第12章函数与一次函数 自主学习同步练习题 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

2025-2026学年沪科版八年级数学上册《第12章函数与一次函数》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列图象不能表示为的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．一根蜡烛原长10厘米，点燃后燃烧时间为分钟，所剩余蜡烛的长为厘米，其中是变量的是（   ） A．10、、 B．、 C．10、 D．10、 3．在平面直角坐标系中，若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若一次函数的图象经过点，且与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，那么它的解析式不可能是（　　） A． B． C． D． 5．将正比例函数的图象向下平移5个单位后，得到一个一次函数的图象，则关于这个一次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．与y轴的交点坐标点是 B．经过第一、二、四象限 C．与两坐标轴围成的三角形的面积为 D．y的值随着x值的增大而减小 6．天天盛了大半盆清水，把一个西瓜放入水中清洗，溢出一些水，洗干净后再把西瓜捞出．下面能正确反映出盆中水深的变化情况的图是（    ）． A．B． C． D． 7．已知一次函数与的图象相交于一点，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在函数中，当时，函数值为 ；当函数值为4时，自变量x的值为 ． 9．一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ． 10．已知是一次函数与一次函数的交点，则点的坐标是 ． 11．如图，已知长方形菜园一边靠墙，另外三边是用长为24米的篱笆围成，设米，米，则y与x之间的关系式为 ． 12．如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则 ． 13．快捷运输公司运输货物，货物的质量大于一定质量时起运，总运费（元）与货物的质量（）之间满足一次函数关系（为常数），其图象如图所示，则图象中的值为 ． 14．甲，乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地，A地，两人相遇时停留了，又各自按原速前往目的地，甲，乙两人之间的距离y（）与甲所用时间x（）之间的函数关系如图所示，有下列说法：①A，B之间的距离为；②乙行走的速度是甲的倍；③；④．以上结论正确的有 ．（填序号） 三、解答题 15．已知一次函数的图象经过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)在轴上求一点，使的面积为9，求点的坐标． 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若函数的值小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 17．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用一吨水生产的饮料利润（元）是一吨水的价格（元）的一次函数，根据下表提供的数据， 一吨水的价格（元） 3 4 6 用一吨水生产的饮料所获利润（元） 201 200 198 (1)求出与的函数关系式； (2)当水价为每吨10元时，一吨水生产的饮料的利润是多少？ 18．2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以龙的十二生肖专属汉字“辰”为名·设计灵感以中华民族龙图腾的代表性实物，突出呈现吉祥如意、平安幸福的美好寓意，某商店从工厂购进大号、中号两种型号的“龙辰辰”，已知2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元． (1)求大号、中号两种型号的“龙辰辰”的进价． (2)该商店准备购进两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半．大号“龙辰辰”的定价70元/个，中号“龙辰辰”定价60元/个．当购进大号“龙辰辰”多少个时，销售总利润最大？最大利润是多少？ 19．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为．图中的折线表示与之间的关系． (1)甲、乙两地之间的距离为________千米；慢车和快车的速度依次为______、_______； (2)图中转折点表示的实际意义为__________； (3)若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？ 20．如图，直线与y轴交于点A，直线与y轴交于点B，两直线交于点C，且点C的横坐标为2． (1)关于x，y的方程组的解是______． (2)求直线的关系式 (3)求的面积． (4)在直线的图像上存在异于点C的另一点P，使得与的面积相等，请求出点P的坐标． 参考答案 1．C 【分析】本题主要考查了函数的定义及图象，掌握函数的定义是解题的关键． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应的关系，据此即可确定函数的个数． 【详解】解：由图象可知，C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系； A，B，D的图象满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查了变量的概念，在一个事件中变化的量是变量，根据变量的概念逐一判断即可 【详解】解：由题意可知：10是常量，、是变量． 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质（k、b的取值对函数图象所在象限的影响） ，解题的关键是根据已知直线经过的象限确定k、b的符号，再结合符号判断另一条直线经过的象限． 先根据直线经过第一、二、四象限，确定、；再分析直线中（正）和（负）的符号对图象的影响，判断其经过的象限，进而确定不经过的象限． 【详解】解：  根据一次函数的图象性质：当时，直线从左到右上升；当时，直线从左到右下降；当时，直线交y轴正半轴；当时，直线交y轴负半轴． 已知直线经过第一、二、四象限， ∴（直线下降），（交y轴正半轴）． 对于直线： ∵（直线上升），（交y轴负半轴）， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．   故选：B． 4．B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，分别求出一次函数图象与x轴和y轴的交点即可得到答案． 【详解】解：当时，，，，， 即选项中的函数图象都经过点， A.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； B. 当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离不相等，符合题意； C. 当时，， 当时，，解得， ∴过原点，与x轴和y轴的交点到原点的距离相等，不符合题意； D.当时，， 当时，，解得， ∴与x轴和y轴的交点分别为，，与x轴和y轴的交点到原点的距离都为，不符合题意； 故选：B． 5．A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数经过的象限，一次函数与坐标轴围成的图形面积，一次函数的增减性，一次函数与坐标轴的交点问题，根据“上加下减”的平移规律可得一次函数解析式为，则可判断B、D；求出时，y的值，时，x的值，可得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而求出一次函数与坐标轴围成的图形面积，据此可判断A、C． 【详解】解：将正比例函数的图象向下平移5个单位后得到的函数解析式为， 在中，当时，， ∴一次函数与y轴的交点坐标点是，故A说法正确，符合题意； ∵， ∴一次函数经过第一、三、四象限，故B说法错误，不符合题意； 在中，当时，， ∴一次函数与x轴的交点坐标点是， ∴一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为，故C说法错误，不符合题意； ∵， ∴在中，y的值随着x值的增大而增大，故D说法错误，不符合题意； 故选：A． 6．D 【分析】此题考查的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题，分析水深与时间的关系是解答关键，随着时间的增加，水的深度越来越大，直到水深达到最大（脸盆的深度），随着西瓜的捞出，水深越来越小，直到最小（小于放西瓜前，因为水溢出了一部分），据此解答． 【详解】解：由题意得：把一个西瓜放入水中清洗，随着时间的增加，水的深度越来越大，直到水深达到最大（脸盆的深度），随着西瓜的捞出，水深越来越小，直到最小（小于放西瓜前，因为水溢出了一部分）， 能正确反映出盆中水深变化情况的图是D． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，两直线的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出这个交点的横坐标，再运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于一点， ∴ ∴ 解得 即这个交点的横坐标为， 观察函数图象得当时，则， 故选：C 8． 9 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将和代入函数解析式求解即可． 【详解】解：当时，， ∴当时，函数的值为9； 当时，即， 解得， ∴当函数值为4时，自变量x的值为． 故答案为：9；． 9． 【分析】本题考查了依次函数的图象与坐标轴交点问题，由于解析式已知为所以分别令直线解析式中和，即可得出直线与轴和轴的交点坐标． 【详解】解：由题意可知直线方程为， 令，代入方程可知， 令，代入方程可知， 直线与轴的交点坐标为，轴的交点坐标为． 故答案为：，． 10． 【分析】本题考查一次函数图象交点问题，联立两个一次函数的解析式，求方程组的解即可得到交点P的坐标． 【详解】解方程组 解得， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键． 根据菜园三边和为24米，可得到，变形即可得到y与x的关系式． 【详解】解：由题意可得，， 则有， 变形得： 故答案为： 12．3 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组的解之间的联系． 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】∵直线和直线交点P的坐标为， ∴二元一次方程组 解得， ∴． 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用待定系数法将点代入求一次函数解析式，然后再把点代入解析式中进行计算即可． 【详解】解：把代入中得：， 解得：， ， 把代入中得：， 解得：． 故答案为：． 14．①② 【分析】本题考查了函数图象的识别，观察函数图象结合数量关系逐一分析四个说法的正误是解题的关键． ①当时，，可得出A、B之间的距离为；②根据速度路程时间可求出乙的速度，再根据甲的速度路程时间乙的速度可求出甲的速度，二者相除即可得出乙行走的速度是甲的1．5倍；③根据路程二者速度和运动时间，即可求出；④根据甲走完全程所需时间两地间的距离÷甲的速度，即可求出．综上即可得出结论． 【详解】解：①当时，， ∴A、B之间的距离为，故结论①正确； ②乙的速度为， 甲的速度为， ∵ ∴乙行走的速度是甲的倍，故结论②正确； ③，故结论③错误； ④，故结论④错误． 故结论正确的有①②． 故答案为：①②． 15．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式和坐标系中面积问题，解题关键是熟练运用待定系数法，会用坐标表示线段长，根据面积列方程． （1）用待定系数法求解析式即可； （2）设，根据面积为9列方程即可． 【详解】（1）解：将点代入， 可得方程组：， 把代入，得， 解得：． 所以该一次函数的表达式为． （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴在轴上的距离为，到轴的距离为3． 由的面积为9，可得，即， 解得或， 所以点的坐标为或． 16．(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点代入可得b值即可求出解析式； （2）联立，求得交点为，在同一坐标系画出两个函数的图象，观察图象可知，当函数的值小于一次函数的值时，x的取值范围是． 【详解】（1）解：由平移知，， ∵经过点， ∴． ∴． ∴． （2）解：联立， 解得． ∴交点为． ∵函数的值小于一次函数的值， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数，熟练掌握求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像和性质，函数与不等式关系，是解题关键． 17．(1) (2)元 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）将代入函数解析式，求出y的值即可． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把时，时，代入得， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：把代入得：． 18．(1)大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为40元； (2)当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． （1）设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元，根据“2个大号“龙辰辰”和3个中号“龙辰辰”共230元，2个大号“龙辰辰”和1个中号“龙辰辰”共150元”，可以列出相应的方程组，然后求解即可； （2）设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元，根据题意和（1）中的结果，可以写出利润与购买大号的“龙辰辰”的个数函数关系，再根据大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半，可以得到购买大号的“龙辰辰”的个数取值范围，最后根据一次函数的性质即可求出利润的最大值． 【详解】（1）解：设大号的“龙辰辰”的进价为元，中号的“龙辰辰”的进价为元， 由题意可得：， 解得， 答：大号的“龙辰辰”的进价为55元，中号的“龙辰辰”的进价为40元； （2）解：设购买大号的“龙辰辰”个，则购买中号的“龙辰辰”个，利润为元， 由题意可得：， ∵， 随的增大而减小， 大号“龙辰辰”的个数不少于中号的一半， ， 解得， 当时，取得最大值，此时， 答：当购进大号“龙辰辰”20个时，销售总利润最大，最大利润是元． 19．(1)900；75；150 (2)快车到达乙地时，两车之间的距离 (3)小时 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息： （1）由图象可知甲、乙两地之间的距离；由图象可知慢车行驶900千米，用12小时，求出慢车的速度，根据行驶4小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）根据第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间． 【详解】（1）解：由图象可知：甲、乙两地之间的距离是900千米， 由图象可知慢车行驶900千米，用12小时， ∴慢车的速度：（千米/小时）， ∵行驶4小时，慢车和快车相遇， ∴慢车和快车行驶速度之和为：（千米/小时）， ∴快车的速度：（千米/小时）， 故答案为：900；75；150 （2）解：观察图象得：转折点表示的实际意义为快车到达乙地时，两车的距离； 故答案为：快车到达乙地时，两车之间的距离； （3）解：∵第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇， ∴当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是（千米）， 而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离千米， ∴两列快车出发的间隔时间：（小时）， ∴第二列快车比第一列快车晚出发小时． 20．(1) (2) (3)8 (4) 【分析】本题考查了两直线交点与对应二元一次方程组的解，两直线围成的三角形面积等知识，理解两直线交点的坐标是对应方程组的解，掌握直线与坐标轴交点的求法是解题的关键； （1）由点C的横坐标为2求出C的坐标，即可求解； （2）将C的坐标代入，即可求解； （3）由和求出、的坐标，由三角形的面积公式即可求解； （4）由三角形面积公式得，由面积相等，即可求解； 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2， ∴把代入，解得：， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：； （2）解：由（1）得：， 把代入， 即， 把代入， 即； （3）解：对于直线，把代入得：， ∴， 对于直线，把代入得：， ∴， ∴， ∵， ∴通过观察图像可得以为底边的高， ∴； （4）解：由题意得：， ∵与的面积相等， ∴， 解得：， ∵点是异于点， ∴， ∴， 把代入，解得：， ∴； 学科网（北京）股份有限公司 $