专题二有理数混合运算归类解析（核心法则+十大题型分类解析）2025-2026学年人教版七年级上册数学大单元教学分层优化练

该初中数学单元学案围绕“有理数混合运算”这一核心概念，构建了从基础法则到复杂应用的完整知识体系。通过十类典型题型的分层设计，学案以课时递进、任务关联的方式串联起运算顺序、符号判断、运算律运用等关键能力，形成由浅入深、层层推进的学习路径，帮助学生系统掌握有理数运算的本质与策略。 亮点在于“纠错辨析”“程序流程探究”“24点游戏”等项目化学习活动的设计，融合了运算能力、推理意识和模型观念三大核心素养。例如，在类型二中引导学生识别并修正错误解法，强化逻辑思维；在类型五中借助程序图理解运算逻辑，提升计算严谨性；在类型八中通过24点挑战激发创新意识。每类题型均配有解析示范与变式训练，既提供清晰的学习支架，又设置进阶挑战，有效支持学生深度学习，也为教师开展大单元教学提供了结构化、可操作的教学资源。

2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 专题二有理数混合运算归类解析（核心法则+十大题型分类解析） 有理数混合运算确实是初一数学的一个重点和难点。不过别担心，只要掌握了正确的分类和策略，你就能有条不紊地解决它们。下面我为你梳理一下常见的题型和相应的解题技巧。 进行任何有理数的混合运算，都必须遵循一个统一的顺序，这是解题的基石 1.先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级运算，从左到右依次进行。 3.如果有括号，先算括号里面的，顺序为小括号 ( ) → 中括号 [ ] → 大括号 { }。 核心思想：在运算过程中，通常遵循“先确定符号，再计算绝对值”的原则 类型一 运用有理数运算法则进行有理数的运算 有理数的混合运算法则 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 （在进行有理数的运算时：先确定符号，再计算绝对值） 解题策略：在较复杂的混合运算中，要边做边观察，随时调整运算顺序，若无简便方法可用，则通常利用加减号将算式分成几部分，每个部分同时单独计算，最后进行加减运算。 例1．计算： 【变式1-1】．计算： (1)； (2)． 【变式1-2】．计算： (1)； (2)． 【变式1-3】．计算：． 类型二、 有理数运算法则进行有理数的运算中的纠错问题 解题策略：认真阅读解题过程，对照有理数运算顺序、运算律、运算法则分析，看解题过程是否违背有理数运算法则、运算律、运算技巧，解这类题关键是掌握运算法则并能够正确计算. 例2．如图是小亮的解题过程，请仔细阅读，并解答下列问题. 计算 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)解题过程中有两处错误，第1处是____________步，错误是_______________，第2处是__________步，错误是_____________________________； (2)请写出正确的解答过程. 【变式2-1】．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【变式2-2】．阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【变式2-3】．学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． ． 类型三、 运用运算律进行有理数混合运算 加法运算律 有理数乘法运算 例3．计算： (1) (2) 【变式3-1】．选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-2】．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【变式3-3】．计算：． 类型四、 新定义运算 正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算. 例4．七年级的小梅同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 【变式4-1】．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【变式4-2】．定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【变式4-3】．定义一种新运算：．例如：． (1)求和的值； (2)猜想：与的关系（不必说明理由）； (3)若※，※，且，求的值． 类型五、 利用程序流程进行计算 正确地理解转换器规定的运算顺序，然后严格按照转换器的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算. 例5．按图中程序计算，并把输出的结果填入表中： 输入 输出 6 【变式5-1】．数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【变式5-2】．根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为-2，求输出的y值． 【变式5-3】．张老师在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：a*b＝a2－b2－[2（a3－1）－]÷（a＋b）． （1）求（－2）*的值； （2）张老师随机输入了一组数据，运用此程序进行计算时，屏幕上显示“该程序无法操作”这说明了输入的数据可能出现了什么情况？为什么？ 类型六、阅读理解运算过程方法进行计算 根据阅读材料提供的方法、法则、运算规则进行运算，解题的关键是通过阅读理解掌握并运用材料所提供的方法、法则正确运算。 例6．【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 【变式6-1】．阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出______（用表示）． (2)依规律，直接求出的值为______． (3)依规律，求的值． 【变式6-2】．阅读理解 ； ． 计算：． 【变式6-3】．【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：______，因此，______． 