专题03 一元一次方程题型全归纳 2025-2026学年苏科版七年级上学期数学同步培优题型全归纳

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1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 名师点拨 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1. 是一个方程; 1. 必须只含有一个未知数; 1. 含有未知数的式子都是整式; 1. 未知数的次数都是1． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 1. 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 1. 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 【考点01 利用等式的基本性质判断】 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】此题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解决问题的关键．根据等式的基本性质，对题目中的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：A、当时，，原推理错误，不符合题意； B、如果，那么，原推理错误，不符合题意； C、如果，那么，原推理错误，不符合题意； D、如果，那么，原推理正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列运用等式的基本性质变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 【答案】A 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】解：、由，当时，得，原选项变形错误，符合题意； 、由得，原选项变形正确，不符合题意； 、由得，原选项变形正确，不符合题意； 、由得，原选项变形正确，不符合题意； 故选：． 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题考查等式的基本性质，需注意分母不能为零的情况，根据不等式的基本性质意义判断即可； 【详解】解：：等式两边同乘，无论是否为0，等式成立（若，两边均为0，仍成立），故A正确． ：当时，分母为0，此式无意义，故B错误． ：等式两边同加，故C正确． ：等式两边同减，故D正确． 故选B． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质成为解题的关键． 根据等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A．由，则成立，故此选项正确，不符合题意； B．由，当时，不成立，故此选项不正确，符合题意； C．由，则成立，故此选项正确，不符合题意； D．由，则成立，故此选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．（22-23七年级上·江苏泰州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【知识点】等式的性质2、等式的性质1 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时除以一个不为零的数或式子等式仍然成立．根据等式的性质求解即可． 【详解】解：A、如果，当时，不一定成立，变形错误，不符合题意； B、如果，那么，变形错误，不符合题意； C、如果，那么，变形错误，不符合题意； D、如果，那么，变形正确，符合题意； 故选：D． 【考点02 利用方程概念判断是不是方程】 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】此题考查方程的辨识：只有含有未知数的等式才是方程，熟练掌握方程的概念是解题的关键．方程必须具备两个条件：①必须含有未知数；②必须是等式；据此解答． 【详解】解：A、 是等式，但不含未知数，所以不是方程； B．不是等式，所以不是方程； C．是代数式，所以不是方程； D．含有未知数，是等式，所以是方程； 故选：D． 7．（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题考查了方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键：含有未知数的等式叫做方程，方程的定义有两层含义：方程必须是一个等式，即是用等号连接而成的式子；方程中必有若干个待确定的数，即未知的字母，这些字母就是未知数．方程与等式的区别与联系如下： 概念及其特点 区别 联系 方程 含有未知数的等式叫做方程．一个式子是方程，要满足两个条件：一是等式，二是含有未知数 方程一定是等式，并且是含有未知数的等式 方程是特殊的等式 等式 用等号来表示相等关系的式子叫做等式．等式的主体是相等关系 等式不一定是方程，因为等式不一定含有未知数 方程和等式的关系是从属关系，且有不可逆性 根据方程的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：是方程； 是不等式，不是方程； 是方程； 是方程； 可化简为，化简后不含有未知数，不是方程； 是方程； 是方程，共个， 故选：． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断各式是否是方程 【分析】本题主要考查了方程的定义，解题的关键是掌握方程的定义：含有未知数的等式是方程． 根据方程的定义：含有未知数的等式是方程，即可进行解答． 【详解】解：A、不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，故不是方程，不符合题意； C、不是等式，故不是方程，不符合题意； D、是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 考点03 利用一元一次方程的概念判断 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】考查了一元一次方程的定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．根据一元一次方程定义进行分析即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意； B、未知数次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； C、不是方程，故此选项不符合题意； D、中有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：A． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义，是解题的关键．根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程）进行判断． 【详解】解：A. 方程中含有两个未知数x和y，属于二元一次方程，故A不符合题意； B. 方程中未知数x的次数为2，属于一元二次方程，故B不符合题意； C. 方程中仅含有一个未知数x，且次数为1，符合一元一次方程的定义，故C符合题意； D. 该式是不等式，不是方程，直接排除，故D不符合题意． 故选：C． 13．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只有一个未知数，且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程．据此即可求解． 【详解】解：A、，分母含有未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； B、，未知数的最高次不是次，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； C、，含有个未知数，不是一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意； D、是一元一次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、 是不等式，不是方程，选项错误； B、 是代数式，不含等号，不是方程，选项错误； C、 中，若，则为关于的一元一次方程；但题目未明确，当时方程不成立，选项错误 D、 是等式，仅含未知数且次数为1，符合一元一次方程的定义，选项正确； 故选：D． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，是一元一次方程的为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是一元一次方程 【详解】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且为整式方程）逐一判断各选项即可． 【分析】A．含有两个未知数和，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B．中是分式，不是整式方程，因此不是一元一次方程，故该选项不符合题意； C．中未知数的最高次数为2，是二次方程，故该选项不符合题意； D．化简为，仅含一个未知数，次数为1，且为整式方程，符合一元一次方程的定义，故该选项符合题意． 故选：D． 考点04 利用一元一次方程的解求参数的值 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 ． 【答案】2 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：把代入方程，得， ， 故答案为：2． 17．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能求出的值是解此题的关键．小强漏抄负号后解得的可求出k的值，再代入原方程求解即可． 【详解】小强将方程抄为，解得， 则将代入错误方程得：， 解得：． 原方程为：， 移项得：， 即， 解得：． 故选：A． 18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的解以及解一元一次方程，将代入原方程即可求出a的值． 【详解】解：将代， ， ， 故选：A． 19．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查一元一次方程方程，把代入得计算求解即可． 【详解】解：将代入得 解得 故答案为：． 20．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ． 【答案】0或1或3 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1 ，得， ∵关于的方程的解是正整数， ∴是正整数， ∴或2或4， ∴或1或3， 故答案为：0或1或3． 考点05 一元一次方程的解法 21．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）方程按去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可； （2）方程按去分母、去括号、移项，合并同类项，系数化为1，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：去括号得， 移项，合并得， 把系数化为1，； （2）解：， 去分母，得，， 去括号，得，， 移项，合并得，， 把系数化为1，． 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解； 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 23．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的步骤，正确的计算，是解题的关键． （1）移项，合并同类项，系数化1，解方程即可； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解方程即可． 