2.2平方根与立方根(第4课时)课件2025--2026学年北师大版（2024）八年级数学上册

该初中数学课件围绕实数的估算展开，从长方形荒地面积问题切入，通过设未知数、列方程、求解无理数近似值，自然引出√200000和∛2000的估算方法，构建了从实际情境到数学建模再到逻辑推理的学习支架，前后知识衔接紧密，层层递进。 其亮点在于深度融合数学眼光、数学思维与数学语言三大核心素养，以真实情境为载体，引导学生用几何直观理解面积与边长的关系，用逻辑推理确定无理数范围，用符号表达解决实际问题。例如在估算圆半径时，学生需结合π的取值进行数值逼近，体现数据意识与模型观念。这种“问题驱动+方法归纳”的教学设计，既提升学生的运算能力与推理意识，又增强他们用数学语言描述现实的能力，有助于教师高效落实新课标要求，也帮助学生建立数学与生活的深层联系。

　 第二章 实数 2.2 平方根与立方根(4) ---估 算 学 习 目 标 1.能通过估算检验计算结果的合理性.（重点） 2.能估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小.（难点） 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园。已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2。 (1)公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？ S =400 000 ＞400 000m2。 所以公园的宽没有1 000m。 情境引入 当长方形的宽为1000m时， 面积为2000×1000=2000 000m2 1000 2000 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ 设宽为xm,则长为2xm。 由题意得 x·2x = 400 000 2x2 = 400 000， 即 x2 = 200 000， 大约是多少呢？ 经估算，x≈450。即公园的宽约为450m。 x = 。 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400 000m2. (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800m2, 你能估计它的半径吗？(结果精确到1m) 情境引入 解：设圆的半径为r,由题意得， πr2 = 800, 经估算，x≈16。 r2 ≈ 254.78。 所以估计圆的半径约为16m。 r = (3)宽与长之比为的长方形称为“黄金矩形”。你能比较与的大 小吗?你是怎么想的? 思考·交流 (1)下列计算结果正确吗?你是怎样判断的?与同伴进行交流。 ≈0.066 ， ≈ 96 ， ≈ 60.4 。 (2)你能估算的大小吗(结果精确到1)? ∵0.0662 = 0.004356，∴ ≈0.066 不正确。 ∵ = 10，∴＜10， 因此 ≈ 96不正确。 ∵ ，∴ ＜，因此 ≈ 60.4 不正确。 ∵ = 9， = 10，∴9＜ ＜10。 ∵9.53 = 857.375 ＜900 ， ∴ ＞9.5 ∴ ≈10。 ∵ ，∴2＜ ＜3，∴ 2－1＜ －1＜3－1。 ∴ ＞ 。 即 －1＞1。 1.估算无理数 (误差小于0.1)。 探一探 怎样估算一个无理数的大小？ ∵( = 12.5, 32＜12.5＜42, 所以 的估算值是3.5或3.6。 ∴ 的整数部分是3。 ∵3.52＜12.5＜3.62 ∵3.5 ＜ ＜ 3.6 , ∴3＜ ＜4， 2.估计无理数 的大小(误差小于1). 探一探 怎样估算一个无理数的大小？ 123＜2000＜133. ∵( )3 = 2000, ∴ 12＜ ＜13。 ∴ 的估计值为12或13。 (1)通过利用乘方与开方互为逆运算，采用“两端靠近法”，确定其 数值所在范围； (2)根据问题中误差允许的范围，在其数值的范围内取出近似值。 怎样估算一个无理数的大小？ 说一说 例题学习 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定。如图，现有一长度为6m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到5.6m高的墙头吗？ 例 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度为xm， 此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 , 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6m高的墙头。 根据勾股定理，有x2＋( ×6)2 = 62， 即x2 = 32，x = 。 因为5.62 = 31.36＜32，所以 ＞5.6 。 x 6 6 随堂练习 1.估算下列数的大小： (1) (结果精确到0.1)； (2) (结果精确到1) ； (3) (结果精确到1)； (4)(结果精确到0.1)。 解：(1) ≈ 3.7； (2) ≈ 9； 2.通过估算，比较 与2.5的 大小. 解：因为()2 = 6, 2.52 = 6.25, 6 ＜ 6.25， 所以 (4) ≈ 0.9。 (3) ≈ 37； 1.估算无理数大小的方法： (1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2)根据所要求的误差确定小数部分。 2.比较两数的大小： (1)数轴比较； (2)平方比较法； (3)两端靠近估算法； (4)作差或作商比较法。 课堂小结 9.通过估算,比较下面各组数的大小: 习题2.2 (1) ， ；(2) ,3.85；(3) ， 。 解：(1)∵＜2，∴－1＜1， ∴ ＜ 。 (2)∵3.852 = 14.8225 ，15＞14.8225， ∴ ＞3.85。 (3)∵＜，∴4＜9，∴ 4－4＜5。 两边同时除以8得＜ ，即 ＜ 。 习题2.2 14.下列计算结果正确吗？说说你的理由。 (1) (2) 解:(1)∵902 ＜ 8955 ＜ 1002 ∴ 90＜ 所以不正确。 【法二】∵8955＞100， ∴ 即不正确。 (2)∵233＜ 12345 ＜ 24 ∴ 23＜ 所以不正确。 【法二】∵12345＜1000000， ∴ 即不正确。 21.小明放风筝时不小心将风筝落在了4.8m高的墙头上，他请爸爸帮他取 风筝。爸爸搬来梯子，将梯子稳定摆放(梯子底端离墙的距离约为梯 子长度的)，此时梯子顶端正好抵达墙头，爸爸问小明梯子的长度有 没有5m，你能帮小明一起算算吗？ 习题2.2 4.8 x 解：设梯子长度为xm，此时梯子底端离墙的距离为 xm. 所以梯子的长度大于5m。 由勾股定理得 x2 = ( x)2 ＋ 4.82， x2 = 25.92， 解得x= ＞5， 因为 作 业 教材38页第8题 随堂检测 1.已知a = ，b = ，c = ，则下列大小关系正确的是(　　)。 A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b A 2.已知甲,乙,丙三数，甲为 5＋,乙为3＋ ，丙为1＋ ， 则甲、乙、丙的大小关系是(　　)。 A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲 = 乙= 丙 A 3.若 。 4 再 见 $