【解决问题】根据以上发现，计算的结果为______． 类型七、有理数的混合运算的实际问题 理解题意，正确列式表示问题中的数量关系，按照有理数运算法则，运算顺序正确解答。 例7．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【变式7-1】．哈西服装城王老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2100件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在5天全部卖完．这5天每件衬衫利润变化以及这5天的销售量如下表所示（利润中，正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润） 销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 单件利润变化（单位：元） 每天销售的件数（单位：件） 300 400 400 500 500 (1)第4天时，每件衬衫的售价为 元． (2)求第几天的单件售价最高？单件售价最高为多少元？ (3)求这批衬衫全部售出后，总利润为多少元？ 【变式7-2】．“代驾”是当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为．某平台日常代驾计费标准如表： 时间 千米及以内 超过千米的部分 元 元/千米 次日 元 元/千米 说明：行驶里程不足千米，按千米计算． 年月日至今，王叔叔共在该平台预约了两次代驾服务． (1)第一次是月日，这次代驾服务共行驶了千米，需要支付多少元代驾费？ (2)第二次是月日，服务结束后王叔叔支付了元代驾费．这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【变式7-3】．广安华蓥山旅游区为国家红色旅游经典景区，游人所至的高登峰是区内最高峰．为测量其高度，小明同学在山脚测得的温度是，小亮同学此时在山顶测得的温度是，已知该地区高度每升高米，气温下降，请你帮助他们计算高登峰的高度． 类型八、有理数中24点的计算问题 认真读题，掌握所给出的数之间相互计算的结果，巧妙计算 例8．有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【变式8-1】．小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 【变式8-2】．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【变式8-3】．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 类型九 含乘方、绝对值的计算问题 注意乘方运算优先级及符号确定 注意绝对值的非负性、分类讨论 例9．计算： (1)； (2)． 【变式9-1】．计算：． 【变式9-2】．计算： (1)； (2)． 【变式9-3】．计算： (1)； (2)．． 类型十 含科学记数法、近似数的计算 较大的数科学记数法表示，按要求取近似值。 例10．某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）： 182，178，177，，183，184，181，185，，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量与它的差； (2)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克 (3)若每千克玉米的售价为元，则这10袋玉米能卖多少元（精确到1元）？ 【变式10-1】．某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【变式10-2】．“蛟龙号”载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，是中国人的骄傲．“蛟龙号”的体积约为50，长、宽、高分别是8.2米、3.0米与3.4米，最大工作设计深度为7000米，在大海中，每下潜10米，每1平方厘米需要承担1公斤的压力．计算一下，“蛟龙号”达到设计深度时，艇身所承受的全部压力是多少公斤？（用科学记数法表示，精确到千万位．艇身所承受的全部压力指的是“蛟龙号”所有面受到的压力，因艇自身高度引起的压力变化可忽略不计） 【变式10-3】．光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．请你算算： (1)1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为900km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（精确到万位） 主要题型及解题策略 有理数混合运算的核心法则 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版七年级数学大单元教学分层优化练 专题二有理数混合运算归类解析（核心法则+十大题型分类解析）（解析版） 有理数混合运算确实是初一数学的一个重点和难点。不过别担心，只要掌握了正确的分类和策略，你就能有条不紊地解决它们。下面我为你梳理一下常见的题型和相应的解题技巧。 进行任何有理数的混合运算，都必须遵循一个统一的顺序，这是解题的基石 1.先乘方，再乘除，最后加减。 2.同级运算，从左到右依次进行。 3.如果有括号，先算括号里面的，顺序为小括号 ( ) → 中括号 [ ] → 大括号 { }。 核心思想：在运算过程中，通常遵循“先确定符号，再计算绝对值”的原则 类型一 运用有理数运算法则进行有理数的运算 有理数的混合运算法则 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 （在进行有理数的运算时：先确定符号，再计算绝对值） 解题策略：在较复杂的混合运算中，要边做边观察，随时调整运算顺序，若无简便方法可用，则通常利用加减号将算式分成几部分，每个部分同时单独计算，最后进行加减运算。 例1．计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】此题考查有理数的乘除法，根据有理数的乘除混合运算顺序计算即可，解题的关键是根据有理数的乘除混合运算顺序计算． 【详解】解： ． 【变式1-1】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的四则运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）利用有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先计算括号和绝对值，再计算乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的除法运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数除法运算、有理数乘除混合运算等知识点，掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数成为解题的关键． （1）先将除法化成乘法，然后再计算即可； （2）先将除法化成乘法，然后按照分数的乘法计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【变式1-3】．计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】先化带分数为假分数，再化除为乘，最后用有理数乘法的法则计算即可． 本题考查了有理数的乘除混合运算，化带分数为假分数，化除为乘，是解题的关键． 【详解】解： ． 类型二、 有理数运算法则进行有理数的运算中的纠错问题 解题策略：认真阅读解题过程，对照有理数运算顺序、运算律、运算法则分析，看解题过程是否违背有理数运算法则、运算律、运算技巧，解这类题关键是掌握运算法则并能够正确计算. 例2．如图是小亮的解题过程，请仔细阅读，并解答下列问题. 计算 解：原式……第一步 ……第二步 ……第三步 (1)解题过程中有两处错误，第1处是____________步，错误是_______________，第2处是__________步，错误是_____________________________； (2)请写出正确的解答过程. 【答案】(1)第二；运算顺序错误；第三；同号得正 (2) 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】（1）根据有理数混合运算法则以及运算顺序判断即可； （2）根据有理数混合运算法则以及运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，第二步错误，错误原因是运算顺序错误； 第三步错误，同号得正； 故答案为：第二；运算顺序错误；第三；同号得正； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则以及运算顺序是解本题的关键． 【变式2-1】．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 【变式2-2】．阅读下面的解题过程．请认真阅读并解答相关问题． 计算：． 解：原式……………………………………第一步 ……………………………………第二步 ……………………………………第三步 ……………………………………第四步 (1)上面解题过程中，第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一；除法没有分配律 (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的运算法则即可解答； （2）先计算括号，再计算除法，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误，这一步错误的原因是除法没有分配律 故答案为：一；除法没有分配律． （2）解：原式 ． 【变式2-3】．学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序． （1）检查解题过程发现第①步有误， （2）根据从左到右的顺序写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：第①步出错，运算的顺序有误； 故答案是：①； （2）解：． 类型三、 运用运算律进行有理数混合运算 加法运算律 有理数乘法运算 例3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数加减中的简便运算、 分数的加、减法混合运算、分数的四则混合运算、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题主要考查了分数的加减法运算以及除法运算，同时涉及到对分数进行变形和化简的技巧，解题的关键在于能够熟练掌握有理数的计算法则． （）本题可利用加法交换律和结合律进行简便计算，将同分母的分数或能凑整的数结合在一起； （）先把带分数化为假分数，再把被除数提取2，从而简便计算除法式子； 【详解】（1）解： （2） 【变式3-1】．选择合适的方法计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； （）利用有理数除法法则进行简便运算即可； （）利用加法运算律进行简便运算即可； （）利用乘法分配律逆用进行简便运算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解：； ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式3-2】．能简便计算的用简便方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)100 (4) 【知识点】有理数加法运算律、有理数乘法运算律、有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查了简便计算，解题的关键是掌握相关运算律． （1）把2024写成，然后根据乘法的分配律计算即可； （2）先把除法转化为乘法，然后根据乘法法则计算即可； （3）先把除法转化为乘法，然后逆用乘法的分配律计算即可； （4）根据加法的交换律和结合律，并逆用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解∶ ． 【变式3-3】．计算：． 【答案】10 【知识点】有理数乘除中的简便运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先利用乘法分配律计算，然后求和，最后运算除法解答即可． 【详解】解：原式 ． 类型四、 新定义运算 正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算. 例4．七年级的小梅同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是准确熟练的进行计算. （1）按照定义的新运算进行计算，即可解答. （2）按照定义的新运算先算括号内的，再算括号外的. 【详解】（1）解： ． （2） ． 【变式4-1】．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-2】．定义新运算：（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①；② (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，读懂新运算，把新运算转化为熟悉的运算是解题的关键． （1）直接按新运算计算后判定即可； （2）先按新运算计算，再算加减法； （3）根据把全部转化为分数加减法，把互为相反数相加为零，据此求解． 【详解】（1）解：①， ， ， ∵， ∴和是“隔一数对”； ②， ， ∵， ∴和不是“隔一数对”； 故答案为：①； （2）解： （3）∵两个连续的非零整数都是“隔一数对”， ∴，，，， ∴ ． 【变式4-3】．定义一种新运算：．例如：． (1)求和的值； (2)猜想：与的关系（不必说明理由）； (3)若※，※，且，求的值． 【答案】(1) (2)互为相反数 (3) 【知识点】绝对值非负性、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）利用（1）的结果，进行猜想即可； （3）由（2）可知，互为相反数，根据相反数的性质和非负性，求出的值，进行计算即可． 【详解】（1）解：※，                  ※． （2）由（1）可知：， ∴和互为相反数， 故猜想：与互为相反数． （3）因为与互为相反数， 所以， 所以， 所以，，             所以． 类型五、 利用程序流程进行计算 正确地理解转换器规定的运算顺序，然后严格按照转换器的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算. 例5．按图中程序计算，并把输出的结果填入表中： 输入 输出 6 【答案】13；23；15 【知识点】有理数的乘方运算、程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．根据程序流程图，将的值代入计算，直到结果大于10，输出结果即可． 【详解】解：当时，，， 则输出的结果是13； 当时，，， 输入，，， 则输出的结果是23； 当时，，， 输入，，， 则输出的结果是15； 故答案为：13；23；15． 【变式5-1】．数学活动小组设计出如下的运算程序：任给一个正整数n，若n是偶数，则将n除以2；若n是奇数，则将n乘以3再加1．重复这样的运算，经过有限次后，得到结果为1并输出． 根据运算程序，解答下列问题： (1)小组同学输入7，求运算一次后的结果； (2)小组同学输入一个数，在没有输出前，每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，请直接写出同学们输入的数． 【答案】(1)22 (2)16 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出算式． （1）根据题干提供的信息列式计算即可； （2）根据每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1，列出算式，得出运算结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，输入7，运算一次后的结果为： ； （2）解：∵每次运算的结果都是偶数，经过4次运算输出1， ∴这个同学们输入的数为：． 【变式5-2】．根据如图所示的程序计算，若输入的x的值为-2，求输出的y值． 【答案】输出的y值为11 【知识点】程序流程图与有理数计算、含乘方的有理数混合运算 【分析】根据程序计算列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据程序计算，得： ． 答：输出的y值为11． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序，是解题的关键． 【变式5-3】．张老师在电脑上设计了一个有理数运算程序：输入a，加*键，再输入b，得到运算：a*b＝a2－b2－[2（a3－1）－]÷（a＋b）． （1）求（－2）*的值； （2）张老师随机输入了一组数据，运用此程序进行计算时，屏幕上显示“该程序无法操作”这说明了输入的数据可能出现了什么情况？为什么？ 【答案】（1）－；（2）张老师在输入数据时可能输入的a与b的值互为相反数，理由见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】（1）先根据题意得到（－2）*＝（－2）2－（）2－{2×[（－2）3－1]－2}÷[（－2）＋]，再根据有理数的运算法则以及运算顺序逐步计算即可求得答案； （2）结合运算中的除法运算以及0不能当作除数回答即可． 【详解】解：（1）根据题意可得： （－2）*＝（－2）2－（）2－{2×[（－2）3－1]－2}÷[（－2）＋] ＝4－－[2×（－8－1）－2]÷（－） ＝4－－[2×（－9）－2]×（－） ＝4－－[（－18）－2]×（－） ＝4－－（－20）×（－） ＝－ ＝－； （2）张老师在输入数据时可能输入的a与b的值互为相反数，理由如下： 因为运算中的最后是除以（a+b），如果a与b的值互为相反数，则a+b＝0，而0当作除数时是没有意义，无法计算的． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则以及运算顺序以及0不能当作除数的意义是解决本题的关键． 类型六、阅读理解运算过程方法进行计算 根据阅读材料提供的方法、法则、运算规则进行运算，解题的关键是通过阅读理解掌握并运用材料所提供的方法、法则正确运算。 例6．【阅读理解】 材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”． 材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：． (1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式： ①； ②； (2)求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． （1）根据除方的概念的运算法则进行计算； （2）根据除方内容结合有理数的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：① ； ② ． （2）解： ． 【变式6-1】．阅读理解题． 我们把从开始至的个连续自然数的立方和记作，那么有： ； ； ； … 观察上面式子的规律，完成下面各题． (1)猜想出______（用表示）． (2)依规律，直接求出的值为______． (3)依规律，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】本题考查规律型：数字的变化类以及有理数得混合运算， （1）根据题意可推测出； （2）根据规律将其转化为有理数的乘方运算即可； （3）计算即可； 掌握已知规律并进行恒等变形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得： ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 【变式6-2】．阅读理解 ； ． 计算：． 【答案】；； 【知识点】含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索 【分析】根据题中所给式子，找到规律即可得到答案． 【详解】解： 规律为， ； ； 故答案为：；； ． 【点睛】本题考查找规律，读懂题意，掌握题中式子的规律是解决问题的关键． 【变式6-3】．【阅读理解】 我们知道，，那么结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即，第2行两个圆圈中数的和为，即，…；第n行n个圆圈中数的和为，即，这样，该三角形数阵中共有个圆圈，所有圆圈中数的和为． 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数（如第行的第一个圆圈中的数分别为，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为______，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：______，因此，______． 【解决问题】根据以上发现，计算的结果为______． 【答案】规律探究：；，；解决问题： 【知识点】含乘方的有理数混合运算、用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】规律探究： 将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的，从而得出答案； 解决问题： 运用以上结论，将原式变形为，化简计算即可得． 【详解】规律探究： 由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为， ∴这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为： ， ∴； 故答案为：；， 解决问题： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，仔细观察找到规律是解题的关键． 类型七、有理数的混合运算的实际问题 理解题意，正确列式表示问题中的数量关系，按照有理数运算法则，运算顺序正确解答。 例7．生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 【变式7-1】．哈西服装城王老板在广州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进该店全部的2100件衬衫．由于非常畅销，这些衬衫在5天全部卖完．这5天每件衬衫利润变化以及这5天的销售量如下表所示（利润中，正数表示比前一天多的利润，负数表示比前一天少的利润） 销售天数（单位：天） 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 单件利润变化（单位：元） 每天销售的件数（单位：件） 300 400 400 500 500 (1)第4天时，每件衬衫的售价为 元． (2)求第几天的单件售价最高？单件售价最高为多少元？ (3)求这批衬衫全部售出后，总利润为多少元？ 【答案】(1)54 (2)第三天，58元 (3)29900元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算，以及销售中利润的问题，正确理解题意，读懂表格是解题的关键． （1）先计算进价，利用每天的利润变化进行加减即可； （2）由表格可知：前三天的利润在上涨，后两天下降，故第三天售价最高，在利用每天的利润变化进行加减求出第三天售价即可； （3）根据表格确定第一天到第五天的每件利润为10，13，18，14，7，然后计算销售衬衫利润即可． 【详解】（1）解：（元）， （元）， 答：第4天时，每件衬衫的售价为54元； （2）第一天单价为：（元） 第二天单价为：（元） 由表格可知：第三天售价最高， 第三天售价为：（元） （3）（元） 答：总利润为29900元． 【变式7-2】．“代驾”是当车主不能自行开车到达目的地时，由专业驾驶人员驾驶车主的车将其送至指定地点并收取一定费用的行为．某平台日常代驾计费标准如表： 时间 千米及以内 超过千米的部分 元 元/千米 次日 元 元/千米 说明：行驶里程不足千米，按千米计算． 年月日至今，王叔叔共在该平台预约了两次代驾服务． (1)第一次是月日，这次代驾服务共行驶了千米，需要支付多少元代驾费？ (2)第二次是月日，服务结束后王叔叔支付了元代驾费．这次代驾服务的行驶里程最多是多少千米？ 【答案】(1)需要支付元代驾费； (2)这次代驾服务的行驶里程最多是千米． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查的知识点是有理数混合运算的应用，解题关键是读懂题意，理解该平台日常代驾计费方式． （1）根据题意选择合适的时间段分段计算所需费用，最后相加即可； （2）根据题意选择合适的时间段，用总费用减去起步价，算出超过千米的路程，最后加上千米即可求解． 【详解】（1）解：按照计算， （元）． 答：需要支付元代驾费． （2）解：（千米）． 答：这次代驾服务的行驶里程最多是千米． 【变式7-3】．广安华蓥山旅游区为国家红色旅游经典景区，游人所至的高登峰是区内最高峰．为测量其高度，小明同学在山脚测得的温度是，小亮同学此时在山顶测得的温度是，已知该地区高度每升高米，气温下降，请你帮助他们计算高登峰的高度． 【答案】米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据题意，列式计算可得出高登峰的高度． 【详解】解：依题意得： ， ， ， （米． 答：高登峰的高度为米． 类型八、有理数中24点的计算问题 认真读题，掌握所给出的数之间相互计算的结果，巧妙计算 例8．有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】算“24”点 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式8-1】．小强有张卡片写着不同的数字的卡片： (1)他想从中取出张卡片，使这张卡片上数字乘积最大．如何抽取？最大的乘积是多少？ (2)从中取出张卡片，使这张卡片上数字相除最小．如何抽取？最小是多少？ (3)从中取出张卡片，用学过的运算方法，使结果为．如何抽取？写出运算式子？（一种即可） 【答案】(1)抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是15 (2)抽取，两张卡片时，卡片上的数字相除，结果最小，最小结果是 (3)见解析 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、有理数四则混合运算的实际应用、算“24”点 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算以及四则混合运算的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）要使两张卡片数字乘积最大，需考虑同号两数相乘，且绝对值越大乘积越大； （2）要使两张卡片数字相除最小，需考虑异号两数相除，且分子绝对值尽可能大，分母绝对值尽可能小； （3）要从四张卡片通过运算得到24，需结合四则运算规则进行组合尝试． 【详解】（1）解：∵ 要使乘积最大，应选择同号且绝对值较大的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴抽取，两张卡片时，卡片上的数字乘积最大，最大乘积是； （2）解：∵ 要使商最小，应选择异号且分子绝对值大、分母绝对值小的两个数 ∴ 抽取和 ∵ ∴ 最小的商是 （3）解：抽取、、、， ∵ ， ∴ 运算式子可以是． 【变式8-2】．红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【知识点】算“24”点、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 【变式8-3】．小明同学有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题： 0 (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，最小值是 ； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的商最小，最小值是 ； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，最大值是 ； (4)从中取出除0以外的4张卡片，将卡片上的这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，每个数字只能用一次，可以有括号，使结果为24，请写出一种符合要求的运算式子： ． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)或或 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算、算“24”点、含乘方的有理数混合运算 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）根据题意列出算式，找出积最小值即可； （2）根据题意列出算式，找出商最小值即可； （3）根据题意列出算式，找出差最大值即可； （4）利用“24点”游戏规则列出算式即可． 【详解】（1）解：取，乘积最小值为， 故答案为：； （2）取，，商最小值为， 故答案为：； （3）取，，差最大值， 故答案为：5； （4）或或， 故答案为：或或 类型九 含乘方、绝对值的计算问题 注意乘方运算优先级及符号确定 注意绝对值的非负性、分类讨论 例9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加法运算，有理数的乘法运算，有理数的乘方运算，正确运算是解题的关键． （1）按照有理数的加减法法则，把算式写成省略括号的和的形式，再进行加减运算； （2）先进行绝对值，有理数的乘法与乘方运算，最后算加减． 【详解】（1）解：， ， ； （2）， ， ． 【变式9-1】．计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】解： ． 【变式9-2】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加减中的简便运算、有理数的乘方运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算知识点，解题的关键是掌握有理数的运算法则，按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序进行计算，如果有括号要先算括号里面的。 （1）根据加法的交换律和结合律来简化计算。 （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减法。乘方运算优先级最高，其次是乘除法，最后是加减法。 【详解】（1））原式 （2）原式 【变式9-3】．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6 (2) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）先去绝对值符合，再根据有理数运算法则计算即可求解； （2）先进行括号内计算，再计算乘方，乘法，再计算减法即可求解． 【详解】（1）解：原式， （2）解：原式． 类型十 含科学记数法、近似数的计算 较大的数科学记数法表示，按要求取近似值。 例10．某粮店有10袋玉米准备出售，称得质量如下（单位：千克）： 182，178，177，，183，184，181，185，，180． (1)若以180作为基准数，用正、负数表示这10袋玉米的质量与它的差； (2)试计算这10袋玉米的总质量是多少千克 (3)若每千克玉米的售价为元，则这10袋玉米能卖多少元（精确到1元）？ 【答案】(1)，，，，，，，，， (2)这10袋玉米的总质量是1811千克 (3)这10袋玉米能卖2898元 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，有理数乘法的实际应用，正负数的实际应用，有理数减法的实际应用： （1）把180千克作为基准数，计算出这10袋玉米的质量与180千克的差值即可； （2）把（1）中求得的数据相加，再加上10袋标准重量的玉米质量即可得到答案； （3）把（2）中求得的数据乘以，精确到1元即可得到答案． 【详解】（1）解：，，，，，，，，，， ∴这10袋玉米的质量分别为：，，，，，，，，，； （2）解：（千克）， ∴这10袋玉米的总质量是1811千克； （3）解：元， ∴这10袋玉米能卖2898元． 【变式10-1】．某检修小组驾驶检修车从A地出发，在东西方向的笔直的公路上检修线路．如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，某一天中行驶记录如下（单位：）： ，，，，， (1)计算说明检修小组最终在A地何方，距A地多远？ (2)若检修小组使用燃油汽车，该车每千米耗油升，当天从出发到收工共耗油多少升？若汽油价格为元升，该检修小组该天的油费是 元． (3)若该检修小组使用新能源汽车，该新能源汽车每行驶耗电度，且使用充电桩充电的价格是每度电元，则该天使用新能源汽车的耗电费用比使用燃油汽车的燃油费用省 元（精确到十分位）． 【答案】(1)收工时在A地东边处； (2)当天从出发到收工共耗油6升， (3) 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数四则混合运算的实际应用、求一个数的近似数 【分析】此题主要考查了正负数的意义，绝对值的意义，有理数四则运算的实际应用． （1）把所有的行驶记录相加，然后根据正负数的意义解答； （2）用所有行驶记录的绝对值的和乘以，可得耗油量，再乘以单价可得费用； （3）由行驶耗电度，再乘以单价可得新能源汽车的费用，再利用油车的费用减去新能源汽车的费用可得答案． 【详解】（1）解： ， 答：收工时在A地东边处； （2）解： ， （升）． ∴（元）， 答：当天从出发到收工共耗油6升，该检修小组该天的油费是元； （3）解：∵该新能源汽车每行驶耗电10度， ∴行驶耗电（度）， ∴该汽车该天的耗电费用约为（元）， ∴比使用燃油汽车省（元）． 【变式10-2】．“蛟龙号”载人潜水器是一艘由中国自行设计、自主集成研制的载人潜水器，是中国人的骄傲．“蛟龙号”的体积约为50，长、宽、高分别是8.2米、3.0米与3.4米，最大工作设计深度为7000米，在大海中，每下潜10米，每1平方厘米需要承担1公斤的压力．计算一下，“蛟龙号”达到设计深度时，艇身所承受的全部压力是多少公斤？（用科学记数法表示，精确到千万位．艇身所承受的全部压力指的是“蛟龙号”所有面受到的压力，因艇自身高度引起的压力变化可忽略不计） 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】根据题意，“蛟龙号”潜水器所承受的全部压力=潜水器的表面积（平方厘米）×深度（米）÷10（米），然后按要求精确到千万位，用科学记数法表示即可． 【详解】解：由题意可得， =877520000 （公斤） 答：“蛟龙号”达到设计深度时，艇身所承受的全部压力是公斤． 【点睛】此题主要考查了有理数混合运算的应用、科学记数法、近似数的精确度，熟练掌握科学记数法、精确度是解答此题的关键． 【变式10-3】．光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．请你算算： (1)1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算） (2)银河系的直径达10万光年，约是多少千米？ (3)如果一架飞机的飞行速度为900km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（精确到万位） 【答案】(1)9×1012千米 (2)银河系的直径达10万光年，约是9×1017千米 (3)1.2×106倍 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，求出即可； （3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可． 【详解】（1）3×107×3×108＝9×1015（m）＝9×1012千米， 答：1光年约是9×1012千米； （2）10万=100000 100000×9×1012＝9×1017（千米）， 答：银河系的直径达10万光年，约是9×1017千米； （3）3×108m/s＝1.08×109km/h， 1.08×109÷900＝1.2×106， 答：光的速度是这架飞机速度的1.2×106倍． 【点睛】本题考查了科学记数法的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式． 主要题型及解题策略 有理数混合运算的核心法则 学科网（北京）股份有限公司 $