【详解】（1）解： 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：； （2） 解：去分母，得：， 去括号，得： 移项，得：， 合并，得：， 系数化1，得：． 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算． （1）先去分母、然后移项合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先边分数为整数，然后去分母、去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 原方程可变为：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：． 25．（24-25七年级上·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 考点06 一元一次方程的实际应用——古代数学文化问题 26．（22-23七年级上·广东深圳·期末）“鸡兔同笼”问题是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？如果我们设有x只鸡，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可得，鸡和兔子一共有35只，则兔子有只，根据一共有94只脚，列出方程即可． 【详解】解：设有x只鸡，则有只兔子， 可列方程为：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程． 27．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，差4钱．根据题意列方程，则方程中x 所表示的量是 ． 【答案】物品价格 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，可以列出相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：根据人数是不变的和每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，列方程 ， 则方程中x所表示的量是物价． 故答案为：物品价格． 28．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是利用“大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个”列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ， 故答案为：． 29．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 30．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 【答案】(1)见解析 (2)兔有只，鸡有只 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】本题主要考查了用一元一次方程解决实际问题，解答本题的关键是仔细审题，根据等量关系得出方程，难度一般． （1）根据上有三十五头，得出鸡和兔共有35只，设兔有x只，则鸡有只，分别根据一只鸡有2足，一只兔子有4足，表示出鸡和兔子的总足数即可； （2）根据解析中得出的结果，结合鸡、兔共94足列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵上有三十五头， ∴鸡和兔共有35只， 设兔有x只，则鸡有只，兔的足数为，鸡的足数为． 项目 只数 足数 鸡 兔 x 合计 35 94 （2）解：设兔有x只，则鸡有只，根据题意得： ， 解得：， 则（只）， 答：兔有只，鸡有只． 考点07 一元一次方程的实际应用——配套问题 31．（2023七年级上·江苏·专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． (1)该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 【答案】(1)该车间有男生18人，则女生人数是26人 (2)分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，根据“男生人数+女生人数＝44”列出方程并解答； （2）首先设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺丝数量螺母数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ． 解得 则． 答：该车间有男生18人，则女生人数是26人． （2）设应分配y名工人生产螺丝，名工人生产螺母，由题意得： 解得：， 答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 32．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．设小和尚有x人，则大和尚有人，根据题意可得，小和尚每人分个馒头，大和尚1人分3个，列出方程即可． 【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有人， 依题意列方程得， 故选：A． 33．（23-24七年级上·江苏南京·期末）去年秋季，我市某果树基地安排名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装个苹果或者个梨，每个果篮中放个苹果和个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮．若设有名工人包装苹果，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设有名工人包装苹果，根据使包装的水果刚好完整配成果篮，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设有名工人包装苹果，则名工人包装梨，根据题意得， ， 故选：C． 34．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 【答案】12 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题的关键．设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块，可得五边形的边数共有条，六边形边数有条．由图可得，一块白色皮子（六边形）中，有三边与黑皮子（五边形）相连，可得白色皮子边数是黑皮子边数的2倍，由此列出方程，即可求解． 【详解】解：设足球上黑色皮子有x块，则白色皮子为块， ∴五边形的边数共有条，六边形边数有条． 由图形关系得：每个正六边形白色皮子的周围有3个黑色皮子边， ∴白色皮子的边数为黑色皮子的2倍， ∴， 解得：， 答：黑色皮子共有12块． 故答案为：12． 35．（22-23七年级上·江苏南京·期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？设应用钢材做A部件，则可列一元一次方程为 ．（方程不需要化简） 【答案】 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设应用钢材做A部件，则应用钢材做B部件，根据两个A部件和三个B部件刚好配成套，列方程即可． 【详解】解：设应用钢材做A部件，则应用钢材做B部件， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出的一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程． 考点08 一元一次方程的实际应用——工程问题 36．（23-24七年级上·江苏南通·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需（    ） 天数 第3天 第7天 工作进度 A．35天 B．30天 C．15天 D．10天 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题是一元一次方程的应用的工程问题，需要特别注意的是把问题分段分析，分清每段的情况即可．首先求出甲的工作效率为，然后设乙的工作效率为x，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：甲自己做需天， ∴甲的工作效率为 设乙的工作效率为x， 根据题意得，， 解得 ∴乙的工作效率为， ∴若乙单独完成这项工作，则需30天． 故选：B． 37．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用．利用等量关系：甲工作量+乙工作量=总工作量，进而得出方程求出即可． 【详解】解：设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作， ∵甲单独做需要14小时完成，乙单独做需要11小时完成， ∴甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得， 故答案为：． 38．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要 天． 【答案】3 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、列出方程是解题的关键． 设甲队还需要x天完成，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要x天完成， 由题意可得：，解得：． 所以甲队还需要3天． 故答案为：3． 39．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）一件工作，甲单独做完成，乙单独做完成，现甲单独做后，乙加入和甲一起做，还要几小时完成？若设还要完成，则依题意可列方程为 ． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】设还要完成，根据整个工程量为单位1，列出方程即可． 【详解】解：设还要完成，根据题意得： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据工程量为单位1，列出方程． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 41．（24-25七年级上·江苏南通·期末）一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 【答案】(1)乙队还需要5天能够完成任务 (2)甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握工程问题的数量关系是解题的关键． （1）设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意分别算出甲乙两队工作量，由此即可求解． 【详解】（1）解：设甲乙两队同时施工5天后，余下的工程乙队还需要x天能够完成任务． 根据题意，列得方程． 解得． 答：乙队还需要5天能够完成任务． （2）解：甲队的工作量为，乙队的工作量为，（万元）， 答：甲队的报酬为6万元，乙队的报酬为6万元． 42．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）用一元一次方程解决问题：一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用天，请问甲做了多少天？ 【答案】甲做了4天． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程解决实际问题，理解数量关系，掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设甲、乙合作了天，则剩下的部分由乙独做了天，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：设甲、乙合作了天，则剩下的部分由乙独做了天， ∴， 解得，， ∴甲、乙合作了4天， ∴甲做了4天． 43．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 【答案】7个月 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．设甲队还需要个月完成任务，根据合作3天的工作量+甲队单独完成的工作量列方程求解即可． 【详解】解：设甲队还需要个月完成任务．根据题意，得 解这个方程，得 答：甲队还需要7个月完成任务． 44．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）列一元一次方程解决问题∶ 某部长篇小说分为上、中、下三册．印刷上、中、下三册的工作量之比为．其中，上册由甲车间单独印刷，用了，中册由乙车间单独印刷，用了．上、中两册印刷完成后，下册由甲、乙两车间合印，还需要多长时间可以完成全部印刷工作？ 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．设还需要可以完成全部印刷工作，根据题意列出方程，求出的值即可． 【详解】解：设还需要可以完成全部印刷工作， 由题意得，， 解得：． 答：下册由甲、乙两车间合印，还需要可以完成全部印刷工作． 45．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 【答案】(1)甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； (2)甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据“由甲工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元”建立方程求解即可得到，然后计算耗资即可； （）根据题意，有如下三种方案，方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资万元；方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元；方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月，分别计算出各自的耗资，再比较即可作出判断； 本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系，建立适当方程求解，并结合题意进行方案设计是解题关键． 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队合作修建需个月完成，根据题意： ， 解得， ∴， 答：甲、乙两工程队合作修建需个月完成，共耗资万元； （2）解：根据题意，有如下三种方案： 方案一：由甲工程队单独修建需个月完成任务，耗资（万元）； 方案二：由甲、乙两工程队合作修建需个月完成任务，耗资万元； 方案三：由甲、乙两工程队合作修建一段时间，剩下的由乙工程队单独完成，共耗时个月， 设甲、乙合作个月，剩下的由乙来完成， ， 解得， 此时耗资（万元）， 因为， 所以甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金． 考点9 一元一次方程的实际应用——行程问题 46．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）甲、乙两车分别从相距的、两地出发，沿足够长的公路行驶，甲车速度为，乙车速度为．两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距？ 【答案】10小时或26小时后两车相距 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握行程问题中的一些等量关系，能够设未知数并列出方程．分情况讨论，相遇之前相距和相遇之后相距，设时间为x小时，列方程求解． 【详解】解：依题意，两车相距分两种情况， ①相遇之前相距，乙车路程一开始相距的距离甲车路程， 列式：， 解得， ②相遇之后相距，甲车路程（乙车路程一开始相距的距离）， 列式：，解得， 答：10小时或26小时后两车相距． 47．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某市网约车的车费由起步价、里程费、时长费三部分构成．网约车A和网约车B车费标准见如表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）． 网约车A 起步价：12元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 网约车B 起步价：10元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 (1)如果网约车A和网约车B的里程数都是10公里，它们的车费分别为 、 元； (2)如果从甲地到乙地，乘坐网约车A比网约车B节省元，求甲、乙两地间的里程数； (3)网约车A和网约车B对第一次下单的乘客有如下优惠活动：网约车A需先购买元的优惠券后车费可打八折；网约车B超过10公里车费立减元；如果两位顾客都是第一次下单从甲地到乙地，分别乘坐网约车A、网约车B总费用相同，请直接写出两位顾客乘车的里程数． 【答案】(1)43， (2)甲、乙两地相距16公里 (3)5公里或者30公里 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查列代数式以及一元一次方程的解，理解题意是解题关键． （1）根据题信息，可以得知车费起步价里程费时长费，根据里程10公里，分别求出各项费用相加即可； （2）设甲乙两地的里程数为x，则行驶时间为分钟，分别求出网约车A和B的车费，再根据乘坐网约车A比网约车B节省元列出一元一次方程，解出x即可； （3）设两位顾客乘车的里程数为y公里，则网约车行驶时间为分钟， 求出网约车A的车费为元，网约车B的车费则要分情况讨论，当时，车费为元；当时，车费为元，再根据乘坐网约车A、网约车B总费用相同列出一元一次方程，即可求出y． 【详解】（1）解：网约车A：里程数是10公里，则里程费是（元）， ∵平均速度为40公里/时， ∴行驶时间为（分钟）， ∴时长费为（元）， ∴车费为（元）， 网约车B：里程数是10公里，则里程费是（元）， ∵平均速度为40公里/时， ∴行驶时间为（分钟）， ∴时长费为（元）， ∴车费为（元）， 故答案为：43，； （2）解：设甲、乙两地间的里程数为x公里， 则行驶时间为分钟， ∴网约车A的车费为元， 网约车B的车费为元， ∵网约车A比网约车B节省元， ∴， 解得：， 答：甲、乙两地相距16公里； （3）解：设两位顾客乘车的里程数为y公里，则网约车行驶时间为分钟， ∴网约车A的车费为元， 网约车B的车费：当时，车费为元， 当时，车费为元， ∵乘坐网约车A、网约车B总费用相同， ∴或， 解得：或， 答：两位顾客乘车的里程数为5公里或者30公里． 48．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）2018年12月26日，响水县高铁站正式启用．为了提高市民出行便利性，政府部门特别增设了一条从二汽南站直达高铁站的8号公交线路，该线路全长13800米．公交车在这条线路上的平均速度为每分钟600米．某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿8号公交线路前往高铁站接亲戚．当他们经过二汽南站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出发前往二汽南站．已知轿车的平均速度为每分钟1000米． (1)请问公交车出发后多少分钟时与轿车相遇？ (2)小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（亲戚上车时间忽略不计）按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 【答案】(1)分钟 (2)分钟 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出一元一次方程成为解题的关键． （1）设公交车出发后x分钟时与轿车相遇，根据相遇问题列一元一次方程求解即可； （2）设他们y分钟追上这辆公交车，然后根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设公交车出发后x分钟时与轿车相遇， 由题意可得：，解得：． 答：公交车出发后分钟时与轿车相遇． （2）解：设他们y分钟追上这辆公交车， 由题意可得：，解得：． 答：他们分钟追上这辆公交车． 49．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲乙两地相距，一辆客车从甲地开往乙地，速度为，一辆出租车从乙地开往甲地，速度为，两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶．设客车行驶时间为． (1)出发多长时间两车相遇？ (2)分别写出和时两车的距离； (3)甲、乙两地之间有、两个加油站，相距，若客车进入站加油时，出租车恰好进入站加油．求加油站到甲地的距离． 【答案】(1) (2)时，两车相距；时，两车相距；时，两车相距 (3)或 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程, (1)根据题意得：，即可解得出发小时两车相遇； (2)分别计算当时，当时，当时，两车相距距离即可； (3)设加油站到甲地的距离为，分两种情况列方程即可解得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， 出发小时两车相遇； （2）解：当时，两车相距， 当时，两车相距， 当时，乙车已经到达目的地，此时两次相距； （3）解：设加油站到甲地的距离为，当加油站比加油站更靠近甲地时， ， 解得， 当加油站比加油站更靠近乙地时， ， 解得， 加油站到甲地的距离为或． 50．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 【答案】小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出数量关系是解题关键．设小明出发分钟可以追上妈妈，根据题意列方程，求得小明出发分钟可以追上妈妈，此时妈妈步行了分钟，再根据妈妈步行到火车站需要30分钟，即可得出答案． 【详解】解：设小明出发分钟可以追上妈妈， 由题意得：， 解得：， 即小明出发分钟可以追上妈妈， 此时妈妈步行了分钟， 分钟，即妈妈步行到火车站需要30分钟， 因为20分钟30分钟， 所以小明能在妈妈到达火车站前追上她，在妈妈出发20分钟后追上她． 考点10 一元一次方程的实际应用——阶梯收费问题 51．（24-25七年级上·江苏南通·期末）请根据素材1、素材2与素材3，探索并完成任务1、任务2与任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量不超过14吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第二阶梯（用水量超过14吨，且不超过21吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第三阶梯（用水量超过21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 素材3 如，某用户2024年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年5、6月份共用水42吨（月份用水量超过5月份用水量），共缴水费元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 【答案】任务1：设该用户12月份的污水处理费为元；任务2：当时，应缴水费元；当时，应缴水费元；当时，应缴水费元；任务3：该户居民5、6月份各用水14吨和28吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 任务1：求出用水量是14吨及21吨所需的自来水费，将其与元比较后，可得出该用户12月份的用水量超过14吨且不超过21吨，设该用户12月份的用水量为x吨，根据该用户12月份的自来水费为元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； 任务2：分，及三种情况，利用总价=单价数量，结合各阶段的单价，即可用含a的代数式表示出应缴水费； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则6月份的用水量为吨，分及两种情况考虑，根据该用户2024年5、6月份共缴水费元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：任务1：元，元，， 该用户12月份的用水量超过14吨且不超过21吨． 设该用户12月份的用水量为x吨， 根据题意得：， 解得：， 元 答：设该用户12月份的污水处理费为元； 任务2：当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 任务3：设该用户5月份的用水量为y吨，则6月份的用水量为吨， 当时，， 解得：， 吨； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该户居民5、6月份各用水14吨和28吨． 52．（24-25七年级上·江苏南通·期末）居民生活用水通常按户计费.下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量 收费标准（元） 第一阶梯 0~180（含180） 4.5 第二阶梯 180~240（含240） 6 第三阶梯 240以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家2024年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家2024年的年用水量为，水费为1650元，求的值； (3)若该城市某户居民2024年的年用水量为，这户居民的水费是多少元？（用含的代数式表示） 【答案】(1)930 (2) (3)这户居民的水费是元． 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、整式加减的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算． （1）利用小明家这一年的水费超过的部分，即可求出结论； （2）利用该城市小颖家2024年的水费超过的部分，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）分，及三种情况，利用含t的代数式表示出这户居民的水费即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）， ∴小明家这一年的水费是930元． 故答案为：930； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：a的值为8； （3）解：当时，这户居民的水费是元； 当时，这户居民的水费是元； 当时，这户居民的水费是元． 综上所述，这户居民的水费是元． 53．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【材料阅读】 某地对居民每月用电设定如下两种计费方式供居民选择： 方式一：“分档”计算电费，电价如表1，即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，总电费等于各档电费的总和； 方式二：“分档＋分时”计算电费，其中峰谷时段的电价差额如表2，总电费＝分档电费＋峰时段增加的电费－谷时段减少的电费． 表1 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230 表2 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（当日~当日） （每度电在各档电价基础上加价元） 谷时段（当日~次日） （每度电在各档电价基础上降低元） 例如：某居民家月用电量500度，其中峰时段电量360度，谷时段电量140度． 若使用方式一，总电费（元）． 若使用方式二，总电费（元）． 【问题解决】 (1)若小明家4月份的用电量为300度，其中峰电量200度，谷电量100度．则使用方式一计费，电费为 元，使用方式二计费，电费为 元； (2)若小明家5月份使用方式一交费，电费为192元，求小明家5月份的用电量． (3)若小明家6月份的峰电量是谷电量的倍，并且使用方式二计费会比使用方式一计费节约元，求小明家6月份峰时段、谷时段用电量分别是多少度？ 【答案】(1)， (2)小明家5月份的用电量为370度 (3)小明家6月份峰时段用电量250度，则谷时段用电量为100度 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用． （1）根据两种计费方式列式计算即可； （2）先判断用电量是否超过230度，再列式计算即可； （3）设小明家6月份的谷时段用电量为x度，则峰时段用电量为度，根据使用方式二计费会比使用方式一计费节约\[12.5\]元，列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：使用方式一，总电费（元）． 使用方式二，总电费（元）； 故答案为：，； （2）解：，则小明家5月份的用电量超过230度， 则（度） （度） 答：小明家5月份的用电量为370度； （3）解：设小明家6月份的谷时段用电量为x度，则峰时段用电量为度，根据题意： ， 整理得：， 解得：，则（度） 答：小明家6月份峰时段用电量为250度，谷时段用电量为100度． 54．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+市场费）． A网约车 起步费 6元 里程费 元/公里 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： (1)若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元； (2)若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ 【答案】(1)3，21 (2)13公里 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】考查了一元一次方程的应用和有理数混合运算的实际应用， （1）根据时长费及打车费的计费方式进行计算即可； （2）设乘坐的里程数为公里，然后用的式子表示出打车费，再根据“打车费为元”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵乘车里程数为公里， ∴时长费是：（元）， 打车费是：（元）， 故答案为：；； （2）解：设乘坐的里程数为公里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴可乘坐的里程数是公里． 55．（24-25七年级上·江苏·期末）某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【答案】(1)，216 (2)小慧家2024年的用水量为320立方米． 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示用水190立方米应付的水费并且求出a的值是解题的关键． （1）由用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元，得，求得；而用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元，据此列方程，求得，于是得到问题的答案； （2）设小慧家2024年的用水量为y立方米，由算式求得用水300立方米时的水费为1104元，可知小慧家2024年的用水量超过300立方米，则列方程，解方程求出y的值即可． 【详解】（1）解：∵小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元， ∴， 解得， ∴第一阶梯的水价为元/立方米， ∵小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元， ∴， 解得， 故答案为：，216； （2）解：设小慧家2024年的用水量为y立方米， ∵（元）， ∴用水300立方米时，水费为1104元， ∵2024年小慧家共交水费1246元，且1246元>1104元， ∴小慧家2024年的用水量超过300立方米， 根据题意得， 解得， 答：小慧家2024年的用水量为320立方米． 考点11 一元一次方程的实际应用——方案比较问题 56．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 【答案】(1)篮球的单价为90元，排球的单价为60元 (2)当购买的排球数为50的时候，费用一样 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设篮球的单价为x元，排球的单价为元，根据4只篮球与6只排球的费用一样，可列出关于的一元一次方程，即可求解； （2）利用总价单价数量，结合在两家商场购买所需的费用一样，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，排球的单价为元， 由题意得： 解之得：， 答：篮球的单价为90元，排球的单价为60元． （2）由题意得：， 解得： 答：当购买的排球数为50的时候，费用一样． 57．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 【答案】(1)16 (2)20元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可； （2）设每根跳绳的标价为元．根据题意，得．解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据买四送一，买16根送4根．故实际需要支付16根跳绳的费用即可， 故答案为：16． （2）解：设每根跳绳的标价为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 答：每根跳绳的标价为20元． 58．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）某班将买一些羽毛球和羽毛球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的羽毛球和羽毛球拍．羽毛球拍每副定价元，羽毛球每筒定价元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一筒羽毛球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍6副，羽毛球若干筒（不少于6筒）． (1)当购买羽毛球筒时，在甲店购买需付款多少元？在乙店购买需付款多少元？（用含的代数式表示） (2)当购买羽毛球多少筒时，在两店购买付款一样？ (3)当购买羽毛球筒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案． 【答案】(1)在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元 (2)当购买羽毛球筒时，在两店购买付款一样 (3)省钱的购买方案是：在甲店购买6副球拍，在乙店购买筒羽毛球 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用)、列代数式 【分析】此题主要考查了列代数式，解一元一次方程，解决实际问题，关键是分清两个商店花钱的方式，列出代数式． （1）当购买羽毛球筒时，根据题意列出在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元． （2）根据（1）的代数式可得，在两店购买付款一样时，可列，求解即可解题； （3）根据（1）的代数式可分成三种购买方案，只甲店购买；只在乙店购买；在甲店购买6副球拍，在乙店购买（筒）羽毛球，分别计算共需付款的钱数，即可得省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可得，当购买羽毛球筒时， 在甲店购买需付款：， 在乙店购买需付款：， ∴在甲店购买需付款元，在乙店购买需付款元． （2）解：在两店购买付款一样时，结合（1）， 可得：， 解得：， ∴当购买羽毛球筒时，在两店购买付款一样． （3）解：当购买羽毛球筒时， 若在甲店购买，则需付款：（元）； 若在乙店购买则需付款：（元）； 若在甲店购买6副球拍，在乙店购买（筒）羽毛球，则共需付款：（元）． ∵， ∴省钱的购买方案是：在甲店购买6副球拍，在乙店购买筒羽毛球． 59．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）某商城在“双11”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： 方案一：购物金额每满200元减20元； 方案二：购物金额打9折． (1)若某人购物金额为350元，则他选择方案一的实付金额为_________，他选择方案二的实付金额为_________； (2)若某人购物金额超过500元且不足600元．通过计算发现，他选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，这个人购物的金额是多少元？ 【答案】(1)330元，315元 (2)这个人购物的金额为520元 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的实际应用： （1）根据两种方案的优惠方法，列式计算即可； （2）设这个人购物的金额是元，根据选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：方案一实付金额为：（元）； 方案二实付金额为：（元）； 故答案为：330元；315元； （2）解：设这个人购物的金额是元，由题意得：， 解得：； 答：这个人购物的金额为520元． 60．（24-25七年级上·江苏南京·期末）（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 【答案】(1)甲 (2)应选择甲超市，理由见解析 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，理解题意，找准等量关系列出一元一次方程是解题的关键． （1）计算在甲、乙超市购物分别所付的费用，再比较大小即可得出结论； （2）先求出234元在甲超市能购买的商品原价，再通过列一元一次方程求出在乙超市能购买的商品原价，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：在甲超市购物所付的费用为：（元）， 在乙超市购物所付的费用为：（元）， ， 去甲超市更划算． 故答案为：甲． （2）解：应选择甲超市，理由如下： 在甲超市能购买的商品原价为：（元）， 设在乙超市能购买的商品原价为元， 由题意得，， 解得：， ， 为了买到原价最多的商品，应选择甲超市． 考点12 一元一次方程的新定义问题 61．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)4 (2)或 (3) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤． （1）先解已知条件中的两个方程，求出方程的解，再根据“倒数方程”的定义列出关于的方程，解方程即可； （2）先解已知条件中的方程，然后求出其倒数方程的解，最后根据关于的方程与其“倒数方程”的解都是整数，列出关于的方程，解方程即可； （3）先解方程，然后根据“倒数方程”的定义，求出的解，再根据的解列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 关于的方程与互为“倒数方程”， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， 其“倒数方程”的解为， 与都是整数， ， 解得：或； （3）解：， ， ， ， ， 它的“倒数方程” 的解为， ， ， ， ， 关于的一元一次方程的解为． 62．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据新定义可知，再代入原方程，求出解即可． 【详解】解：因为关于x的一元一次方程是“生生方程”， 所以， 则， 解得， 所以． 63．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 【答案】(1)， (2)与是关于2的关联数；详见解析 (3)或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据题意，仿照示例，得到，，分别求出，即可； （2）先化简，，判断，即可得到结果； （3）由题意，得到，化简可得，讨论的取值，解方程，即可得到的值． 【详解】（1）解：设5与是关于2的关联数， ， ， 设与是关于2的关联数， ， ， 故答案为：，； （2）解：与是关于2的关联数，理由如下： ， ， ， 与是关于2的关联数； （3）解：与是关于2的关联数，，， ， ， 当时，，得， 当时，，得， 综上所述，或． 64．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则______； (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． 【答案】(1)5 (2)9 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用“友好方程”的定义，即可求出c的值； （2）由关于x的方程与方程互为“友好方程”，可得出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将m，n的值代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：关于x的方程与方程互为“友好方程”， 故答案为：5； （2）关于x的方程与方程互为“友好方程”， ，， ，， 65．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元一次方程解的关系、已知一元一次方程的解，求参数、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键． （1）表示出和的解，再根据“美好方程”的定义列式即可． （2）先解出的解，再根据“美好方程”的定义可得，即可列式求解a和b的值，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， ∴． （2）解：， 解得：， ∴方程的解为， ， ， ， ∵无论k取任何有理数，两个方程是 “美好方程”，， ，， 解得：，， ∴． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、等式两边应同时加减同一数，但左边加，右边减，相当于两边加减不同数，等式不成立，选项错误； B、根据等式性质，两边同乘任意数（包括0），等式仍成立，选项正确； C、当时，分母为0无意义，等式不成立，选项错误； D、两边同乘得：，而非，推导错误，选项错误； 故选：B． 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义及表示形式是解题的关键． 根据一元一次方程的定义“含有一个未知数，未知数的次数是1次的整式方程”进行判定即可求解． 【详解】解：A、，含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、，未知数的最高次是2次，不是一元一次方程，不符合题意； C、，含有一个未知数，未知数的次数是1次的整式方程，是一元一次方程，符合题意； D、中，不是整式，不符合题意； 故选：C ． 3．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 4．把方程去分母后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 方程两边同时乘以12求解即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以12，去分母得，． 故选：D． 5．若关于x的方程的解是正整数，m是整数，则所有满足条件的m的值加起来为（    ） A． B． C． D．18 【答案】A 【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键．根据解一元一次方程的一般步骤表示出的代数式，分析解答即可． 【详解】解：解方程， 得：， 根据题意可知为正整数，是整数， 当的值为时，为正整数， ∴， 故选：A． 6．已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，根据方程解的定义可得，然后解方程即可．解题的关键是掌握方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为． 故选：D． 7．如果方程和方程的解相同，那么a的值为（    ） A．1 B．5 C．0 D．−5 【答案】B 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了同解方程，解一元一次方程，先求出方程的解，将解代入方程，再解方程即可． 【详解】解方程， 得， ∵方程和方程的解相同， ∴将代入方程， 得， 解得． 故选：B． 8．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（   ） 甲：设竿子长为x尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为x尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．设竿子长为x尺，根据题意可列方程；再设绳索长为x尺，根据题意可列方程，进行比较判断即可． 【详解】设竿子长为x尺，则绳子长，根据“将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺”可列方程为； 设绳索长为x尺，则杆子长为，根据“将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺”可列方程为； 故甲，乙两人所列方程都对， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．若是关于的一元一次方程，则m的值为 【答案】2 【知识点】列方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做一元一次方程，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据未知数的次数等于1且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得． 故答案为：2． 10．是方程的解，则m的值是 【答案】 【知识点】已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解的概念及一元一次方程的求解，解题的关键是将方程的解代入原方程，建立关于m的方程并求解．根据方程的解的定义，把代入方程；得到含m的一元一次方程后，通过移项、计算得出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入方程得． 即． 合并同类项得． 移项得． 故答案为：． 11．已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解是 ． 【答案】5 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的意义，利用方程的解求参数等知识点，解题的关键是掌握方程的解的意义． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中，即可求出的值，然后代入关于y的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得， 解得， ∴关于y的方程为， 解得， 故答案为：5． 12．当的值为 时，代数式的值比的值大1． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 故答案为：． 13．小明同学在解关于的方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程；设■为a，把代入方程中，求得a的值即可． 【详解】解：设■为a，则方程为， ∵是方程的解， ∴把代入方程中，得， 解得：， 即该同学把■看成了7； 故答案为：． 14．某商店采购了一批节能灯，每盏灯20元，在运输过程中损坏了2盏，然后以每盏25元售完，共获利150元，问该商店共进了 盏节能灯． 【答案】40 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．设购进x盏节能灯，列一元一次方程解答． 【详解】解：设购进x盏节能灯，由题意得 解得， 答：该商店共购进了40盏节能灯． 15．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，7，点C在线段上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点B的左侧点处，且，则点C表示的数是 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查数轴，解一元一次方程．设点表示的数是，利用，列出方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数是， 则，， ∵， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：． 16．绳测井深是我国古代一道经典的数学问题，描述如下：用绳子测量井深，如果将绳子3折来量，井口外余绳长为4尺；如果将绳子4折来量，那么井口外也余下1尺．问井深、绳长几尺？为解决此问题，设井深为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，根据题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设井深为x尺， 根据题意可知， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4小题，共44分） 17．(本题10分)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程步骤是解题的关键． （）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解； （）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(本题10分)某工厂要加工一批零件，请你根据甲、乙两位工人的对话内容（如图），解决下列问题． (1)问甲、乙两位工人单独加工完这批零件，各需要多少天？ (2)这批零件，先由乙单独做5天，剩下的部分由甲、乙合做完成．那么加工完这批零件，甲、乙各获得多少报酬？ 【答案】(1)甲单独加工完这批零件，需要15天，则甲单独加工完这批零件，需要10天． (2)甲获得的报酬为元，乙获得的报酬为元． 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲单独加工完这批零件，需要天，则乙单独加工完这批零件，需要天，利用甲乙完成的工作量相等建立方程求解即可； （2）设剩下的部分由甲、乙合做天，由各部分的工作量之和为1，建立方程求解工作时间，再计算工作报酬即可． 【详解】（1）解：设甲单独加工完这批零件，需要天，则乙单独加工完这批零件，需要天，则 ， 解得：， ∴， 答：甲单独加工完这批零件，需要15天，甲单独加工完这批零件，需要10天， （2）设剩下的部分由甲、乙合做天，则 ， 解得：， ∴甲获得的报酬为（元），乙获得的报酬为（元）． 19．(本题12分)为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案： 方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具） 方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售） (1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？ (2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？ 【答案】(1)两个方案相差4元； (2)购买甲道具5件，则购买乙道具25件． 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）先求出两种方案的费用，再求差即可； （2）设购买甲道具x件，则购买乙道具件，根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）解：方案一费用：， 方案二费用：， 两个方案相差元， 答：两个方案相差4元； （2）解：设购买甲道具x件，则购买乙道具件， 根据题意可得：， 解得：， ， 答：购买甲道具5件，则购买乙道具25件． 20．(本题12分)定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； 【答案】(1)是，过程见解析 (2)或 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了解一元一次方程； （1）根据“m差解方程”的定义解答即可； （2）根据定义列出方程关于m，n的方程，再去掉绝对值，并求解． 【详解】（1）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 所以这两个方程是“2差解方程”； （2）方程的解是； 方程的解是． 根据题意可得， 整理，得， 由m为正数， 得或， 解得或； - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：优尖升教育 网址：shop492842749.taobao.com 2025-2026学年七年级上学期数学同步培优 ——重点、热点、难点题型全归纳 2025-2026学年七年级上学期（2024苏科版） 专题03 一元一次方程 - 1 - - 4 - 考点01 利用等式的基本性质判断 - 4 - 考点02 利用方程概念判断是不是方程 - 5 - 考点03 利用一元一次方程的概念判断 - 5 - 考点04 利用一元一次方程的解求参数的值 - 6 - 考点05 一元一次方程的解法 - 6 - 考点06 一元一次方程的实际应用——古代数学文化问题 - 7 - 考点07 一元一次方程的实际应用——配套问题 - 9 - 考点08 一元一次方程的实际应用——工程问题 - 10 - 考点9 一元一次方程的实际应用——行程问题 - 12 - 考点10 一元一次方程的实际应用——阶梯收费问题 - 15 - 考点11 一元一次方程的实际应用——方案比较问题 - 19 - 考点12 一元一次方程的新定义问题 - 21 - 知识点1：方程的概念 1．定义：含有未知数的等式叫做方程. 一个式子要想成为方程，需要同时满足两个条件：①是等式；②是含有未知数． 2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 判断一个数（或一组数）是否是某个方程的解，只需看两点： ①它们是方程中未知数的值； ②将它们代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是． 3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程. 知识点2：等式的基本性质 1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式. 2．等式的性质： 　 （1）基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. （2）基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等. 数学语言表示：如果，那么. 如果，，那么. 名师点拨 （1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形； （2）等式基本性质2中，这一条件必不可少。 知识点3：一元一次方程 1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 名师点拨 一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程需要同时满足以下条件： 1. 是一个方程; 1. 必须只含有一个未知数; 1. 含有未知数的式子都是整式; 1. 未知数的次数都是1． 2.一元一次方程的解法： 步骤 数学依据 具体做法 注意事项 1.去分母 等式性质2 方程两边都乘以各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号 2.去括号 去括号法则 去括号 (1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号 3.移项 等式性质1 含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边 移项要变号 4.合并同类项 合并同类项法则 把方程化成的形式 系数相加减，其他都不变 5.系数化成1 等式性质2 方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解 不要把分子、分母写颠倒 名师点拨 解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减． 知识点4：用一元一次方程解决实际问题 1.列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 名师指点 （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2.常见一元一次方程应用题类型： (1)行程问题 ①三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　②基本类型有： 　 相遇（或相向）问题： A．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 B．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． 追及问题：A．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 B．寻找相等关系： 1. 同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程； 1. 同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：A．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度， 逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速； B．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． （2）工程问题 三个基本量间的关系：工作效率×工作时间=工作总量；“一般把总工作量设为1”； 3．利润问题 常用数量关系如下： （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 4．方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论． 考点01 利用等式的基本性质判断 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列运用等式的基本性质变形错误的是（   ） A．由得 B．由得 C．由得 D．由得 3．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）已知，则下列变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·江苏泰州·期中）下列等式变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 考点02 利用方程概念判断是不是方程 6．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）下列式子中属于方程的是（   ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·江苏·专题练习）在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 8．（2024七年级上·江苏·专题练习）下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 9．（2024七年级上·浙江·专题练习）给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各式中，属于方程的是（    ） A． B． C． D． 考点03 利用一元一次方程的概念判断 11．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）下列是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列方程中，是一元一次方程的为（  ） A． B． C． D． 考点04 利用一元一次方程的解求参数的值 16．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 ． 17．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）小强在解方程“”时，将“”中的“”抄漏了，得出，则原方程正确的解是（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（　　） A． B．1 C． D．5 19．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知是关于x的方程的解，则a的值为 ． 20．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若关于的方程的解是正整数，则整数的值为 ． 考点05 一元一次方程的解法 21．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）解下列方程： (1)； (2) 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）解方程 (1) (2) 23．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1) (2) 24．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 25．（24-25七年级上·江苏南通·期中）解下列方程： (1)； (2)． 考点06 一元一次方程的实际应用——古代数学文化问题 26．（22-23七年级上·广东深圳·期末）“鸡兔同笼”问题是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？如果我们设有x只鸡，则可列方程（    ） A． B． C． D． 27．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，差4钱．根据题意列方程，则方程中x 所表示的量是 ． 28．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ． 29．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 30．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）“鸡兔同笼”问题是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题．今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ (1)补全表格：若设兔有x只． 项目 只数 足数 鸡 ______ 兔 x ______ 合计 35 94 (2)请你完整的解决“鸡兔同笼”问题．（可重设未知数） 考点07 一元一次方程的实际应用——配套问题 31．（2023七年级上·江苏·专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个． (1)该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？ 32．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（   ） A． B． C． D． 33．（23-24七年级上·江苏南京·期末）去年秋季，我市某果树基地安排名工人将采摘的水果包装成果篮，每个工人每小时可包装个苹果或者个梨，每个果篮中放个苹果和个梨，为了使包装的水果刚好完整配成果篮．若设有名工人包装苹果，则可列方程（    ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）2024卡塔尔亚洲杯已于多哈当地时间1月12日下午5点（北京时间2024年1月12日22点）开幕。同学们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有 块． 35．（22-23七年级上·江苏南京·期末）一套仪器由两个A部件和三个B部件构成．用钢材可做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？设应用钢材做A部件，则可列一元一次方程为 ．（方程不需要化简） 考点08 一元一次方程的实际应用——工程问题 36．（23-24七年级上·江苏南通·期末）甲、乙两人完成一项工作，甲先做了3天，然后乙加入合作，完成剩下的工作，设工作总量为1，工作进度如下表所示．若乙单独完成这项工作，则需（    ） 天数 第3天 第7天 工作进度 A．35天 B．30天 C．15天 D．10天 37．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）一件工作，甲单独做需14小时完成，乙单独做需11小时完成，若甲先做1小时，乙接着做2小时，最后甲、乙两人合作，再做几个小时全部完成？如果设甲、乙合作还需x小时才能完成全部工作，那么根据题意，可列方程： 38．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）某排水管道工程由甲、乙两个工程队单独铺设分别需要18天、12天完成．现在先由两队从两端同时施工6天，然后由甲队单独施工完成，甲队还需要 天． 39．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）一件工作，甲单独做完成，乙单独做完成，现甲单独做后，乙加入和甲一起做，还要几小时完成？若设还要完成，则依题意可列方程为 ． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 41．（24-25七年级上·江苏南通·期末）一项工程，若由甲队单独做需要10天完成，若由乙队单独做需要20天完成． (1)若甲乙两队先一起施工5天，然后余下的工程由乙队单独完成，则乙队还需要几天能够完成任务？ (2)在（1）的条件下，若付给两个工程队的报酬按完成工作量的比例来分配，已知这项工程的总报酬为12万元，求甲队和乙队各得报酬多少万元？ 42．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）用一元一次方程解决问题：一项工程，甲单独做需天完成，乙单独做需天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用天，请问甲做了多少天？ 43．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲、乙两个工程队承接南京地铁7号线“南湖站”的装修工作．甲队单独做需12个月完成，乙队单独做需18个月完成．先由甲、乙两队合做3个月，然后剩下的部分由甲队单独做，还需多少个月完成任务？（列一元一次方程解） 44．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）列一元一次方程解决问题∶ 某部长篇小说分为上、中、下三册．印刷上、中、下三册的工作量之比为．其中，上册由甲车间单独印刷，用了，中册由乙车间单独印刷，用了．上、中两册印刷完成后，下册由甲、乙两车间合印，还需要多长时间可以完成全部印刷工作？ 45．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）为方便城镇和乡村之间的联系，政府决定修建一条公路，若由甲工程队单独修建需3个月完成，每月耗资万元；若由乙工程队单独修建需个月完成，每月耗资万元． (1)甲、乙两工程队合作修建需几个月完成？共耗资多少万元？ (2)若要求最多个月完成修建任务，请你设计一种方案，既能够保证按时完成任务，又能最大限度节省资金（时间按照整月计算） 所以甲、乙合作个月，然后乙再单独修建个月既能按时完成任务，又最大限度节省资金． 考点9 一元一次方程的实际应用——行程问题 46．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）甲、乙两车分别从相距的、两地出发，沿足够长的公路行驶，甲车速度为，乙车速度为．两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），多长时间后两车相距？ 47．（24-25七年级上·江苏南京·期末）某市网约车的车费由起步价、里程费、时长费三部分构成．网约车A和网约车B车费标准见如表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）． 网约车A 起步价：12元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 网约车B 起步价：10元 里程费：元/公里 时长费：元/分钟 (1)如果网约车A和网约车B的里程数都是10公里，它们的车费分别为 、 元； (2)如果从甲地到乙地，乘坐网约车A比网约车B节省元，求甲、乙两地间的里程数； (3)网约车A和网约车B对第一次下单的乘客有如下优惠活动：网约车A需先购买元的优惠券后车费可打八折；网约车B超过10公里车费立减元；如果两位顾客都是第一次下单从甲地到乙地，分别乘坐网约车A、网约车B总费用相同，请直接写出两位顾客乘车的里程数． 48．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）2018年12月26日，响水县高铁站正式启用．为了提高市民出行便利性，政府部门特别增设了一条从二汽南站直达高铁站的8号公交线路，该线路全长13800米．公交车在这条线路上的平均速度为每分钟600米．某日，小明和他的父亲驾驶轿车沿8号公交线路前往高铁站接亲戚．当他们经过二汽南站5分钟后，有一辆公交车从高铁站出发前往二汽南站．已知轿车的平均速度为每分钟1000米． (1)请问公交车出发后多少分钟时与轿车相遇？ (2)小明和父亲到达高铁站接到亲戚后立即（亲戚上车时间忽略不计）按原速原路返回，他们多少分钟追上这辆公交车？ 49．（24-25七年级上·江苏南京·期末）甲乙两地相距，一辆客车从甲地开往乙地，速度为，一辆出租车从乙地开往甲地，速度为，两车同时出发，到达各自目的地后停止行驶．设客车行驶时间为． (1)出发多长时间两车相遇？ (2)分别写出和时两车的距离； (3)甲、乙两地之间有、两个加油站，相距，若客车进入站加油时，出租车恰好进入站加油．求加油站到甲地的距离． 50．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）请你根据妈妈和小明的对话内容，列方程解决下列问题． 已知妈妈每分钟步行60米，小明每分钟骑行240米，那么小明能在妈妈到达火车站前追上她吗？如果能，何时追上？ 考点10 一元一次方程的实际应用——阶梯收费问题 51（24-25七年级上·江苏南通·期末）根据素材1、素材2与素材3，探索并完成任务1、任务2与任务． 水费、用水量是多少？ 素材1 为增强公民节水意识，合理利用水资源，我市2024年采用“阶梯收费”． 素材2 第一阶梯（用水量不超过14吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第二阶梯（用水量超过14吨，且不超过21吨）：水费为元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 第三阶梯（用水量超过21吨）：水费为11元/吨，其中自来水为元/吨，污水处理费为元/吨． 素材3 如，某用户2024年2月份用水15吨，则各种费用如下： 自来水费 （元） 污水处理费 （元） 水费 （元） 问题解决 任务1 确定污水处理费 已知某用户2024年12月份所缴水费中，自来水费为元，求该用户12月份需缴污水处理费多少元？ 任务2 确定水费 某用户2024年11月用水a吨，则应缴水费多少元？ 任务3 确定用水量 如果该用户2024年5、6月份共用水42吨（月份用水量超过5月份用水量），共缴水费元，则该用户5、6月份各用水多少吨？ 52．（24-25七年级上·江苏南通·期末）居民生活用水通常按户计费.下表是某城市居民生活用水的收费标准，称这样的收费方式为阶梯计价． 收费方式 年用水量 收费标准（元） 第一阶梯 0~180（含180） 4.5 第二阶梯 180~240（含240） 6 第三阶梯 240以上 （例如：该城市某户家庭年用水量为，则水费为元） (1)若该城市小明家2024年的年用水量为，则小明家这一年的水费是______元； (2)已知该城市小颖家2024年的年用水量为，水费为1650元，求的值； (3)若该城市某户居民2024年的年用水量为，这户居民的水费是多少元？（用含的代数式表示） 53．（24-25七年级上·江苏南通·期末）【材料阅读】 某地对居民每月用电设定如下两种计费方式供居民选择： 方式一：“分档”计算电费，电价如表1，即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，总电费等于各档电费的总和； 方式二：“分档＋分时”计算电费，其中峰谷时段的电价差额如表2，总电费＝分档电费＋峰时段增加的电费－谷时段减少的电费． 表1 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230 表2 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（当日~当日） （每度电在各档电价基础上加价元） 谷时段（当日~次日） （每度电在各档电价基础上降低元） 例如：某居民家月用电量500度，其中峰时段电量360度，谷时段电量140度． 若使用方式一，总电费（元）． 若使用方式二，总电费（元）． 【问题解决】 (1)若小明家4月份的用电量为300度，其中峰电量200度，谷电量100度．则使用方式一计费，电费为 元，使用方式二计费，电费为 元； (2)若小明家5月份使用方式一交费，电费为192元，求小明家5月份的用电量． (3)若小明家6月份的峰电量是谷电量的倍，并且使用方式二计费会比使用方式一计费节约元，求小明家6月份峰时段、谷时段用电量分别是多少度？ 54．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在全球信息化时代，人们的出行方式有了更多的选择．下表是网约车的收费标准（打车费=起步费+里程费+远途费+市场费）． A网约车 起步费 6元 里程费 元/公里 远途费 超过10公里后，超出部分加收1元/公里 时长费 元/分钟 若本题中A网约车的平均车速均为40公里/时，请回答以下问题： (1)若乘车里程数为10公里，则时长费是 元，打车费是 元； (2)若打车费为元，可乘坐的里程数是多少公里？ 55．（24-25七年级上·江苏·期末）某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如下表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 不超过x立方米的部分 a 第二阶梯 超过x立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费元． (1)填空：__________，__________； (2)2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 考点11 一元一次方程的实际应用——方案比较问题 56．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）为持续深入推进“双减”工作，拓展丰富课后服务资源，满足学生兴趣特长发展需求，某校决定购买一批篮球和排球供学生兴趣课使用．每个排球比篮球便宜30元，4只篮球与6只排球的费用一样． (1)求出篮球和排球的单价； (2)经市场调查发现：甲商场优惠方案是：每购买10只篮球送一个排球；乙商场优惠方案是：若购买篮球超过50只，则购买排球打八折．若该校购买100只篮球和a只排球（其中且为整数），则当购买的排球数a为何值时，在两家商场购买所需的费用一样． 57．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）学校组织趣味运动会，需要购买一批跳绳，已知甲、乙两商店每根跳绳规格一样，且标价相同．商家现推出如下促销方案： 甲商店促销方案：每根跳绳标价打八五折后，在总价的基础上再优惠12元； 乙商店促销方案：买四送一． 学校打算在其中一家商店购买20根跳绳． (1)若在乙商店买，则实际需要支付______根跳绳的费用； (2)小明发现同样是购买20根这种跳绳，按照各自促销方案，在乙商店购买比在甲商店购买便宜8元．求每根跳绳的标价． 58．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）某班将买一些羽毛球和羽毛球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的羽毛球和羽毛球拍．羽毛球拍每副定价元，羽毛球每筒定价元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一筒羽毛球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍6副，羽毛球若干筒（不少于6筒）． (1)当购买羽毛球筒时，在甲店购买需付款多少元？在乙店购买需付款多少元？（用含的代数式表示） (2)当购买羽毛球多少筒时，在两店购买付款一样？ (3)当购买羽毛球筒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案． 59．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）某商城在“双11”期间举行促销活动，有以下两种优惠方案： 方案一：购物金额每满200元减20元； 方案二：购物金额打9折． (1)若某人购物金额为350元，则他选择方案一的实付金额为_________，他选择方案二的实付金额为_________； (2)若某人购物金额超过500元且不足600元．通过计算发现，他选择方案一的实付金额比方案二的实付金额多12元，这个人购物的金额是多少元？ 60．（24-25七年级上·江苏南京·期末）（用一元一次方程解决问题）甲、乙两家超市新年期间推出优惠活动，推出如下表所示的购物优惠方案： 甲超市 乙超市 消费金额（元）     优惠活动 消费金额（元） 优惠活动 （包含100） 无优惠 （包含200） 无优惠 （包含350） 一律享受九折优惠 大于200 超过200元的部分享受八折优惠 大于350 一律享受八折优惠 (1)小王需要购买价格为220元的商品，去______家超市更划算； (2)小李带了234元去购物，为了买到原价最多的商品，应选择哪家超市并说明理由． 考点12 一元一次方程的新定义问题 61．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 62．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）定义：若关于x的方程的解为，则称该方程为“生生方程”．已知关于x的方程是“生生方程”，求该方程的解． 63．（24-25七年级上·江苏常州·期末）定义：若，则称a与b是关于2的关联数． (1)5与______是关于2的关联数，______与是关于2的关联数（用含x的代数式表示）； (2)若，，判断a与b是否是关于2的关联数，并说明理由； (3)若，，且m与n是关于2的关联数，求x的值． 64．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）定义：关于x的方程与方程、b均为不等于0的常数称互为“友好方程”，例如：方程与方程互为“友好方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，则______； (2)若关于x的方程与方程互为“友好方程”，求的值． 65．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）定义：如果两个一元一次方程的解相同，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值； (2)若无论取任何有理数，关于的方程（、为常数）与方程为“美好方程”，求的值． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．下列方程是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 4．把方程去分母后，正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若关于x的方程的解是正整数，m是整数，则所有满足条件的m的值加起来为（    ） A． B． C． D．18 6．已知是关于的方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．如果方程和方程的解相同，那么a的值为（    ） A．1 B．5 C．0 D．−5 8．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？甲、乙两人所列方程如下，下列选项判断正确的是（   ） 甲：设竿子长为x尺，根据题意可列方程为； 乙：设绳索长为x尺，根据题意可列方程为 A．甲对乙错 B．甲错乙 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．若是关于的一元一次方程，则m的值为 10．是方程的解，则m的值是 11．已知是关于x的方程的解，那么关于y的方程的解是 ． 12．当的值为 时，代数式的值比的值大1． 13．小明同学在解关于的方程时，把处的数字看错了，解得，则该同学把看成了 ． 14．某商店采购了一批节能灯，每盏灯20元，在运输过程中损坏了2盏，然后以每盏25元售完，共获利150元，问该商店共进了 盏节能灯． 15．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是，7，点C在线段上，沿点C将数轴向右折叠，使点A落在点B的左侧点处，且，则点C表示的数是 ． 16．绳测井深是我国古代一道经典的数学问题，描述如下：用绳子测量井深，如果将绳子3折来量，井口外余绳长为4尺；如果将绳子4折来量，那么井口外也余下1尺．问井深、绳长几尺？为解决此问题，设井深为x尺，可列方程为 ． 三、解答题（本大题共4小题，共44分） 17．(本题10分)解方程： (1)； (2)． 18．(本题10分)某工厂要加工一批零件，请你根据甲、乙两位工人的对话内容（如图），解决下列问题． (1)问甲、乙两位工人单独加工完这批零件，各需要多少天？ (2)这批零件，先由乙单独做5天，剩下的部分由甲、乙合做完成．那么加工完这批零件，甲、乙各获得多少报酬？ 19．(本题12分)为筹备文艺会演，七（1）班计划在某店铺购买甲、乙两种演出道具，已知该店铺甲道具每件标价10元，乙道具每件标价2元，现有以下两个促销方案： 方案一：买一送一（每买一件甲道具，送一件乙道具） 方案二：全场九折（即全部商品按标价的九折销售） (1)若购买10件甲道具与30件乙道具，则两个方案所需的费用相差多少元？ (2)若购买甲道具的件数比乙道具少20件时，两个方案所需的费用相同，则此时购买两种道具各多少件？ 20．(本题12分)定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． (1)请通过计算判断关于的方程与关于的方程是不是“2差解方程”， (2)若关于的方程与关于的方程是“差解方程”，求的值； - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $