第十四章　全等三角形 全章考点梳理 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

第十四章 全等三角形 全章考点梳理 人教版八年级上册 数学　八年级上册 1. 如图，已知△ABC≌△CDA，AB＝4 cm，BC＝6 cm，AC＝8 cm，则AD的长是 ( ) A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 无法确定 B 一、选择题 数学　八年级上册 2. 如图，P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F. 下列结论中不正确的是 ( ) A. PE＝PF B. AE＝AF C. △APE≌△APF D. AP＝PE＋PF D 数学　八年级上册 3. 不能判定两个三角形全等的是 ( ) A. 有两边和夹角对应相等 B. 有三边分别对应相等 C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等 C 数学　八年级上册 4. 下列条件中，不能判定△ABC≌△A′B′C′的是 ( ) A. AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′ B. AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ C. ∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′ D. AB＝A′B′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′ C 数学　八年级上册 1. 如图，AD∥BC，AB∥CD，图中两个三角形是否全等？______(填“是”或“否”)，如果全等，请写出与边AD相等的对应边：_______． 是 CB 二、填空题 数学　八年级上册 2. 如图，△ABC≌△ADE，点E在BC上，若∠EAC＝40°，则∠DAB＝_____，∠DEB＝_____. 40° 40° 数学　八年级上册 3. 如图，AP平分∠BAC，PD⊥AC于点D，若PD＝6，则点P到AB的距离是____. 6 数学　八年级上册 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝6，CD＝2，则点D到AB的距离是___，△ABD的面积是___. 2 6 数学　八年级上册 5. 填空，完成下列证明过程．如图，在△ABC和△FED中，AB＝FE，BC＝ED， 点A，C，D，F在同一条直线上，AD＝FC.求证：AB∥EF. 数学　八年级上册 证明：∵AD＝FC，∴AD－_______＝FC－CD，即_______＝FD.在△ABC和△FED中， ∴△ABC≌△FED( ______ ).∴∠A＝______．∴AB∥EF( _______________________ ). CD AC AC＝FD SSS ∠F 内错角相等，两直线平行 数学　八年级上册 6. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12 cm，CD∶AD＝1∶3，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为______cm. 3 数学　八年级上册 1 . 如图，在△ABC中，∠C＝90°. (1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明) 解：(1)∠ABC的平分线BD如图所示； 三、解答题 数学　八年级上册 解：(2)如图，作DH⊥AB于点H. (2)若CD＝3，AB＋BC＝16，求△ABC的面积． ∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB， ∴CD＝DH＝3. ∴S△ABC＝S△BCD＋S△ABD＝ BC·CD＋ AB·DH ＝ ×3BC＋ ×3AB＝ ×3(BC＋AB) ＝ ×3×16＝24. 数学　八年级上册 解：(1)CE＝BE且CE⊥BE.理由如下： ∵CD⊥AD， ∴∠CDE＝90°. ∵∠DAB＝90°， ∴∠CDE＝∠EAB. 在△CDE和△EAB中， 2. 如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE，(1)判断CE与BE的关系，并说明理由； 数学　八年级上册 ∴△CDE≌△EAB(SAS). ∴CE＝EB，∠CED＝∠EBA. ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°. ∴∠CEB＝90°. ∴CE⊥BE. ∴CE＝BE且CE⊥BE. 数学　八年级上册 解：(2)(1)中结论成立．理由如下： ∵CD⊥AD， ∴∠CDE＝90°. ∵∠DAB＝90°， ∴∠CDE＝∠EAB. (2)如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE.试说明(1)中结论是否成立，并说明理由． 数学　八年级上册 在△CDE和△EAB中， ∴△CDE≌△EAB(SAS). ∴CE＝EB，∠CED＝∠EBA. ∵∠EBA＋∠BEA＝90°， ∴∠CED＋∠BEA＝90°. ∴∠CEB＝90°. ∴CE⊥BE. ∴CE＝BE且CE⊥BE. 数学　八年级上册 (1)证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD， ∴CD＝CE. 在Rt△CBE和Rt△CFD中， ∴Rt△CBE≌Rt△CFD(HL). ∴BE＝FD. 3. 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，E，D为垂足，CF＝CB.(1)求证：BE＝FD； 数学　八年级上册 (2)解：在Rt△ACD和Rt△ACE中， ∴Rt△ACD≌Rt△ACE(HL). ∴SRt△ACD＝SRt△ACE. ∵Rt△CBE≌Rt△CFD， ∴SRt△CBE＝SRt△CFD. ∴S四边形ABCF＝S四边形AECD＝2S△ACD＝2× ×6×8＝48. (2)若CD＝6，AD＝8，求四边形ABCF的面积． 数学　八年级上册 4. 如图，已知E，F分别为AB，AC上的点，且BF⊥AC，CE⊥AB，BD＝CD. 求证：点D在∠BAC的平分线上. 证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BDE≌△CDF(AAS). ∴DE＝DF. ∴点D在∠BAC的平分线上 . 数学　八年级上册 5. 如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E，F是AC上两点，且AF＝CE. (1)求证：△ABE≌△CDF； (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. ∵AF＝CE， ∴AE＝CF. 又∵AB＝CD， ∴△ABE≌△CDF(SAS). 数学　八年级上册 (2)若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度数. (2)解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°， ∴∠AEB＝∠BCE＋∠CBE＝100°. ∵△ABE≌△CDF， ∴∠CFD＝∠AEB＝100°. 数学　八年级上册 6. 如图，小华有一块三角板ABC，其中∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别是D，E. (1)求证：△ACD≌△CBE； (1)证明：∵∠DAC＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE. ∴△ACD≌△CBE(AAS). 在△ACD和△CBE中， 数学　八年级上册 (2)若DE＝6，求梯形ABED的面积. (2)解：∵△ACD≌△CBE， ∴AD＝CE，DC＝EB. ∴AD＋BE＝CE＋DC＝DE＝6. ∴S梯形ABED＝ (BE＋AD)·DE＝ ×6×6＝18. 数学　八年级上册 7. 我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”. 如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD. 对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F. 求证：OE＝OF. 数学　八年级上册 ∴△ADB≌△CDB(SSS)． ∴∠ABD＝∠CBD. 又∵OE⊥AB，OF⊥BC， ∴OE＝OF. 证明：在△ADB和△CDB中， 数学　八年级上册 8. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE. (1)求∠DAE的值； (1)解：∵EF⊥AB，∴∠AFE＝90°. ∴∠EAF＝90°－∠AEF＝90°－50°＝40°. ∵∠BAD＝100°， ∴∠DAE＝180°－∠BAD－∠EAF＝40°. 数学　八年级上册 (2)求证：DE平分∠ADC； ∴AE平分∠DAF. ∴EF＝EM. ∴EM＝EN. 又∵EM⊥AD，EN⊥CD， ∴DE平分∠ADC. (2)证明：如图，过点E作EM⊥AD于点M，EN⊥BC于点N. ∵BE平分ABC，EF⊥AB， ∴EF＝EN. ∵∠EAF＝∠DAE＝40°， 数学　八年级上册 (3)若AB＝6，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝18，求△ABE的面积. (3)解：∵S△ACD＝S△ADE＋S△CDE， 由(2)得EM＝EN＝EF， ∴EM＝3. ∴EF＝3. ∴ AD·EM＋ CD·EN＝18. ∴ (AD＋CD)·EM＝18，即 ×(4＋8)·EM＝18. ∴△ABE的面积为 AB·EF＝ ×6×3＝9. 数学　八年级上册 9. 如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝8 cm，BC＝6 cm，D为AB的中点，点P在线段BC上以每秒2 cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上以每秒 a cm的速度由点C向点A运动，设运动时间为 t s(0≤t<3).(1)用含t的代数式表示PC的长度：PC＝_________cm. (6－2t) 数学　八年级上册 解：(2)△BPD≌△CQP.理由如下： ∵t＝1 s，点P，Q的运动速度相等， ∴BP＝CQ＝2×1＝2(cm). ∴CP＝BC－BP＝6－2＝4(cm). ∵AB＝8 cm，D为AB的中点， (2)若点P，Q的运动速度相等，经过1 s后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由． 数学　八年级上册 ∴BD＝4 cm. ∴BD＝CP. 在△BPD和△CQP中， ∴△BPD≌△CQP(SAS). 数学　八年级上册 解：(3)∵点P，Q的运动速度不相等， ∴BP≠CQ. 又∵△BPD≌△CQP，∠B＝∠C， ∴BP＝CP＝3 cm，CQ＝BD＝4 cm. ∴点P，Q运动的时间t＝ (s). ∴a＝ . ∴当点Q的运动速度a为 cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等． (3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度a为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 数学　八年级上册 $