精品解析：重庆市三校初中学业水平考试仿真模拟试卷 九年级数学

重庆市初中学业水平考试仿真模拟试卷 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（2页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解小米新能源汽车的抗撞击能力的调查 B. 了解在长江流域过冬的候鸟的数量情况的调查 C. 了解某班学生的身高情况的调查 D. 了解我国超音速导弹东风的杀伤半径的调查 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 如图，的顶点在上，是直径，点D在上，，则的度数是（ ） A. 52° B. 48° C. 42° D. 38° 7. 将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A. 36 B. 74 C. 90 D. 92 8. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 9. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，，连接，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 12. 某公司月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，已知、月营业额的增长率相同，则增长率为________． 13. 若多边形的每一个外角都是其相邻内角的，这个多边形是_____边形． 14. 小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是________． 15. 如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则______，______． 16. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则________；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是________． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18. 如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中C组包含的所有数据为：； 乙款评分数据中C组包含的所有数据为：． 甲、乙两款AI软件满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？ 20. 先化简，再求值：，其中 21. 重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 22. 在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 23. 周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计） （参考数据：） （1）求山顶C到的距离（结果保留整数）； （2）若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． （1）如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； （2）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市初中学业水平考试仿真模拟试卷 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（2页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了倒数，理解倒数的概念是解题的关键．倒数的定义是乘积为1的两个数互为倒数，根据倒数的定义回答即可． 【详解】解：∵ 一个数 的倒数为 ， ∴ 的倒数为 ＝ ， 故选 ：B 2. 下列交通指示标志的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解小米新能源汽车的抗撞击能力的调查 B. 了解在长江流域过冬的候鸟的数量情况的调查 C. 了解某班学生的身高情况的调查 D. 了解我国超音速导弹东风的杀伤半径的调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A．了解小米新能源汽车的抗撞击能力的调查，适合使用抽样调查，因此选项A不符合题意； B．了解在长江流域过冬的候鸟的数量情况的调查，适合使用抽样调查，因此选项B不符合题意； C．了解某班学生的身高情况的调查，适合使用全面调查，因此选项C符合题意； D．了解我国超音速导弹东风的杀伤半径的调查，适合使用抽样调查，因此选项D不符合题意； 故选：C． 4. 如图，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由平角的定义得到的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标，满足函数解析式，是解题的关键．把点代入函数解析式即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 故选：A． 6. 如图，的顶点在上，是直径，点D在上，，则的度数是（ ） A. 52° B. 48° C. 42° D. 38° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，与圆有关的计算.根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，即可得到 【详解】∵的顶点在上，是直径， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C. 7. 将一半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依此规律，第9个图形的小圆个数是(　　) A. 36 B. 74 C. 90 D. 92 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的变化寻找规律即可求解． 【详解】观察图形的变化可知： 第1个图形有1×2+2=4个小圆， 第2个图形有2×3+2=8个小圆， 第3个图形有3×4+2=14个小圆， …， 发现规律： 第n个图形的小圆个数是n(n+1)+2． 所以第9个图形的小圆个数是9×10+2=92． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型−图形的变化，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律并总结规律，会利用找到的规律进行解题． 8. 估计的运算结果应在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法和无理数的估算．先根据二次根式的乘法法则计算，然后根据“夹逼法”估算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴的运算结果应在4到5之间， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点在线段上，点在线段上，，连接，交于点，连接并延长交于点．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理. 先证明，然后可得，过点A作于点K，进而可得，设，则有，最后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点A作于点K，如图所示： ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴， 设，则有， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，即； 故选B． 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 二、填空题（大题6个小题，每小题4分，共24分） 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 某公司月份的营业额为万元，月份的营业额为万元，已知、月营业额的增长率相同，则增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为，结合5月、7月营业额即可得出关于的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为， 根据题意得，， 解得，，（舍去）， 所以，增长率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于的一元二次方程是解题的关键． 13. 若多边形的每一个外角都是其相邻内角的，这个多边形是_____边形． 【答案】八 【解析】 【分析】设这个多边形的一个外角的度数为x，根据题意列出方程，即可求出x，再根据多边形的外角和是即可求出边数． 此题主要考查了多边形内角与外角，根据题意列出方程求出一个外角的度数是解题关键． 【详解】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则 ， 解得：， ， 答：这个多边形为八边形． 故答案为：8． 14. 小明准备在暑假到重庆游玩，第一天他想在洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点中随机选取两个去游玩，他选取背面完全相同的四张卡片，在正面分别写上景点名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中洪崖洞和长江索道的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示洪崖洞、解放碑、长江索道、山城步道这四个景点，列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽中洪崖洞和长江索道的结果数有2种， ∴小明抽中洪崖洞和长江索道的概率为， 故答案为：． 15. 如图，以为直径的与相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接，，与交于点，与交于点．若，．则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先利用菱形的性质得到，，再根据切线的性质得到，所以，于是利用勾股定理可计算出，则， ，接着证明，利用相似比求出， 所以 ，然后证明，则利用相似三角形的性质可求出 ，然后计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵以为直径的与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质和圆周角定理，掌握知识点的应用解题的关键． 16. 如果一个四位数自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足千位数字与百位数字之差是十位数字与个位数字之差的一半，则称这个四位数为“平分秋色数”．例如：四位数8764，，是“平分秋色数”；又如四位数4361，，不是“平分秋色数”．若是一个“平分秋色数”，记，当n为完全平方数时，则________；此时，记，若为整数，则满足条件的所有M中，最大的数是________． 【答案】 ①. 6 ②. 9682 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解及完全平方公式，熟练掌握因式分解及完全平方数是解题的关键；由题意易得，，然后可得的值，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：∵是一个“平分秋色数”， ∴， ∵， ∴， ∵n为完全平方数，且， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ， ∵，且b、d互不相等， ∴， ∵为整数， ∴，或，， 当，时，解得：，，此时，，，，； 当，时，解得：，，此时，，，； 综上所述，最大的 故答案为6；9682． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；不等式组的整数解为：，，． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集以及整数解，明确解一元一次不等式组的方法是解题的关键．分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可． 【详解】解： 由①得，， 整理得，， 解得，， 得，， 整理得，， 解得，， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为：，，． 18. 如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 【答案】（1）如图： （2） ；；； 【解析】 【分析】题考查尺规作图---作垂线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定定理；掌握判断全等三角形是关键； （1）以点C为圆心，以任意长度为半径作弧，交线段于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点K，连接并交线段于点E，即可完成作图； （2）先证明，从而得到，进而即可得到结论 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 2025年初，一款名为的软件爆火，出现了很多“王炸组合”，如：一键生成；+豆包一键生成文案等，为人们提供了很多便利，让工作和生活都变得更加轻松．某班同学调查了所在学校的学生对甲，乙两款软件的使用满意度，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：不满意A：；良好B：；满意C：；非常满意D：），下面给出了部分信息． 甲款评分数据中C组包含的所有数据为：； 乙款评分数据中C组包含的所有数据为：． 甲、乙两款AI软件满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 88 乙款 85 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____，并将条形统计图补充完整； （2）根据以上数据分析，你认为哪款AI软件更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）： （3）在此次调查中，该学校有800人对甲款软件进行评分、1200人对乙款软件进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的软件“非常满意”的用户人数共有多少？ 【答案】（1）， （2） 我认为甲款AI软件更受用户喜欢，因为甲款AI软件评分的众数88大于乙款，AI软件评分的众数87，所以甲款AI软件更受用户喜欢； （3）440 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，灵活掌握数据分析是关键． （1）根据中位数的定义可 求出a，根据众数的定义可求出b，用C组人数除以样本容量可求出m，求出D的人数补全条形统计图； （2）从中位数、众数任选一个特征量分析即可； （3）根据用样本估计总体的思想求解即可． 【小问1详解】 ∵甲款评分数据排在第10和第11位的数分别是87和88， ∴分． ∵乙款A和|D组人数均为：，C组人数为：10，B组人数为：， ∴乙款评分数据出现次数最多的是87，出现了6次， ∴． ∵， ∴． 甲款D组人数：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 估计对所调查的软件非常满意的用户人数共有440． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 21. 重庆一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶900个销售．工作5天后还未加工完，于是增加了工人人数，增加工人后每天加工玩偶的个数比增加前多加工45个，又加工了4天才完成了任务． （1）求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； （2）由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前4天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】（1）增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； （2）乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程及一元一次方程是解答此题的关键． （1）设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （2）设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个，根据“提前4天完成任务”，列出分式方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设甲车间增加工人后每天加工玩偶个，则增加前每天加工个， 由题意得：， 解得：， ∴ 增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个； 【小问2详解】 解：设乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴ 乙车间改进技术前每工天加工玩偶的个数为50个． 22. 在直角三角形中，，，，点为上一动点，过点作交于点，再过点作交于点，设点的长度为，和的长度之和为，与的长度之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过） 【答案】（1），；，； （2） 描点画图如下： 由图象可知：函数的性质：当时，随增大而增大；函数的性质：当时，随增大而减小 （3） 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，涉及了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、函数的解析式和性质等知识点，掌握相关结论即可． （1）由题意得四边形是矩形，可得，；证可得，即可求解； （2）描点画图即可； （3）根据函数的图象在函数的图象上方即可求解； 【小问1详解】 解：∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴，； ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可知：当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴当时， 23. 周末，思思和玉玉相约爬南山，到山顶点C处观景（山脚处的点A，B在同一水平线上），思思在点A处测得为，她从点A出发，沿到达山顶C，玉玉从点B出发，沿到达点D，，，然后沿水平观景步道走了900米到达点，此时山顶C正好在点E的东北方向1800米处，最后沿到达山顶C．（思思和玉玉的身高忽略不计） （参考数据：） （1）求山顶C到的距离（结果保留整数）； （2）若思思和玉玉分别从点A、点B同时出发，思思爬坡的速度为70米/分，玉玉爬坡的速度为60米/分（玉玉在山坡、山坡段的速度相同），玉玉在水平观景步道上的速度为90米/分，请问谁先到达山顶C处？请通过计算说明理由． 【答案】（1）1873米 （2） 玉玉先到达山顶C， 理由：在中，，米， 米， 米，思思的爬山速度为70米/分，玉玉的爬山速度为60米/分，玉玉的平路速度为90米/分， ∴思思到达山顶 C 需要的时间（分）， 玉玉到达山顶 C 需要的时间（分）， ∵， ∴玉玉先到达山顶 C． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键： （1）过点D作，垂足为F，延长交于点G，得到，，，，解，，求出的长，再根据线段的和差关系，进行求解即可； （2）利用时间等于路程除以时间，求出二人到达山顶的时间，进行判断即可． 【小问1详解】 如图：过点D作，垂足为F，延长交于点G， 由题意得：，，，， 在中， ，米， （米），（米）， 米， 在中，米，， （米）， （米）， 山顶C到的距离约为1873米； 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，是线段上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，在上取点，连接，其中，过点作轴交于点，求长度的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，在平面内，将抛物线沿直线斜向右上平移，当平移后的新抛物线经过时停止平移，此时得到新抛物线．在平移后的新抛物线上确定一点，使得，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）长度的有最大值为，点 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、运用二次函数的性质求最值、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解答本题的关键． （1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先求出点C、D的坐标，然后再运用待定系数法求得直线的解析式，设P点坐标为，则，再表示出线段的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可解答； （3）由，设平移后的解析式为，再根据平移后的抛物线过点可求得t，进而确定平移后的抛物线解析式，然后分点位于x轴的上侧与下侧，设出M点的坐标，根据等腰直角三角形性质求出x的值即可确定M点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵与轴交于点，， ，解得： 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ， ，， 设直线的解析式为， 则，解得 ， 同理：直线的解析式为， 设P点坐标为， 则， ， ， ， ∴当时，长度的有最大值为，点． 【小问3详解】 ， 如图，设平移后的解析式为， ∵当平移后的新抛物线经过时停止平移，得到新抛物线， ，解得：或（舍弃）， ∴平移后的新抛物线的解析式为， ①当M点位于x轴上侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（舍去）， ； 当M点位于x轴下侧时，过点M作轴， 设， ， 为等腰直角三角形， ， ， 解得：，或（负数舍去）， ， 综上所述符合条件的点的坐标或． 25. 在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． （1）如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； （2）如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） 解：，理由如下： 如图，连接，在上截取，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（）由等腰三角形的性质得，即得，再根据等边三角形的性质可得，，进而即可求解； （）连接，在上截取，连接，可证，得到，，可证点共圆，得到，，进而得到，即得到，即可得，即可证，得到，即可求证； （）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，，由点关于直线的对称点为，可得，，设，，分和两种情况解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨设，则，， ∴，， ， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴或， 设，， 当时， 由和得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴； 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 当时，同理可得， 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，圆内接四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $