求角度”“通过全等证明线段垂直平分，进而推导线段相等”，2025年部分地区还出现“全等与圆（如证明切线时用全等推垂直）”的综合题。 · 命题趋势 0. 题型更注重“小综合” 单一考查“判定定理辨析”的基础题占比下降（从2023年的40%降至2025年的25%），“判定+性质+模型”的小综合题成为主流。例如：先根据图形特征选择判定定理证明全等，再利用全等性质求线段长度或角度，最后结合模型推导后续结论，体现“一步证全等，多步用结论”的命题逻辑。 0. 背景贴近生活与跨学科 应用题背景从传统“测量距离”向“科技场景”拓展，2025年某省中考出现“无人机航拍中，通过全等三角形计算建筑物高度”；跨学科结合题增多，如“物理光学（光的反射）中，利用全等证明入射角等于反射角”“历史文化（古建筑修复）中，用全等复刻构件尺寸”，要求学生从实际场景中抽象几何模型。 0. 核心模型难度升级 基础模型向“复合模型”演变，如“旋转型+一线三垂直”“翻折型+角平分线”的结合，2025年江苏中考压轴题出现“含30°角的直角三角形旋转后，结合HL与AAS证明两次全等”；同时增加“动态全等”题（如“点在线段上运动，判断不同位置下三角形是否全等”），考查分类讨论思想。 0. 开放性与探究性增强 2025年多地中考出现“条件开放题”（如“给出△ABC，添加一个条件使△ABC≌△DEF，写出3种不同条件”）和“探究性题”（如“探究当点P在什么位置时，△PAB≌△PCD，分情况讨论”），这类题目占分3-4分，区分度明显，重点考查逆向思维与逻辑严谨性。 · 分值分析 选择题/填空题（3-4分/题）：主要考查“全等判定定理辨析”“性质的简单应用”“基础模型识别”，近3年通常1-2道，累计占分3-8分。 解答题（6-10分/题）：分为“基础证明题”（6-7分）和“综合应用题”（8-10分）。基础题多为“证明两个三角形全等，推导1-2个结论”；综合题常与其他几何知识结合，如“全等+等腰三角形+几何作图”，部分地区在压轴题中涉及“全等与二次函数（如坐标系中动态全等求参数）”，全章总分值稳定在12-18分，占中考数学总分的10%-15%，2025年浙江、广东等教育发达地区分值提升至15-20分。 · 考生备考建议 0. 夯实基础：吃透性质与判定 牢记5个判定定理的“适用场景”：SSS多用于“已知三边”或“通过作辅助线构造三边相等”；SAS需注意“夹角”（非夹角则为SSA，不成立）；ASA/AAS优先用于“已知两角”；HL仅适用于直角三角形。 每周练习15道基础判定题，重点训练“快速找对应边/角”的能力（可通过标记“对应顶点字母”辅助，如△ABC≌△DEF，则A↔D、B↔E、C↔F）。 0. 突破模型：总结特征与辅助线 分类整理4大核心模型的“图形特征”“对应关系”“常用辅助线”：如旋转型模型常作“连接对应点”的辅助线，一线三垂直模型需构造“直角三角形”； 针对“复合模型”，通过“拆解图形”训练（如将“旋转+一线三垂直”拆分为“旋转型全等”和“垂直构造直角”两步），避免被复杂图形干扰。 0. 强化应用：掌握建模与作图 针对“测量距离”应用题，总结“建模三步法”：①确定需测的未知量（如池塘宽度AB）；②构造全等三角形（如在岸边找C、D，使△ABC≌△DEC）；③测量可测线段（如DE的长度，即AB的长度）； 熟练掌握“作全等三角形”的尺规步骤：作一条线段等于已知线段→作一个角等于已知角→连接线段，确保作图痕迹清晰。 0. 攻克综合：训练逻辑与分类 基础薄弱学生优先掌握“全等+角平分线/垂直平分线”的中档题，重点练习“从结论倒推条件”（如“要证AB=CD，可先证△ABC≌△DCB”）； 中等及以上学生需突破“动态全等”与“压轴综合题”，重点训练“分类讨论”（如点运动到不同位置时，对应边/角的变化）和“多步证明逻辑”（如“先证一次全等得边相等，再证二次全等得角相等”）。 0. 重视错题：规避典型错误 建立“全等三角形错题本”，按“判定错误（如SSA误用）、对应关系错误（如混淆AB与DE的对应性）、隐含条件遗漏（如忽略公共角）”分类； 定期复盘错题，总结“避坑技巧”：如判定前先标记对应顶点、证明时先写“已知条件”再找“隐含条件”，避免重复犯错。 1. 知识点精讲​ · 全等三角形的定义与性质 0. 定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 注意：对应关系由“全等符号”决定，如△ABC≌△DEF，说明A对应D、B对应E、C对应F，不可随意调换顺序（若写△ABC≌△DFE，则对应关系改变）。 0. 性质 性质类别 具体内容 示例 对应元素相等 对应边相等、对应角相等 若△ABC≌△DEF，则AB=DE，∠A=∠D 对应线段相等 对应中线、对应高线、对应角平分线相等 若AD、DG分别是△ABC、△DEF的中线，则AD=DG 整体数量相等 周长相等、面积相等 若△ABC≌△DEF，则C△ABC=C△DEF，S△ABC=S△DEF 示例：已知△ABC≌△A'B'C'，AB=5cm，∠B=60°，A'C'=4cm，则A'B'=，∠B'=，AC=______。 解析：由对应关系，AB对应A'B'，∠B对应∠B'，AC对应A'C'，故A'B'=5cm，∠B'=60°，AC=4cm。 · 全等三角形的判定定理 0. 通用判定定理（适用于所有三角形） 判定定理 文字表述 图形示意 注意事项 SSS（边边边） 三边对应相等的两个三角形全等 若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则△ABC≌△DEF 可用于证明线段垂直（如通过SSS证全等，再推夹角为90°） SAS（边角边） 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF 必须是“两边的夹角”，非夹角则为SSA，不成立（反例：腰为5，底边为6的等腰三角形与腰为5，非夹角为60°的三角形不全等） ASA（角边角） 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 若∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，则△ABC≌△DEF 夹边是“两个角的公共边”，可快速确定对应关系 AAS（角角边） 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 若∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF AAS可由ASA推导（三角形内角和为180°，已知两角则第三角确定，转化为ASA） 0. 特殊判定定理（仅适用于直角三角形） HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 文字表述：若Rt△ABC中∠C=90°，Rt△DEF中∠F=90°，且AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC≌Rt△DEF。 注意：HL是直角三角形特有的判定方法，非直角三角形不可用；若用通用定理，直角三角形也可通过SAS、ASA等判定（如两条直角边对应相等，用SAS）。 0. 判定定理辨析（易混点对比） 易混情况 正确判定 错误判定 原因 两边及一边的对角 不可判定（SSA） 误用SAS SAS要求“夹角”，对角不满足“夹”的条件，存在不全等的反例 直角三角形判定 HL（斜边+直角边）或SAS（两直角边） 误用SSA（直角边+斜边的对角） 直角三角形中，斜边的对角是直角（固定90°），但“直角边+直角”仍需看对应关系，不可直接用SSA 三个角对应相等 不可判定（AAA） 误用SSS AAA只能判定三角形“相似”，不能判定“全等”（如两个大小不同的等边三角形，三角相等但边不等） · 全等三角形的常见模型 0. 平移型 图形特征：两个三角形沿某一直线平移，对应边平行或在同一直线上，对应角相等，无公共边或公共角。 对应关系：平移方向上的边为对应边（如水平平移时，水平边对应，竖直边对应）。 示例：如图，△ABC沿BC方向平移至△DEF，若BC=5，CF=2，则BE=，DE=。 解析：平移后BE=CF=2，DE=AB（对应边相等）。 A F B C D E 0. 翻折型 图形特征：两个三角形关于某条直线（对称轴）对称，有公共边或公共角（对称轴两侧的边/角）。 对应关系：公共边为对应边，公共角为对应角，对称轴是对应点连线的垂直平分线。 示例：如图，△ABC沿AB翻折至△ABD，若∠C=80°，BC=3，则∠D=，BD=。 解析：翻折后∠D=∠C=80°，BD=BC=3。 0. 旋转型 图形特征：两个三角形有公共顶点（旋转中心），对应边绕旋转中心旋转相同角度，对应边夹角等于旋转角。 典型子模型：手拉手模型（如等腰△ABC和等腰△ADE，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，旋转后△BAD≌△CAE）。 示例：如图，△ABC绕点A旋转60°至△ADE，若AB=4，∠B=30°，则AE=，∠D=。 解析：旋转后AD=AB=4，∠D=∠B=30°。 0. 一线三垂直型 图形特征：三条直线中有一条直线（水平线或竖直线）上有三个直角顶点，两个直角三角形的直角边分别垂直于这条直线，形成“K”型结构。 判定关键：利用“同角的余角相等”推导一组锐角相等，再结合“直角相等”和“一组边相等”（如直角边或斜边），用AAS或ASA判定全等。 示例：如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，CD⊥x轴于D，AB=CD，求证△AOB≌△COD。 证明：∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，∴∠ABO=∠CDO=90°（直角相等）；又∵∠AOB=∠COD（对顶角相等），AB=CD，∴△AOB≌△COD（AAS）。 · 全等三角形的实际应用 0. 测量不可直接测的距离 核心思路：构造全等三角形，将“不可直接测的线段”转化为“可直接测的线段”（对应边相等）。 常见场景：测池塘宽度 步骤：①在池塘外选一点O，连接AO并延长至C，使OC=OA；②连接BO并延长至D，使OD=OB；③测量CD的长度，即为池塘宽度AB。 原理：在△AOB和△COD中，OA=OC，∠AOB=∠COD（对顶角相等），OB=OD，∴△AOB≌△COD（SAS），故AB=CD。 0. 几何作图：作全等三角形 尺规作图要求：保留作图痕迹，写出作法。 示例：作△DEF≌△ABC 作法：①作线段DE=AB；②以D为顶点，DE为一边作∠EDF=∠A；③在射线DF上截取DF=AC；④连接EF，△DEF即为所求。 依据：SAS判定定理（DE=AB，∠EDF=∠A，DF=AC）。 · （五）易错点总结 0. 对应关系混淆 错误示例：已知△ABC≌△DEF，误将BC对应DF（正确应为BC对应EF）。 避坑技巧：标记全等符号时，严格对应顶点（如△ABC≌△DEF，则A→D、B→E、C→F），对应边为“对应顶点连线”（AB→DE，BC→EF，AC→DF）。 0. 误用SSA或AAA判定 错误示例：在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，误判全等（SSA）；或∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，误判全等（AAA）。 避坑技巧：牢记“5个有效判定定理”，非SSS、SAS、ASA、AAS、HL的情况均不可判定，遇到SSA或AAA直接排除。 0. 忽略隐含条件 错误示例：证明△ABC≌△DCB时，只找AB=DC，BC=CB，忽略∠ABC=∠DCB（需结合平行线或其他条件推导）。 避坑技巧：审题时标记“公共边（如BC=CB）、公共角（如∠A=∠A）、对顶角（如∠AOB=∠COD）”，这些均为“天然的对应相等条件”。 0. 直角三角形判定遗漏HL或误用 错误示例：Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=EF，误判用SAS（正确可用HL或SAS，但若AB=DE，BC=EF，则需用HL）。 避坑技巧：直角三角形判定时，优先看“是否有斜边”，若已知斜边和直角边，用HL；若已知两条直角边，用SAS；若已知直角和一边一角，用ASA或AAS。 1. 解题方法技巧 · 全等三角形判定方法选择技巧 0. 已知“三边”或“可推导三边相等”：优先用SSS 适用场景：题干给出三边长度，或通过“中点”“线段和差”推导三边相等（如“E是AC中点，AE=EC”）。 0. 已知“两边及一角”：先判断角是否为“夹角”，是则用SAS，否则不可判定 关键步骤：①确定已知的“角”是否在“两边之间”（即夹角）；②若角是两边的夹角，直接用SAS；若角是一边的对角（SSA），则需额外验证（如直角三角形可转HL）。 0. 已知“两角及一边”：角为夹边用ASA，角为对边用AAS（可互换，优先选夹边） 选择技巧：若已知的“边”是两个角的公共边（夹边），用ASA更直接；若边是其中一个角的对边，用AAS。 0. 已知“直角三角形”：优先看是否有“斜边+直角边”，是则用HL，否则用通用定理 区分技巧：①若已知“斜边”和一条“直角边”，直接用HL；②若已知两条“直角边”，用SAS；③若已知“直角+一角+一边”，用ASA或AAS。 · 全等三角形辅助线添加技巧 0. 遇“中点”或“中线”：倍长中线法（构造SAS全等） 适用场景：题干中出现“中线”（如AD是△ABC的中线，BD=DC），需证明线段或角相等。 辅助线作法：延长中线至点E，使DE=AD，连接BE（或CE），构造△ADC≌△EDB（SAS）。 0. 遇“角平分线”：截长补短法（构造SAS或ASA全等） 截长法：在角的两边截取相等线段，构造全等（如在AB上截取AE=AC，使△AED≌△ACD）； 补短法：延长角的一边至某点，使延长部分等于另一边，构造全等（如延长AC至F，使CF=CB，使△CFB≌△CBE）。 0. 遇“线段和差”：构造全等转化线段（如“AB=CD+EF”，可在AB上截取AG=CD，证GB=EF） · 全等三角形模型解题技巧 0. 平移型模型：找“平行关系”推对应角相等 解题关键：利用“两直线平行，同位角/内错角相等”推导一组对应角，再结合已知边相等，用SAS或ASA判定。 0. 翻折型模型：找“对称轴”推公共边/角 解题关键：对称轴是对应点连线的垂直平分线，公共边为对应边，公共角为对应角，优先用SAS或ASA判定。 0. 旋转型模型（手拉手）：找“旋转角”推夹角相等 解题关键：旋转角=对应边的夹角（如△ABC绕A旋转至△ADE，∠BAD=∠CAE=旋转角），优先用SAS判定（两边及夹角相等）。 0. 一线三垂直模型：用“同角的余角相等”推锐角相等 解题关键：三个直角顶点在同一直线上，两个直角三角形的锐角分别与中间角互余，故锐角相等，再结合直角边相等，用AAS判定。 · 实际应用题解题技巧 0. 测量距离：“构造全等三步法” 步骤1：确定“目标线段”（如池塘宽度AB，不可直接测）； 步骤2：设计“全等三角形”（如在岸边选O点，使AO=OC，BO=OD，构造△AOB≌△COD）； 步骤3：测量“可测线段”（如CD的长度，即为AB的长度），并验证全等条件（如对顶角相等、公共边相等）。 0. 几何作图：“按判定定理分步作” 作△DEF≌△ABC（已知△ABC），按SSS步骤： ①作线段DE=AB（用圆规截取）； ②以D为圆心，AC长为半径画弧； ③以E为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于F； ④连接DF、EF，△DEF即为所求。 关键：保留作图痕迹（弧、线段端点），标注对应边。 1. 真题精练 1． 【2025年山西】如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ ） A. B. C. D. 2． 【2025年云南】如图，与相交于点，．求证：． 3． 【2025年四川省达州市】开启作角平分线的智慧之窗 问题：作的平分线 作法：甲同学用尺规作出了角平分线；乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线；丙同学也用尺规作出了角平分线，工人师傅用带刻度的直角弯尺，通过移动弯尺使上下相同刻度在角的两边上．即得为的平分线； 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑．认为判断角平分线的依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是_______； 对乙同学作法半信半疑，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②_______________； 对丙同学的作法陷入了沉思． 任务： （1）请你将上述讨论得出的依据补充完整； （2）完成对丙同学作法的验证． 已知，求证：平分． 4． 【2025年四川省自贡市】如图，，．求证：． 5． 【2025年广西】如图，已知是的直径，点在上，． （1）求证：； （2）求的度数． 6． 【2025年新疆】如图，，求证：． 7． 【2025年河北】如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 8． 【2025年湖北】如图，平分．求证：． 9． 【2025年福建】如图，点E，F分别在的延长线上，．求证：． 10． 【2025年甘肃省临夏州】四边形是正方形，点E是边上一动点（点D除外），是直角三角形，，点G在的延长线上． （1）如图1，当点E与点A重合，且点F在边上时，写出和的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形内部时，的延长线与的延长线交于点P，如果，写出和的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，写出和的数量关系，并说明理由． 11． 【2025年重庆】学习了角平分线和尺规作图后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平分线的另一种作法，并与她的同伴进行交流．现在你作为她的同伴，请根据她的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 小红在的边上任取一点E，并过点E作了的垂线（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，过点F作的垂线与小红所作的垂线交于点P，作射线即为的平分线（不写作法，保留作图痕迹）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：，， ． 在和中， ， ． ③ ． 平分． 12． 【2025年陕西】如图，点是的边延长线上一点，，，．求证：． 13． 【2024年安徽】在凸五边形ABCDE 中，AB=AE,BC=DE,F 是CD 的中点.下列条件中，不能推出 AF 与CD 一定垂直的是 A. ∠ABC=∠AED B. ∠BAF=∠EAF C. ∠BCF=∠EDF D. ∠ABD=∠AEC 14． 【2024年湖南省长沙市】如图，点 C 在线段 AD 上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)求证：△ ABC≌△ADE; (2)若∠BAC=60°, 求∠ACE的度数. 15． 【2024年四川省宜宾市】如图，点D、E 分别是等边三角形 ABC 边BC、AC 上的点，且BD=CE,BE 与AD 交于点F. 求 证：AD=BE. 16． 【2024年吉林省长春市】如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠B=90°,○ 是边AB 的中点，∠AOD=∠BOC. 求证： 四边形ABCD是矩形. 17． 【2024年四川省乐山市】如图，AB 平分∠CAD,AC=AD. 求证：∠C=∠D. 18． 【2024年云南】如图，在△ABC和△AED中，AB=AE，∠BAE=∠CAD，AC=AD， 求证：△ABC≌△AED。 第1页共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案及解析 1． 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由即可判定求解，掌握全等三角形的 判定方法是解题的关键． 【详解】在与， ∵， ∴， ∴与全等依据是， 故选：． 2． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明；在和中， ， ∴． 3． 【答案】（1）；全等三角形的对应角相等 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，作角平分线，等边对等角，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据作角平分线的方法可得对甲同学和工人师傅的作法其判定全等的方法是，对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等，选取全等三角形的判定方法证明，即可求解； （2）根据已知得出，进而可得，根据等边对等角可得，等量代换可得，即可得证． 【小问1详解】 解：对甲同学和工人师傅的作法依据是利用三角形全等，其判定全等的方法是 对于乙同学作法，通过讨论最终确定的判定依据：①三角形全等，，或，②全等三角形的对应角相等 证明如下：根据作图可得， ∵， ∴， ∴， 与中， ， ∴， ∴， ∴平分； 故答案为：；全等三角形的对应角相等． 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 4． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，先证明，结合，，证明即可. 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 5． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件利用证明全等即可； （2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求． 【小问1详解】 证明：的半径为， ， ，， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 6． 【答案】证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是关键． 根据题意证明，即可求解． 证明：∵， ∴， ∴． 7． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 8． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、补角的性质等基础知识，考查推理能力、几何直观等．先证明，证明，即可得出结论． 【详解】证明：， ． 在和中， ， ， ． 10． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （2）根据正方形的性质，证明，即可得出结论； （3）作，得到，平行线分线段成比例得到，进而得到为的中位线，得到，根据，得到，进而得到，勾股定理得到，再根据，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵正方形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 当点E与点A重合时，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵正方形， ∴， ∵点G在的延长线上，的延长线与的延长线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 由（2）可知：， ∴，， 作于点，则：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴． 11． 【答案】第一步：作图见解析；第二步：①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 第一步：根据题意作出图形即可； 第二步：利用证明，得出即可解答． 【详解】解：第一步：作图如下： ； 第二步：证明：，， ． 在和中， ， ． , 平分． 12． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据平行得到，再证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，通过构建辅助线，利用全等三角形的性质判断 AF 与 CD 是否垂直，关键在于分析各选项条件能否推出相关三角形全等。 先连接 AC、AD，利用已知 AB=AE，BC=DE，结合各选项条件，判断△ABC 与△AED 是否全等，进而得出 AC=AD，再根据等腰三角形 “三线合一”（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）判断 AF 与 CD 是否垂直。 【详解】连接 AC、AD。已知 AB=AE，BC=DE。 选项 B：若∠BAF=∠EAF，结合 AB=AE，AF=AF，可证△BAF≌△EAF（SAS），得 BF=EF。又 F 是 CD 中点，CF=DF，BC=DE，可证△BCF≌△EDF（SSS），得∠BFC=∠EFD，进而推出∠AFC=∠AFD=90°，AF⊥CD，故 B 不符合题意； 选项 C：若∠BCF=∠EDF，F 是 CD 中点则 CF=DF，BC=DE，可证△BCF≌△EDF（SAS），得 BF=EF。又 AB=AE，AF=AF，可证△BAF≌△EAF（SSS），得∠BAF=∠EAF，再结合 AB=AE，AC=AC（后续可证△ABC≌△AED），得△ABC≌△AED（SAS），AC=AD，由等腰三角形三线合一得 AF⊥CD，故 C 不符合题意； 选项 D：若∠ABD=∠AEC，AB=AE，∠BAE=∠BAE，可证△ABD≌△AEC（ASA），得 AD=AC。F 是 CD 中点，CF=DF，AF=AF，可证△AFC≌△AFD（SSS），得∠AFC=∠AFD=90°，AF⊥CD，故 D 不符合题意； 选项 A：若∠ABC=∠AED，AB=AE，BC=DE，可证△ABC≌△AED（SAS），得 AC=AD，此时△ACD 是等腰三角形，但 F 是 CD 中点，仅能说明 AF 是△ACD 的中线，等腰三角形中线不一定垂直于底边（需等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合，此处仅满足中线，无其他条件保证高），不能推出 AF 与 CD 一定垂直，故 A 符合题意。 14． 【答案】(1) 见解析；(2) 60° 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，以及等腰三角形的性质，先证三角形全等，再利用全等性质求角的度数。 (1) 利用点 C 在线段 AD 上得 AC=AD - CD，结合 AB=AD，∠B=∠D，BC=DE，用 SAS 证△ABC≌△ADE；(2) 由全等得 AC=AE，∠BAC=∠DAE=60°，故△ACE 是等边三角形，得∠ACE=60°。 【详解】 (1) 因为点 C 在线段 AD 上，所以 AC=AD，∠B=∠D，BC=DE，在△ABC 和△ADE 中，根据 SAS 判定定理，可证△ABC≌△ADE。 (2) 由 (1) 知△ABC≌△ADE，所以 AC=AE（对应边相等）。又因为∠BAC=60°，所以∠DAE=∠BAC=60°（对应角相等），即△ACE 中，AC=AE 且∠CAE=60°，根据等边三角形的判定（有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形），可知△ACE 是等边三角形，所以∠ACE=60°。 15． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定（SAS），利用等边三角形的边相等、角相等，证明对应三角形全等，进而得出对应边相等。 先根据等边三角形 ABC 得 AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，结合已知 BD=CE，用 SAS 证△ABD≌△BCE，得 AD=BE。 【详解】 因为△ABC 是等边三角形，所以 AB=BC（等边三角形的三条边相等），且∠ABD=∠BCE=60°（等边三角形的三个内角都是 60°）。 在△ABD 和△BCE 中， 根据全等三角形的判定定理 “边角边”（SAS），可以得出△ABD≌△BCE。 又因为全等三角形的对应边相等，所以 AD=BE。 16． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定（ASA）与性质，以及矩形的判定（有三个角是直角的四边形是矩形），先证三角形全等得 AD=BC，再证四边形 ABCD 是平行四边形，结合直角得矩形。 因为 O 是 AB 中点，所以 AO=BO，结合∠A=∠B=90°，∠AOD=∠BOC，用 ASA 证△AOD≌△BOC，得 AD=BC，又∠A=∠B=90°，AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行），故四边形 ABCD 是平行四边形，再因∠A=90°，得平行四边形 ABCD 是矩形。 【详解】 因为 O 是边 AB 的中点，所以 AO=BO（中点的定义）。 在△AOD 和△BOC 中， 根据全等三角形的判定定理 “角边角”（ASA），可证△AOD≌△BOC。 由全等三角形的对应边相等，得 AD=BC。 又因为∠A=∠B=90°，所以∠A + ∠B=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得 AD∥BC。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以四边形 ABCD 是平行四边形。 又因为∠A=90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故四边形 ABCD 是矩形。 17． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定（SAS）与性质，利用角平分线的性质得角相等，结合已知边相等，证明三角形全等，进而得出对应角相等。 因为 AB 平分∠CAD，所以∠CAB=∠DAB，又 AC=AD，AB=AB，用 SAS 证△CAB≌△DAB，得∠C=∠D。 【详解】 因为 AB 平分∠CAD，根据角平分线的定义，可得∠CAB=∠DAB。 在△CAB 和△DAB 中， 根据全等三角形的判定定理 “边角边”（SAS），可证△CAB≌△DAB。 根据全等三角形的对应角相等，所以∠C=∠D。 18． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定（SAS），通过角的和差关系得出对应角相等，结合已知边相等，证明三角形全等。 先由∠BAE=∠CAD，得∠BAE + ∠EAC=∠CAD + ∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再结合 AB=AE，AC=AD，用 SAS 证△ABC≌△AED。 【详解】 因为∠BAE=∠CAD， 所以∠BAE + ∠EAC=∠CAD + ∠EAC（等式的性质，在等式两边同时加上同一个角∠EAC）， 即∠BAC=∠EAD。 在△ABC 和△AED 中，， 根据全等三角形的判定定理 “边角边”（SAS），可以得出△ABC≌△AED。 第1页共12页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $