2.2平方根与立方根(第3课时)课件2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件围绕实数章节中的平方根与立方根展开，以三阶魔方体积问题导入，自然衔接旧知（平方根）与新知（立方根），构建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解数的开方运算本质及其在现实情境中的应用。 其亮点在于紧扣核心素养，通过真实情境激发数学眼光，如用正方体体积变化引导学生发现立方根的意义，体现几何直观与创新意识。在例题解析中强化数学思维，如通过对比正负数立方根性质，训练推理能力，同时借助表格归纳总结知识结构，提升模型意识和表达能力。学生能建立清晰的知识脉络，教师可借此优化教学设计，实现高效课堂。

第二章 实数 2.2 平方根与立方根(3) ---立方根 1.掌握立方根的概念，了解立方根的性质； 2.学会求一个数的立方根； 3. 熟练掌握开立方运算，会运用开立方运算求值并解决实际问题。 重点 了解立方根的性质，会求出或表示出一个实数的立方根。 难 点 熟练掌握开立方运算，解决实际问题。 学习目标 练一练： 下列说法中正确的是（ ） A. B. 算术平方根是它本身的是0和1； C. D. 7的平方根是 = 10 ； 的 平方根是 5 ； 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。 B 平方根的概念： 温故知新 情境引入 如图，一个三阶魔方由形状和大小都相同的小正方体组成。假如要制作一个体积为216cm3的三阶魔方，每个小正方体的棱长是多少？ 设每个小正方体的棱长为xcm, 则有 (3x)3 = 216。 27x3 = 216, x3 = 8 那么 x 等于多少呢？ 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3 = a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。 学一学 立方根概念： 例如： （1）_____是8的立方根； （2） 是 的立方根； （3） 0的立方根是_______； 2 0 尝试·思考 一个数的立方根只有一个。 ∵23 = 8， ∴8的立方根是2； (2)求 8，0，－27的立方根。 (3)正数有几个立方根？0有几个立方根？负数呢？ (1)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？ ∵03 = 0， ∴0的立方根是0； ∵(－3)3 = －27，∴－27的立方根是－3。 正数有1个立方根，0有1个立方根，负数有1个立方根。 立方根的性质 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。 学一学 求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。 开立方概念： 注意：对于 ,这里的a的取值范围是任意实数，a的符号与 的符号是相同的。 每个数a都有一个立方根，记作 ，读作“三次根号a”。例如： 当x3 = 7时，x是7的立方根，即x = ；而23 = 8，2是8的立方根，即=2。 例题学习 求下列各数的立方根： (1)27； (2)； (3)0.216； (4)5。 例5 解:(1)∵(－3)3=－27，∴－27的立方根是－3， (3)∵0.63 = 0.216，∴0.216的立方根是0.6， (2)∵ ∴ 的立方根是 ， ()3 = 即 = －3； 即 = ； 即 = 0.6； (4)-5的立方根是 习题2.2 1.求下列各数的立方根： (1)0.001；(2)－1；(3)－；(4)8000；(5)；(6) －512. 解:(1)∵0.13 = 0.001，∴0.001的立方根是0.1， (4)∵203 = 8000，∴8000的立方根是20， 即 = 0.1； 即 = 20； (2)∵(－1)3 = －1，∴－1的立方根是－1， 即 =－1； (3)∵ ∴ 的立方根是 ， (－)3 = － － － 即 =－； (5)∵ ∴ 的立方根是 ， ()3 = = ； 即 (6)∵(－8)3 = －512，∴－512的立方根是－8， 即 =－8。 思考·交流 (1)在例5中，一些数的立方根的结果没有“”了，这些数有什么特点？ (2)在例5中， = －3，也就是 = －3，一般地， = a 成立吗？ 这些数都等于一个有理数的立方。 = a 成立。 (3)()3 = a成立吗？与同伴进行交流。 因为是a的立方根，所以()3 = a成立。 例题学习 解：(1) = = －2； (2) = = 0.4； (3) ； － = = － － (4) = 9。 ()3 求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)()3. 例6 1.求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)()3 。 随堂练习 解：(1) = = 0.2 ； (2) = = －4； (3) ； = 5 (4) = 16。 ()3 2. 一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体 的棱长是多少？ 课堂练习 解：设大正方体的棱长为xcm， 则大正方体体积为： x3 = 833 = 216， ∴ x = = = 6。 因此，整个正方体的棱长是6cm。 平方根 立方根 表示方法 a的取值 a0 a是任何数 性 质 正数 互为相反数（两个） 正数（一个） 0 0 0 负数 无 负数（一个） 课堂小结 平方根和立方根有什么联系与区别？ 习题2.2 a 1 8 27 64 5 6 7 8 9 10 练一练：填写下表： 1 2 3 4 125 216 343 512 729 1000 13.(1)对于正数k，随着k值的增大，它的算术平方根怎样变化？ (2)对于正数k，随着k值的增大，它的立方根怎样变化？如果k是一个负数， 随着k值的增大，它的立方根又怎样变化呢？ 解：(1)正数k的算术平方根随着k值的增大而增大； (2)正数k的立方根随着k值的增大而增大； 负数k的立方根随着k值的增大而增大。 习题2.2 19.快递自取柜某格口尺寸为45 cm × 34 cm ×29 cm，现有一个体积为 0.027m³的正方体形的纸箱，能否将该纸箱完全放入其中?为什么? 解：不能将该纸箱完全放入其中。 理由如下：因为正方体形纸箱的体积为0.027m3 , 所以正方体形纸箱的边长为 = = 0.3m。 因为0.3m = 30cm ， 30cm＞29cm， 所以不能将该纸箱完全放入其中。 25.一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积 变为原来的27倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000 倍呢？体积变为原来的n倍呢？ 习题2.2 解：设原来小正方体的边长为a，则其体积为a3. (1)当体积变为原来的8倍时，设此时正方体边长为x,则x3 = 8a3, 所以x= = 2a， 此时它的棱长变为原来的2倍。 (2)当体积变为原来的27倍时，设此时正方体边长为x,则x3 = 27a3, 所以x= = 3a， 此时它的棱长变为原来的3倍。 (3)当体积变为原来的1000倍时，设此时正方体边长为x,则x3 =1000a3, 所以x= = 10a， 此时它的棱长变为原来的10倍。 (4)当体积变为原来的n倍时，设此时正方体边长为x,则x3 = na3, 所以x= = a， 此时它的棱长变为原来的 倍。 某化工厂使用半径为1m的一种球形储气罐储藏气体. 现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？(球的体积公式为V= r3，r为球的半径。) ∴新球体的体积V′= 8× = m3。 解：∵原球体的体积V= = ×13 m3， r3 化简得 R3=8.那么R = ； 当储气罐的体积是原来的4倍时，则R3 = 4，那么R = 。 拓展提升 设新球体的半径为Rm,则有 R3 = 2m m 作 业 教材38页习题2.27第7题 随堂检测 一个正方体木块的体积为1000cm3，现要把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长是多少？ 解：设小正方体木块的边长为a cm。 ∵每个小正方体的体积为1000÷8 = 125 cm3, ∴a3 = 125, 答：小正方体木块的边长为5cm。 ∴a = = 5cm。 再 见 $