专题01 三角形（期中复习课件）八年级数学上学期新教材人教版

专题01 三角形 八年级数学上学期 期中复习大串讲 人 教 版 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期中考情 第一部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 核心考点 复习目标 考情规律 三角形的有关概念 能准确描述三角形各部分名称，明确三角形的定义 基础必考点，常结合图形在小题中考查对概念的识别 三角形的分类 能根据角或边的特征，正确对三角形进行分类 高频考点，易因混淆分类标准而出错，多在选择题或填空题中出现 三角形三边关系 掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，并能运用此关系判断三条线段能否组成三角形、求线段的取值范围等 重要考点，常以选择题、填空题形式考查，是解决三角形边长相关问题的基础 三角形的内角和定理 理解并能灵活运用三角形内角和为 180°，以及直角三角形两锐角互余等推论进行角度计算与证明 核心考点，贯穿三角形角度相关题目，在计算、证明题中高频出现 三角形的外角性质 能运用三角形外角性质进行角度的计算与推导 常与内角和定理结合考查，在几何证明与计算中应用广泛 4 记•必备知识 第二部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 认 识 三 角 形 知识点01 三角形的定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 概念 示例 图示 顶点 三角形两边的公共点叫做三角形的顶点. 点A，点B，点C   边 组成三角形的三条线段称为三角形的三条边. 线段AB，线段BC，线段AC 内角 在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. ∠A，∠B，∠C 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】： 认 识 三 角 形 知识点01 三角形的表示： 用符号“△”表示， 顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”， 读作“三角形ABC”， 字母的顺序可以自由安排， 即∆ABC， ∆ACB等均为同一个三角形. A C △ABC 【解读】 2）△ABC的三边，有时也用a，b，c表示. 在上图中，顶点A所对的边BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB用c表示； a b c ①三条线段； ②不在同一条直线上； ③首尾顺次相接； 三 角 形 的 分类 知识点02 1）三角形按边分类： 2）三角形按角分类： 文字表述 数字语言 理论依据 应用 图形 三角形的任意两边之和大于第三边 在△ABC中， a+b＞c； a+c＞b； b+c＞a 两点之间线段最短 1）判断三条已知线段能否组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围： |a-b|＜c＜a＋b 3）【易错】 所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．   三角形的任意两边之差小于第三边 在△ABC中， |a-b|＜c； |a-c|＜b； |b-c|＜a 【补充】三角形三边关系定理及其推论是判定三条线段能否构成三角形的依据， 也是用于证明几何图形中线段不等关系的重要依据. 三角形的三边关系 知识点03 A C a b c 三角形的高 三角形的中线  三角形的角平分线 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．  三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．  三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图示       作法 过点A作AD⊥BC于点D．  取BC边的中点D，连接AD．  作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．  符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°， ∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°)  1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点．  1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．    性质 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC．  ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的高、中线、角平分线 知识点04 【解读】 三角形的高、中线、角平分线 知识点04 1）一个三角形有三条高，它们都是线段，它们的位置由三角形的形状来决定： 【小结】三角形的高，一定记住垂足不一定落在三角形的边上，有能落在边的延长线上. A C A C A C D ∟ E ∟ F ∟ D ∟ ∟ E ∟ F ∟ D ∟ H H ①三角形的高→90°的角； ②三角形的中线将一个大三角形分成两个面积相等的小三角形(等底同高)；三角形的中线延长1倍，容易构造平行四边形(倍长中线模型). ③三角形的角平分线→相等的角或成2倍关系的角. 【解读】 三角形的高、中线、角平分线 知识点04 2）常见结论（热考）： 三角形的稳定性 知识点05 三角形的稳定性: 如果一个三角形三边长确定后，那么三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【解读】 形状固定是指三角形的三个内角不会改变， 大小固定是指三条边长不改变 2）四边形不具有稳定性， 四边形的四条边的长度确定后，不能确定它的形状，因为它的各个角的大小还可以改变. 因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过作辅助线转化为三角形而获得. 1）三角形的稳定性 图示       方法 具体 三角形的内角和定理 知识点06 定理：三角形三个内角和等于180°． 表达形式：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 证明方法 B C A C B A C B A C B 构造平角 把三个角“移”成一个平角 A B 构造邻补角 可延长三角形的任一边，得到邻补角，然后过该角的顶点作该角的对边的平行线. A C 构造同旁内角 过三角形的一个顶点作平行于这一点所对边的射线. 【解读】无论三角形的形状、大小如何改变，三角形三个内角的和仍等于180°； 三 角 形 的 外 角 知识点07 三角形外角的定义： 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. A C B 3 D 图中的∠ACD为△ABC的一个外角. 三角形的外角的性质： 1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 三角形的外角和定理：三角形的外角和为360°． 2 1 破•重难题型 第三部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 三角形的识别与有关概念 题型一 解｜题｜技｜巧 1）判定一个图形是三角形的条件【缺一不可】：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接； 2）对于三角形的相关概念，切记死记硬背，要理解概念的本质属性，复杂的图形应重视图形的分解与组合. 三角形的识别与有关概念 题型一 1．（24-25八年级上·贵州·期中）下列说法正确的是（    ） A．三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形 B．三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形 C．关于轴对称的两个图形大小不变，形状改变 D．两角和一边对应相等的两个三角形全等 D A、由同一平面不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故A错误； B、三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故B错误； C、关于轴对称的两个图形大小不变，形状不变，故C错误； D、两角和一边对应相等的两个三角形全等，故D正确； 【解析】 2．（23-24八年级上·山东德州·期中）下列由三条线段组成的图形是三角形的是（　　） A. B. C. D. 三角形的识别与有关概念 题型一 C 解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 3．（23-24八年级上·北京·单元测试）如图，下列说法错误的是（     ） A．∠A，∠B，∠ACB是△ABC的内角 B． ∠BCD是与∠ACB相邻的角 C．∠BCD+∠A=180°， D．△ABC的三条边分别是 AB，BC，AC， C ∠BCD+∠ACB=180°，但∠BCD+∠A不一定等于180° 4．（23-24七年级下·四川眉山·期中）下列说法： ①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线； ④直角三角形只有一条高； ⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部． 其中正确的个数（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三角形的识别与有关概念 题型一 ①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 所以正确的有两个． 解： B 5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图△ABC被木条遮住了一部分，只露出∠A，则∠B与∠C可能是（    ） 三角形的识别与有关概念 题型一 A．一个直角，一个锐角 B．两个钝角 C．一个钝角，一个锐角 D．两个锐角 解：根据题意，∠A是钝角， ∴∠B与∠C可能是两个锐角， D 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 题型二 解｜题｜技｜巧 1) 三角形具有稳定性. 2) 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 3）要判断图形是否具有稳定性，关键在于它的结构是不是三角形. 6．（24-25八年级上·福建厦门·期中）下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（   ） A. B. C. D. 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 题型二 D 解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性， D选项中的图形具有伸缩功能，运用四边形的不稳定性， 三角形的稳定性 7．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）2024年7月27日，在巴黎奥运会射击10米气步枪混合团体决赛中，中国组合夺得金牌，这也是本届巴黎奥运会诞生的首枚金牌．射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是 ． 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 题型二 三角形的稳定性 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）给出下列图形：其中具有稳定性的是 （把序号填在横线上） ② ③ 9．（2021七年级下·全国·专题练习）如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？ 三角形的稳定性与四边形的不稳定性 题型二 解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离． 它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了． 【点睛】本题考查了四边形的不稳定性，要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等，理解题意是解题的关键． 构成三角形的条件 题型三 解｜题｜技｜巧 若满足： 最短的线段长+中间的线段长＞最长的线段长， 即可构成三角形. 10．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知线段AB=9cm,，下列长度的两条线段能与AB组成三角形的是（   ） A．4cm、4cm; B. 15cm、6 cm； C. 7cm、5cm； D.8cm、1cm； 构成三角形的条件 题型三 解： A、4+4＜9，不能组成三角形，故不A符合题意； B、6+9=15，不能组成三角形，故B不符合题意； C、5+7＞9，能组成三角形，故C符合题意； D、8+1=9，不能组成三角形，故D不符合题意． C 11．（2021·四川宜宾·中考真题）若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 构成三角形的条件 题型三 根据三角形的三边关系得： 5-3﹤a﹤5+3，即2﹤a﹤8， 则选项中4符合题意， 【解析】 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． C 12．（24-25八年级上·广东中山·期中）已知△ABC的三条边长为2，x-1，7，则x的取值范围是             ． 构成三角形的条件 题型三 6﹤x﹤10 解：根据题意得， 7-2﹤x-1﹤7+2， 方法指导：根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式 解得：6﹤x﹤10 x-1﹤7+2 7-2﹤x-1 即 构成三角形的条件 题型三 13．（24-25八年级上·全国·期末）已知a,b,c为△ABC的三边长，若a,b满足|a-3|+=0，且c是整数，求c的取值． 绝对值和与偶次幂的非负性， 解：∵|a-3|+=0, ∴a-3=0,b-2=0, 解得a=3,b=2, ∴3-2﹤c﹤3+2, ∴1﹤c﹤5, ∵c是整数， ∴c=2,3,4 构成三角形的条件 题型三 14．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）已知△ABC的三边长为abc，且abc均为整数． (1)若a=3,b=5,，求边长c的取值范围： ； (2)在（1）的条件下，若c为偶数，求△ABC的周长． 3,4,5,6,7 （1）△ABC的三边长为a,b,c; ∵a=3,b=5 ∴5-3﹤c﹤－5+3， 即2﹤c﹤8，且a,b,c均为整数， 故c的取值范围为：3,4,5,6,7； （2）解： c为偶数，2﹤c﹤8，故c可取4,6 当c=4时，△ABC的周长为3+5+4=12； 当c=6时，△ABC的周长为3+5+6=14； 三角形三边关系的应用 题型四 解｜题｜技｜巧 三角形任意两边之和大于第三边是构成三角形的重要依据. 任意给定三条线段，并不能保证可以构成三角形，必须用三角形三边的关系去验证. 15．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）平行四边形的对角线长为x、y，一边长为14，则x、y的值可能是（    ） A．12和16 B．20和22 C．10和16 D．8和36 三角形三边关系的应用 题型四 B 解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形，所以根据三角形的三边关系进行判断： A、∵6+8=14， ∴不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、∵10+11=21＞14， ∴能构成三角形，故此选项符合题意； C、∵5+8=13﹤14， ∴不能构成三角形，故此选项不符合题意； D、∵4+14=18， ∴不能构成三角形，故此选项不符合题意． 16．（2024·河北邢台·一模）平面内，将长分别为1，1，3，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是（    ） 三角形三边关系的应用 题型四 C 解：如图，如图，设这个凸四边形为ABCD，连接BD，并设BD=a， 在△BCD中，3-1﹤a﹤3+1， 即2﹤a﹤4, A B C D 在△ABD中，a-AB﹤AD﹤a+AB， 即a-1﹤x﹤a+1， ∴1﹤x﹤5， 观察四个选项可知，只有选项C符合． 17．（23-24八年级上·四川自贡·期中）若△ABC的三边为a,b,c，则化简|a+b-c|﹣|b-a-c|的结果是         ． 三角形三边关系的应用 题型四 2b-2c 解：∵△ABC的三边为a,b,c， ∴a+b﹥c,b﹤a+c 即a+b-c﹥0,b-a-c﹤0， ∴|a+b-c|－|b-a-c| =a+b-c+b-a-c =2b-2c 18．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）已知△ABC的边AB，边BC的长度分别是不等式组的最大整数解与最小整数解；如果△ABC的周长是奇数，则△ABC的第三条边AC的长度的最小值为       ． 3 解：由， 解不等式①得：x≤8， 解不等式②得：x﹥5， ∴不等式组的解集为5﹤x≤8， ∴不等式组最大的整数解为8， 最小整数解为6． ∵△ABC的周长是奇数,8+6=14是偶数， 且2﹤AC﹤14, ∴△ABC的第三条边AC的长度的最小值3， 19．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，如图四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，试说明：AC与BD的和小于四边形的周长． 三角形三边关系的应用 题型四 在△ABD中，AD+AB﹥BD， 在△BCD中，CD+BC﹥BD， 在△ACD中，AD+CD﹥AC， 在△ABC中，AB+BC﹥AC， ∴AD+AB+CD+BC+AD+CD+AB+BC﹥BD+BD+AC+AC， ∴2(AD+AB+CD+BC)﹥2(AC+BD), ∴AD+AB+CD+BC﹥AC+BD, ∴AC与BD的和小于四边形ABCD的周长． 证明： 20．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子|a-b+c|+|a-b-c|= _____________  ； (2)若a=x+8,b=3x-2,c=x+2. ①x的取值范围是 _________ ； ②当△ABC为等腰三角形时，求a，b，c的值． 三角形三边关系的应用 题型四 （1）解：由三角形三边关系定理得： a+c﹥b,b+c﹥a， ∴|a-b+c|+|a-b-c| =a-b+c+b+c-a =2c， 2c （2）解：①∵a=x-8，b=3x-2，c=x+2 ∴ ∴﹤x﹤12 ﹤x﹤12 20．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c． (1)化简式子|a-b+c|+|a-b-c|= _____________  ； (2)若a=x+8,b=3x-2,c=x+2. ①x的取值范围是 _________ ； ②当△ABC为等腰三角形时，求a，b，c的值． 三角形三边关系的应用 题型四 2c ﹤x﹤12 如果△ABC的腰是b,c,则： 3x-2=x+2 ∴x=2, ∴a=10，b=c=4， a,b,c不能组成三角形； ②分以下三种情况： 如果△ABC的腰是a,b,则： x-8=3x-2; ∴x=5, ∴a=b=13,c=7, a，b，c符合三角形三边关系； 综上： a，b，c的值为13，13，7． 如果△ABC的腰是a,c,则： x-8=x+2，此时无解； 与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 题型五 解｜题｜技｜巧 题型一方法： 已知等腰三角形两边长，但没有明确腰，底分别是多少，需要进行讨论，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 题型二方法： 已知等腰三角形周长和一条边的长，需分情况讨论已知的边长是腰还是底，所求得的结果还要满足三角形的三边关系. 21．（24-25八年级上·四川德阳·期中）已知实数x，y满足|x-3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（   ） A．17 B．13 C．17或13 D．12 与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 题型五 解：∵|x-3|+=0, |x-3|≥0， ≥0， ∴|x-3|==0 ∴x-3=0,y-7=0 ∴x=3,y=7， 故选：． A 当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为3，3，7， ∵3+3﹤7 ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，则该等腰三角形的三边长为3，7，7， ∵3+7﹥7， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为3+7+7=17， 22．（23-24七年级下·陕西西安·期末）已知一等腰三角形的周长为20，若其中一边长为6，则这个等腰三角形的腰长为（    ） A．6或8 B．6或7 C．6 D．8 解：①6是腰长时，底边为：20-6×2=8， 三角形的三边长分别为6、6、8，能组成三角形； ②6是底边长时，腰长为：×(20-6)=7， 三角形的三边长分别6、7、7，能组成三角形； 综上所述，该等腰三角形的腰长是6或7， 与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 题型五 B 23．（2025·四川成都·模拟预测）已知+-4a-2b+5=0，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ； 与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 题型五 1 解：∵+-4a-2b+5=0， ∴+=0， ∴a－2=0,b﹣1=0， ∴a=2,b=1 ①当三边为2,2,1时，能构成三角形， ∴底边长为1; ②当三边为2,1,1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1 24．（24-25八年级上·全国·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长为9，则这个三角形的底边为       ． 与等腰三角形相关的三角形三边关系的应用 题型五 4 解： ①当等腰三角形的腰长为4时，三角形的三边长为：4,4,9.， ∵4﹢4﹤9， 所以不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为9时，三角形的三边长为：4,9,9， 此时能构成三角形 此时这个等腰三角形的底边为4， 与三角形高线有关的计算 题型六 解｜题｜技｜巧 高与面积有关: ①有高首先想到面积，可以考虑等面积法求高线. ②高相等，面积之比等于底边之比. 25．（24-25七年级下·湖南永州·期末）在△ABC中，∠A=90°，AB=3,AC=4,BC=5，则点A到BC的距离是（   ） A． B. C. D. 与三角形高线有关的计算 题型六 解：∵△ABC为直角三角形，直角边AB=3,AC=4， ∴S=×AB×AC=×3×4=6 ∵设点A到BC的距离是h， ∴S=×BC×h=×5×h ∴6=，解得：h= C 提示：在直角三角形中，点A到BC的距离可以通过面积法求解 A B C G ∟ h ∟ 26．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在△ABC中，CD是AB边上的高．在△BCD中，BE是CD边上的中线．若AD=DB，且=4，则AD·CD的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 与三角形高线有关的计算 题型六 ∵BE是DC边上的中线， ∴ED=EC， ∴＝＝4 ∴＝＋ ＝4＋4＝8, ∵AD=DB, ∴＝＝8 D 解： ∴＝＋ ＝8＋8＝16 ∵CD是AB边上的高线， ∴＝AD·CD＝16 ∴AD·CD＝32 27．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F，＝9，DE=2，AB＝5，，则△ADC的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 与三角形高线有关的计算 题型六 解：∵DE⊥AB于点E,DE=2,AB=5， ∴＝AB·DE＝×5×2＝5， 又∵＝9， ∴△ADC的面积： ＝－＝9－5＝4． C 28．（24-25七年级下·广东汕头·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点的坐标分别O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(4,0)，则四边形OABC的面积为（    ） A． B．8 C． D．9 与三角形高线有关的计算 题型六 解∶过A作AM⊥OC于M，过B作BN⊥OC于N， ∵O(0,0),A(1,2),B(3,3),C(4,0)，∴OM=1,AM=2,ON=BN=3,CO=4, ∴MN=ON－OM=2,ON=OC－ON=1 M ∟ N ∟ ∴四边形OABC的面积=＋＋ ＝×1×2＋×(2＋3)×2＋×3×1 ＝, A 49 29．（24-25七年级上·河南郑州·开学考试）【三角形的面积】如图，三角形ABC的周长为40cm，P点为其内部一点，且点 P 到三边的距离均为3cm，则三角形ABC的面积为 与三角形高线有关的计算 题型六 解：过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，连接PA，PB，PC， ∵点P 到三边的距离均为3cm， ∴PD＝PE＝PF＝3cm， ∴三角形ABC的面积为=＋＋＝AB·PB＋AC·PE＋BC·PF ＝PD(AB＋AC＋BC)＝×3×40 ＝60() 60 30．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AD与CE都是△ABC的高，AD=3cm,CE=6cm，求AB与BC的长度之比． 与三角形高线有关的计算 题型六 解：∵＝BC·AD＝AB·CE ∴BC·AD＝AB·CE ∴＝， ∵高AD与CE的长分别为3cm，6cm, ∴＝ , 即AB与BC的长度之比是1:2 根据三角形中线求长度 题型七 解｜题｜技｜巧 1）条件中有中点，想到作中线，更要想到作中位线.中点必定与中线或者中位线相联系. 2）中线性质： ①中点将边平分； ②中线将面积平分； ③三边中线交点为重心，切记重心的性质. 31．（23-24八年级上·四川绵阳·期中）如图，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，以下结论正确的是（　　） A. BC=2AD B. AF=AB C. AD=CD D.BE=CF 根据三角形中线求长度 题型七 B 解：∵AD,BE,CF是△ABC的三条中线， ∴AE=EC=AC，AB=2BF=2AF，BD=DC=BC A、则BC=2BD=2DC，故该选项不一定正确； B、则AF=AB，故该选项是正确． C、则BD=DC=BC，故该选项不一定正确； D、则BE与CF不一定相等，故该选项不一定正确； 32．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，AE是△ABC的中线，点D在BE上，若BD=2,CD=4，则 的值为       ． 根据三角形中线求长度 题型七 解：设A到BC的距离为h， ∵BD=2,CD=4， ∴BC=6， ∵AE是△ABC的中线， ∴BE=CE=BC=3， ∴， 33．（25-26八年级上·全国·周测）已知AD,AE分别是△ABC的高和中线．BD=2,CD=1，求DE的长． 根据三角形中线求长度 题型七 解：分以下两种情况讨论： ①当AD在△ABC内部，如图： ∵ BD=2,CD=1， ∴BC=3． ∵AE是△ABC的中线， ∴EC=BC=1.5， ∴DE=EC-DC=0.5； 提示：分为AD在△ABC的内部和外部两种情况进行分析 ②当AD在△ABC内部，如图： ∵ BD=2,CD=1 , ∴BC=1 ∵AE是△ABC的中线，， ∴EC=BC=0.5， ∴DE=EC+DC=1.5． 综上所述，DE的长为0.5或1.5． 34．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）已知△ABC的周长为37cm，AD是BC边上的中线．AC=AB (1)如图，当AB=15cm时，求BD的长． (2)若AC=14cm，能否求出DC的长？为什么？ 根据三角形中线求长度 题型七 （1）解： ∵AC=AB ，AB=15cm， ∴AC=10cm． 又∵△ABC的周长为37cm， ∴BC=12cm． ∵AD是BC边上的中线， ∴BD=BC=6cm． （2）解：不能，理由如下： ∵AC=AB，AC=14cm， ∴AB=21cm． 又∵△ABC的周长为37cm, ∴BC=37－14－21＝2(cm)． ∵AC＋BC＝16﹤AB＝21， ∴不能构成三角形ABC， 则不能求出DC的长． 根据三角形中线求周长/面积 题型八 解｜题｜技｜巧 1）周长差=中线两边的边长差= 长边-短边 2）三角形的一条中线把原来的三角形分成两个同地等高的三角形，因此分得的两个三角形面积相等，利用这一特点可以求解有关的面积问题. 35．（辽宁省大连市高新园区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷） 如图，CD是△ABC的中线，BC=a，AC=b，a﹥b，则△BCD的周长比△ACD的周长大 （用含的代数式表示）． 根据三角形中线求周长/面积 题型八 a-b 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴DA=DB， ∵BC=a，AC=b，a﹥b， ∴－ ＝(BC＋CD＋DB)－(AC＋CD＋DA) ＝BC－AC ＝a-b， 36．（江苏省宿迁市泗洪县新星中学2024--2025学年八年级上学期期中练习） 如图，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AD为BC边上的中线，DF为△ABD中AB边上的中线．已知AB＝5，AC＝3，△ABC的面积为6． （1）△ABD与△ACD的周长之差为 ； （2）△ABD的面积为 ； （3）△ADF的面积为 ． 根据三角形中线求周长/面积 题型八 2 3 1.5 解：（1） ∵AD为BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴－ ＝(AB＋BD＋AD)－(AC＋CD＋AD) ＝5-3＝2， ∴与的周长之差为2． （2）∵AD为BC边上的中线， ∴BD=． ∴＝＝×6＝3， （3）∵DF为边AB上的中线， ∴AF=． ∴＝＝×3＝1,5． ⊥ 37．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在△ABC中，点D在边BC上，连接AD，点E为线段AD的中点，连接CE，点F为线段CE的中点，连接BE、BF，若△ABC的面积等于10，则阴影部分△BEF的面积等于 . 根据三角形中线求周长/面积 题型八 提示：三角形的中线把三角形分成两个面积相等的两个小三角形 解：∵点E为线段AD的中点， ∴＝，＝， ∵△ABC的面积等于10， ∴＋＝＝10 ∴＋＝(＋) ＝＝×10＝5， ∴＝＋＝5， ∵点F为线段CE的中点， ∴＝＝， 38．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点．若△ABC的面积为10，则阴影部分图形的面积为 ． 根据三角形中线求周长/面积 题型八 解：连接AE,CD,BF， ∵点D、E、F分别是线段AF、BD、CE的中点， ∴＝，＝，＝， ＝＝＝， ∴＝， ∵△ABC的面积为10， ， 39．（24-25七年级下·北京·开学考试）如图，在三角形ABC中，BD:DC=1:2，E为AD的中点，若三角形ABC的面积为120平方厘米，则阴影部分的面积是多少平方厘米 根据三角形中线求周长/面积 题型八 解：连接DF， ∵BD:DC=1:2， △ABC的面积为120， ∴ S △ABD=120×＝40， S△ADC=120×＝80， ∵E为AD的中点， ∴S△AEC=S△DEC =×80＝40， △AEF和△DEF的面积相等， 设△AEF和△DEF的面积都等于x， ∴△DFC的面积等于40＋x， ∵BD:DC=1:2， ∴△DFB的面积等于(40＋x)， ∵△ABD的面积为40， ∴(40＋x)＋x＋x＝40， 解得x=8， ∴阴影部分的面积是40-x=32（平方厘米）． 与三角形角平分线有关的计算 题型九 解｜题｜技｜巧 三角形角平分线的本质是将一个内角平分为两个相等的角，因此角度计算的核心思路是：用角平分线表示出平分后的角，再结合三角形内角和定理、外角性质建立等式求解。 40．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AE平分∠BAC ，交BD于点F，∠ABC=90°，求证：∠BEF =∠ BFE ． 与三角形角平分线有关的计算 题型九 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE． ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAE＋∠BEF=∠CAE＋∠AFD=90°， ∴∠BEF=∠AFD． ∵∠BFE=∠AFD， ∴∠BEF =∠ BFE． 41．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD为BC边上的高，BE为三角形的角平分线，AD与BE相交于点F． (1)求证：∠AFE=∠AEF； (2)若BC=3，AC=12，AB=5，求AD的长度． 与三角形角平分线有关的计算 题型九 （1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠DBF， ∵AD为BC边上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠BFD=90°， ∵∠DBF＋∠BFD=90°， ∠ABE＋∠AEF=90°， ∴∠BFD=∠AEF， ∵∠BFD=∠AFE， ∴∠AFE=∠AEF； （2）解： ∵∠BAC=90°， ∴BA⊥AC，AD⊥BC， ∴=AD·BC=AB·AC， ∴AD==． 即的长度为． 42．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点D． (1)试确定BE、ED、CD之间的数量关系； (2)若AB＋AC=a，求△AED的周长． 与三角形角平分线有关的计算 题型九 （1）解：由题意知， BF平分∠ABC，CF平分∠ACE， ∴∠EBF=∠CBF，∠DCF=∠BCF， ∵DE∥BC， ∴∠EFB=∠CBF，∠DFC=∠BCF， ∴∠EFB=∠EBF，∠ DFC=∠DCF， ∴BE=EF，CD=DF， ∴BE＋CD=EF＋DF＋ED， 即ED=BE＋CD． 42．（22-23八年级上·北京海淀·期中）如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点E，交AC于点D． (1)试确定BE、ED、CD之间的数量关系； (2)若AB＋AC=a，求△AED的周长． 与三角形角平分线有关的计算 题型九 （2）解：∵AB＋AC=a， ∴AE＋BE＋AD＋CD=a， 由（1）知ED=BE＋CD， ∴AE＋AD＋ED=a， 即△AED的周长为a． 三角形高、中线、角平分线综合 题型十 解｜题｜技｜巧 若题目中出现 “高”，优先考虑角度为90°，以及利用面积公式建立等式。比如已知三角形三边长度，求某条高的长度时，可先通过分割法求出三角形面积，再根据面积公式求出高；或者已知不同底和高的关系，结合面积不变性列出方程求解。 当题目中有 “中线” 时，关注线段的等量关系以及面积的倍数关系。例如，已知三角形一边上的中线长，以及三角形的其他边长，可利用倍长中线法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中，再利用三角形三边关系求解。 若出现 “角平分线”，一方面可以利用角相等进行角度计算和推理；另一方面，当有角平分线和垂线同时出现时，考虑构造等腰三角形（三线合一） ；或者根据角平分线性质作垂线，构造全等三角形，转移线段和角度。 43．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，△ABC中，∠1=∠2, G为AD中点，延长BG交AC于E，且满足BE⊥AC；F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断：①线段AG是△ABE的角平分线；②△ABG与△DBG的面积相等：③线段AE是△ABG的边BG上的高；④线段GE是△ADC的边AD上的中线．其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 三角形高、中线、角平分线综合 题型十 B ①∵∠1=∠2， ∴AD平分∠BAC． ∴AG是△ABE的角平分线， 故①正确； ②∵G为AD中点， ∴AG=DG， ∴△ABG与△DBG的面积相等． 故②正确； ③∵BE⊥AC，∴AE⊥BG， ∴线段AE是△ABG的边BG上的高． 故③正确； ④连接DE，∵G为AD中点， ∴AG=DG， ∴线段GE是△ADE的边AD上的中线， 故④不正确； 【解析】 44．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论： ①=； ②∠AFG=∠AGF； ③∠FAG=2∠ACF ； ④AD=2.4． 其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 三角形高、中线、角平分线综合 题型十 解：BE 是△ABC的中线 ∴AE=EC ∴△ABE的面积等于△BCE的面积   故①正确； 44．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论： ①=； ②∠AFG=∠AGF； ③∠FAG=2∠ACF ； ④AD=2.4． 其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 三角形高、中线、角平分线综合 题型十 ∵∠BAC=90,AD是△ABC的高 ∴∠AFG＋∠ACG= 90° ， ∠DCG＋∠DGC= 90° ∵CF是△ABC的角平分线, ∠ACG=∠DCG ∴∠AFG=∠DGC 又 ∵∠DGC=∠AGF ∴∠AFG=∠AGF 故②正确；   44．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90,AB=6，AC=8，BC=10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论： ①=； ②∠AFG=∠AGF； ③∠FAG=2∠ACF ； ④AD=2.4． 其中结论正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 三角形高、中线、角平分线综合 题型十 C ∵∠FAG＋∠DAC=∠DAC＋∠ACD=90° ∴∠FAG=∠ACD ∵∠ACD=∠ACF＋∠DCF=2∠ACF ∴∠FAG=2∠ACF 故③正确； ∵2=AB·AC=BC·AD ∴AD===4.8 故④错误； 45．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线． (1)若∠BED=60º，∠BAD=40º,求∠BAF的度数． (2)若△ABC面积为40，AD=5，求AF的长． 三角形高、中线、角平分线综合 题型十 （1）解： ∵∠BED=∠ABE＋∠BAE， ∴∠ABE=60º－40º=20º， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC=2∠ABE=40º， ∵AF为高， ∴∠AFB=90°， ∴∠BAF=90º－∠ABF=90º－40º=50º． （2）解：由（1）得 ∠BAD=∠ABD=40º， ∴BD=DC=AD=5， ∴BC=5＋5=10， ∵=BC·AF=40， ∴AF=8． 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 题型十一 解｜题｜技｜巧 1）三角形的内角和为180°； 2）直角三角形中两锐角和为90°； 3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 46．（24-25八年级上·浙江台州·期中）如图，在△ABC 中，CD⊥AB于点D,CE是∠ACB的平分线，交AB于点E，∠A=30º,∠B=52º,则∠DCE的度数为 ． 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 题型十一 解：∵CD⊥AB, ∴ ∠ACD=90°－∠A=90°－30°＝60°， ∵∠A=30°,∠B=52°． ∴ ∠ACB=180º－∠A－∠B =180°－30°－52° =98°， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠ACE=∠ACB=×98º=49º． ∴∠DCE=∠ACD－∠ACE=60°－49º=11°． 11° 47．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在△ABC内部点处，若∠C=36°，则∠1 ＋∠2 等于 . 解：∵∠C=36°， ∴∠CMN＋∠CNM=180°－∠C＝144°， ∵△CMN折叠得到MN， ∴∠MN=∠ CMN，∠NM=∠ CNM， ∴∠MN＋∠NM=∠CMN＋∠CNM=144°， ∴∠1 ＋∠2 =(180°－∠ CMN－∠ MN)＋(180°－∠ CNM－∠ NM) =360°－(∠ CMN＋∠ CNM)－(∠ MN＋∠NM) =360°－144°－144°=72°． 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 题型十一 72° 48．（24-25八年级上·广东东莞·期中）脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于点，于点，已知角为，则的大小是 ． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 题型十一 49．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)求的度数（用含α、β的式子表示）； (2)若，求β的值． （1）∵是中边上的高线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴ ； 利用三角形内角和定理解决角度计算问题 题型十一 （2）由（1）知， ， ， ∵， ∴， ∴． 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 解｜题｜技｜巧 三角形的外角实质上是与它相邻内角的邻补角求角时，当在图中发现了外角，或所求角本身是另一个三角形的外角时，通常要考虑三角形的外角性质将这些结合起来，问题就容易解决了. 50．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，，，，则 ． 解：如图，∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 25 1 51．（24-25八年级上·广西桂林·期中）如图，五角星的顶点分别是A，B，C，D，E，那么 ． 解：如图， ∵ ， ， ∴； 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 1 2 52．（24-25八年级上·云南玉溪·期中）在中，若，则的外角的度数为 ． 解：， ， ， ， ， 的外角度数是， 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 53．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，中，，，垂足分别为D、E，、交于点H，已知，，求与的度数． 解：， ， ， ， ， ， 由三角形的外角性质得， ． 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 54．（24-25八年级上·江西赣州·期中） 如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，， ，，请用、的代数式表示． （1）解：， ， 平分， ， ． ，， ． 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 54．（24-25八年级上·江西赣州·期中） 如图①，平分． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点在的延长线上，， ，，请用、的代数式表示． 利用三角形外角性质解决角度计算问题 题型十二 过•分层验收 第四部分 明•期中考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期中基础通关练 1．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，将三个角分别沿、、翻折，三个顶点均落在点O处，则的度数为（　　） A． B． C． D． A 解析： ， ， ， ， 期中基础通关练 2.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． ∵的周长为：， 的周长为：， ∴与的周长差为： ， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴ ， 即与的周长差为1； 解：（1） 期中基础通关练 2.（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点，重合），连接交于点． (1)若是中线，，，求与的周长差； (2)若是高，，求的度数． ∵是的平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴ ． 解：（2） 期中重难突破练 1．（24-25八年级上·全国·期中） 【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． （1）解： ， ， 即， 为“好运三角形”， 为偶数， ； 期中重难突破练 1．（24-25八年级上·全国·期中） 【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”例如，三边为，，的三角形是“好运三角形”． (1)【概念运用】在中，，，若为“好运三角形”，求的长； (2)【变式运用】已知的周长为，，若的长为偶数，试判断是否为“好运三角形”． （2）设为偶数， 则， 解得， 为偶数， ． ， 又， 是“好运三角形”． ∴ 期中重难突破练 2.（2025·北京·中考真题）如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为 °． 解：如图，设与交于点K， ∵， ∴ ， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $