第4章 一元一次方程 章节拔尖攻略-【通成学典】2026-2027学年七年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第4章 一元一次方程 [高频考点突破] ①CA.若x=y,则根据等式的基本性质1，得x十 3y十3：故选项变形正确，不符合题意：k若了Q 0,则根据等式的基本性质2，得2a一弘，故法项变形 正确，不符合题意；C.若ax=ay,当a=0时，无论x与 y是否相等，等式都成立，只有a≠0时才能得到x=y, 故选项变形错误，符合题意；D.若2x=6y,则根据等式 的基本性质2，得x=3y,故选项变形正确，不符合题意。 22因为3a+5b=2b+6,所以3a+5b一2b=2b+6- 2b.所以3a+3b=6.所以3(a+b)=6.所以a十b=2. 35(x-1)-2(x-2)-4=5.x-5-2x+4-4=3x 5.当x=3时，原式=3×3-5=4，所以y=4.设■处的 有理数为将y=4代入方程，得2X4一-号×4 ,解得a=一号所以这个有理数是一号 0=-202)x=-7.8)=号 (0x-7子 ⑤(1)是.因为方程2x=4的解为x=2=4一2，所以 方程2x=4是“差解方程”.(2)对于方程4x=m,由 “差解方程”定义可知，其解为x=m一4.解方程4=m, 得1=学，所以m一4一受部得m=号（3》对于方程 4x=ab十a,由“差解方程”的定义可知，其解为x=ab十 4一4.解方程4红=ab十a,得x=b+0,所以ab十a 4 46设6十a=y,燜y-4=子，解得y号所以 b+a-9所以3a6十a)=3×9-16 3 6(1)因为关于x的方程(m十3)xm-2+6n=0是一元 一次方程，所以m|一2=1，m十3≠0，解得m=3.所以 方程为6x十6m=0,解得x=-.解方程十1 2 2x-1_1 5 2,得x=-2.所以-2=-，即n=2. 附：答案与解析 (2)把m=3,n=2代人|ay+a=m+1+2y,得 (la|-4)y=4-a.因为关于y的方程|a|y十a=m+ 1+21y无解，所以a|-4=0,4-a≠0，解得a=一4. ⑦(1)①；方程的右边没有乘6.(2)去分母，得3(x十 1)一2(2x一1)=6.去括号，得3x+3一4x+2=6.移项， 得3x一4x=6-3-2.合并同类项，得-x=1.系数化为 1,得x=-1. ⑧(1)设每个挂件a元，则每个玩偶(a+40)元.由题 意，得4a+6(a十40)=440，解得a=20,所以a+40= 60.所以每个挂件20元，每个玩偶60元.(2)甲方式 所付的费用为0.8(10×60+20x)=0.8(600+20x)= (480+16.x)元；乙方式所付的费用为10×60十20(x一 10)=600+20x-200=(400+20x)元.因为两种方式费 用相同，所以480+16.x=400+20x,解得x=20.所以学 校计划购买挂件20个.(3)选甲方式更合算.理由：选 甲方式所付的费用为480+16×30=480+480= 960(元)；选乙方式所付的费用为400+20×30=400+ 600=1000(元).因为960<1000，所以选甲方式更 合算。 ⑨设一共有x人参加魅力魔方游戏活动.根据题意，得 8一2=6，解得x=14,所以一共有144人参加魅力魔 xx 方游戏活动 ⑩(1)2×6+4×(12-6)+6×(13-12)=42（元），所 以他家去年10月应缴水费42元.(2)设小亮家11月 用水xm3.由题意，得2×6+4(x一6)+2×6+4× (12-6)+6(24-x-12)=76,解得x=10.所以24- x=14.所以他家去年11月用水10m°，12月用水14m3. [综合素养提升] ①C由表格中的数据，知当A=B十2成立时，A= 一2，B=一4，此时x=1. ②D依题意，得6(x一1)=5x+4,解得x=10.所以一 楼共有宿舍10间. ③B设A,B两地之间的路程为x千米.依题意，得 二-号=2X5,解得x=175.所以A,B两地之间的路程 5-7 为175千米. 45 数学（苏科版）七年级上 35 0 由题意，得2(5x-3)-3(-3x)=29,解得 35 x一19 ⑤10设应分配x名工人生产螺钉，则生产螺母的工人 应是(22-x)名.根据题意，得1200x×2=2000×(22一 x),解得x=10.所以应分配10名工人生产螺钉. 3所以 6根据题意，得4一2=1，解得x三一8 女的值为-多 0解关于x的方程2"-x十受得x=一解方程 2 2=3x-2,得x=3 子依题意，得-×=1，解得 m=-1.当m=-1时，2m2-4m+3=2+4十3=9. ⑧设这路公交车的速度为xkm/h.根据题意，得(x一 9 4)× 60=(x+4)×0,解得x=32.所以这路公交车每 隔(32-4)×0÷32×60=7名(min)发-辆车. 9 第5章走进几何世界 第6章平面图形的初步认识 [高频考点突破] ①C由题图，可知可以得到的立体图形是圆锥，故选项 C符合题意。 ②D因为将搭配①②③④分别组合在一起，正好能组 合成九个空格的形状，所以恰好能放人的有①②③④， 共4种. ③C三角形所在面相对的面为DCFE,则易得棱a对 应的线段为DE ④64由展开图可知，长方体的高为2cm,长为10一 2=8(cm,宽为18-，8-2-4(cm,所以原长方体包装 2 纸盒的体积是8×4×2=64(cm). ⑤A这里面包含的数学事实为两点确定一条直线： ⑥两点之间，线段最短“遇山打洞，逢水架桥”反映了 最短路径，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最短. ⑦A如图，因为射线OB与射线OA垂直，所以 46 ∠AOB=90°因为射线OA的方向是北偏东70°，所以 ∠AOC=70°.所以∠BOC=90°一70°=20°.所以射线 OB的方向是北偏西20°. 北 B 0 0 (第7题) 86090由题意可知，∠DAC=50°，∠DAB=80°， ∠EBC=40°，所以∠CAB=∠DAB-∠DAC=80°- 50°=30°.因为AD∥BE,所以∠DAB+∠ABE=180°. 所以∠ABE=180°-∠DAB=180°-80°=100°.所以 ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°.所以在 △ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°- 30°一60°=90°. 9(1)因为AD=30cm,BD=6cm,所以AB=AD- BD=30-6=24(cm).因为E是AB的中点，所以 AE=号AB=12cm(2)因为AC=方AD.所以 AC=10cm,CD=20cm.因为F是线段CD的中点，所 以DF=2CD=10cm.因为AD=30cm,AE=12cm, 所以EF=AD-AE-DF=30-12-10=8(cm). ⑩(1)因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOD,所以 ∠MOB=号∠AOB,∠BON=∠BOD.因为 1 ∠AOD=160°，所以∠MON=∠MOB+∠BON= 3∠A0B+7∠BOD-专（∠A0B+∠B0D) 2 2∠AOD-80.(2)因为OM平分∠A0C,ON平分 ∠0D,所以∠AC=号∠A0C,∠ON=号∠0D, 所以∠MON=∠M0C+∠BON-∠B0C=2∠A0c+ 号∠B0D-∠B0C=(∠A0c+∠B0D)-∠B0C 3(∠A0D+∠0C)-∠0C=号X(160+20) 20°=70°.(3)由题意，得∠AOB=2t°+10°，所以第4章， 一元一次方程 朝高频考点突破 考点一等式的基本性质 典例1[2026北京海淀期中]如图所示的每 个球、圆柱、正方体的质量都分别相等，三个 天平均保持平衡，那么第三个天平中，右侧 秤盘上所放正方体的个数应为 ( 2 fffl ii coo (典例1图) A.6 B.5 C.4 D.3 分析 根据题意，可设1个球的质量为xkg,1个 圆柱的质量为ykg,1个正方体的质量为之kg 由题意，可得2.x=5y①，2=3y②.由①，可得 ，起)=号x代入@，得2=3x号 2 2 6 x,由此可得出答案 解答：设1个球的质量为xkg,1个圆柱的质 量为ykg,1个正方体的质量为之kg 由题意，可得2x=5y①，2x=3y②. 2 由①，可得y=x. 5 2 2 6 把y=后x代入②，得2=3×后x=亏 5 所以x= 3e. 3-5e. 5 所以3x=3× 所以天平右侧秤盘上所放正方体的个数为 5.故选B. 小结 本题考查等式的基本性质，掌握等式的基本 性质是解题的关键. 22 聚焦高频考点，各个击破 对应练习， 1.下列变形错误的是 A.若x=y,则x十3=y十3 R若0=b,则2a=动 C.若a.x=ay,则x=y D.若2x=6y,则x=3y 2.已知3a十5b=2b十6，利用等式的基本性 质可求得a十b的值是 考点二方程的解 典例2小丽同学在做作业时，不小心将方程 2(x一3)一■=x+1中的一个常数污染了， 在询问老师后，老师告诉她方程的解是x三 9,请问这个被污染的常数■是 A.4 B.3 C.2 D.1 分析 设这个被污染的常数■是a.根据方程的 解是x=9,把x=9代入2(x-3)-a=x十1， 可求得a的值. 解答：设这个被污染的常数■是a.把x=9 代入2(x-3)-a=x+1,得2×(9-3)一 a=9十1，解得a=2.故选C. 小结 本题考查方程的解，掌握代入计算法是解题 关键， 对应练习 3.小聪做解方程练习时，发现卷子上有一个 11 方程“2y一2-2y一■”中的■没印清 晰，于是去问老师，老师只是说：“■是一 个有理数，该方程的解与当x=3时的代 数式5(x一1)一2(x一2)一4的值相同.” 小聪很快补上了这个有理数.请问这个有 理数是多少？ 考点三一元一次方程的解法 典例3解下列一元一次方程： (1)4(x-2)-1=3(x-1). (2)3(x-7)-29-4(2-x)]=22. (3) 1-2x_3x+4 3 5 (4) 0.17-0.2z=1. 0.7 0.03 分析 （1)(2)根据解一元一次方程的方法：去括 号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； (3)根据解一元一次方程的方法：去分母，去括 号，移项，合并同类项，系数化为1求解即可； (4)先整理该方程，使其分母化为整数，再去分 母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可 求得方程的解。 解答：(1)去括号，得4x一8-1=3x-3. 移项，得4x-3x=一3十8+1. 合并同类项，得x=6. (2)去括号，得3x-21-18+16-8x=22. 移项，得3x-8x=22+21十18-16. 合并同类项，得-5.x=45. 系数化为1，得x=一9. 第4章一元一次方程 (3)去分母，得5(1-2x)=3(3x十4)-15. 去括号，得5-10x=9x十12-15. 移项，得-10x-9x=12-15-5. 合并同类项，得-19x=一8. 8 系数化为1，得x=19 原方程可化为172-1 3 去分母，得30x-7(17-20x)=21. 去括号，得30x-119+140x=21. 移项，得30x十140x=21+119. 合并同类项，得170x=140. 14 系数化为1，得x=17 小结 本题考查一元一次方程的解法和等式的基 本性质的灵活应用，掌握解一元一次方程的步骤 是解题的关键 对应练习 4.解下列方程： (1)4x-3(12-x)=6x-2(8-x). (2)52-1_3z十12-2 4 2 3 23 数学（苏科版）七年级上 (3212-3=1. 3 4 ④是分》-8-警+1 考点四新定义题 典例4我们定义一种新的运算，对于任意的 la 有理数a,b,c,d,规定 =ad-bc.例 1 4 如： =1×3-4×2=3-8=-5.根据 3 上述规定，解决下列问题： )计第2 5升的值 (2)若6 =-1,求x的值 3x-1 5x-7 分析 (1)根据规定的运算法则计算即可；(2)根 据规定的运算法则列出方程求解即可. 3 解答：(1)由题意，得 3×4 (-5)×2=12+10=22. 24 1 (2)由题意，得 6 1 (5.x 3x-1 5x- 7)- 2(3x-1)=-1,解得x=-1. 小结 本题主要考查新定义下的有理数的混合运 算和解一元一次方程，解题的关键是掌握题中规 定的运算法则， 对应练习 5.规定：若关于x的一元一次方程ax=b 的解为x=b一a,则称该方程是“差解方 程”.例如：方程3.x=4.5的解为x= 1.5=4.5-3,则方程3.x=4.5是“差解 方程”.根据上述规定，解答下列问题： (1)方程2x=4 “差解方程”（填 “是”或“不是”) (2)若关于x的一元一次方程4x=m是 “差解方程”，求m的值 (3)若关于x的一元一次方程4x=ab十 a是“差解方程”，求3(ab十a)的值. 考点五与方程的解有关的综合题 典例5已知关于x的方程2ax一b 3.x-6. (1)若4a=b≠6，求方程的解. (2)若方程有无数个解，求a,b的值. (3)当a为正整数，b=11时，求方程的整 数解. 分析 移项、合并同类项，得(2a一3)x=b-6. (1)将4a=b代入可解出方程的解；(2)由方程 有无数个解，可知系数和常数项均为0，即2a一 3=0且b-6=0,可得a,b的值；(3)将b=11 代入方程，得(2a-3)x=5,根据方程的解为整 数，可得2a-3=士1，士5.结合a为正整数，可 求出方程的整数解 解答：将关于x的方程2ax一b=3x一6移 项、合并同类项，得(2a-3)x=b-6. (1)因为4a=b,所以4a-6=b-6. 所以方程变为(2a-3)x=4a-6. 所以(2a-3)x=2(2a-3). 因为4a=b≠6， 所以2a-3≠0. 所以x=2. (2)因为方程有无数个解， 所以2a-3=0且b-6三0，解得a三号 b=6. (3)将b=11代入方程，得(2a-3)x=5. 因为方程的解为整数， 所以2a一3是5的因数. 所以2a-3=士1或士5. 当2a-3=1,即a=2时，x=5; 当2a-3=-1,即a=1时，x=-5; 当2a-3=5,即a=4时，x=1; 当2a-3=-5,即a=-1时，x=-1(不符 第4章一元一次方程 合题意，舍去) 所以方程的整数解为x=士5或x=1. 小结 本题考查解一元一次方程及一元一次方程 的解，解决本题的关键是将方程整理为(2a 3)x=b一6的形式，根据系数与常数项的关系分 析不同条件下的解. 对应练习 6.已知关于x的方程(m+3)xm-2+6n= 0为一元一次方程，且该方程的解与方程 x十1_2x一1=的解相同. 52 (1)求m,n的值. (2)若关于y的方程|a|y十a=m十1十 2y无解，求a的值. 考点六阅读理解题 典例6下面是某同学解方程的过程，请仔细 阅读，并完成下列各题： 部方程223- 3 解：去分母，得3(x-1)-2(2x一3)=1①. 去括号，得3x一3一4x-6=1②. ,得3.x-4x=1+3+6③： 合并同类项，得一x=10④. 系数化为1，得x=一10⑤. 25 数学（苏科版）七年级上 (1)该同学的解答过程是在第 步开 始出现错误的（填序号）. (2)该同学的解答过程中，第③步中的横线 上应填的步骤是 (3)请你写出此方程的正确解答过程。 分析 (1)根据等式的基本性质2，方程两边都乘 6,观察可得结论；(2)根据解一元一次方程的 步骤可得答案；(3)按照题目所提供的方法步 骤进行计算即可， 解答：(1)①. (2)移项 (3)去分母，得3(x-1)-2(2x-3)=6. 去括号，得3.x一3一4x+6=6. 移项，得3.x一4x=6十3-6. 合并同类项，得一x=3. 系数化为1，得x=-3. 小结 本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方 程的解法和步骤是解题的关键 对应练习 7.[2026杭州上城一模]以下是小程同学解 一元一次方程的解题过程，请认真阅读并 完成下列各题！ 解方程：之十1_2x一 =1 解：去分母，得3(x十1)-2(2x一1)= 1①. 去括号，得3x十3一4x一2=1②， 移项，得3x一4x=1一3十2③. 合并同类项，得一x=0④. 系数化为1，得x=0⑤. (1)小程的解题过程是从第 (填 序号)步开始出现错误的，错误原因是 26 (2)请写出该一元一次方程正确的解答 过程. 考点七列一元一次方程解决实际问题 典例7学校校委会为运动会啦啦队订制了 统一的服装，按照身高依次分为大、中、小三 种尺码，其中大码比中码少2套，大码与中 码的数量之和比小码的少9套.随着队员们 的身高增长，校委会又订制了大码和中码各 5套，并根据身高重新进行了服装分配，大码 与中码服装全部分配给了队员.此时穿大码 的队员身高之和与穿中码的队员身高之和 相等，他们的平均身高分别为170cm和 160cm,则该啦啦队的总人数为() A.66 B.121C.131D.141 分析 根据题意，设原来大码服装有x套，则中码 服装有(x十2)套，进而求得小码服装的套数为 x十(x十2)十9=2x十11.后来大码服装有(x十 5)套，中码服装有(x十7)套，可列方程170(x十 5)=160(x+7),求出方程的解进而计算可得 答案」 解答：设原来大码服装有x套，则中码服装 有(x十2)套，所以小码服装的套数为x十 (x+2)+9=2x十11.因为后来又定制了大 码和中码服装各5套，所以后来大码服装有 (x+5)套，中码服装有(x+7)套.根据题意， 得170(x+5)=160(x+7).所以x=27.所 以原来中码服装的套数为x十2=29，原来小 码服装的套数为2x十11=2×27+11=65. 所以该啦啦队的总人数为27十29十65= 121.故选B. 小结 本题主要考查一元一次方程的应用，根据题 意列出方程是解题的关键， 典例8数学探究课上，创新小组的六个组员 一起探究身边的数学.喜欢画画的朵朵的书 包里恰好有一张如图所示的正方形纸片.他 们的探究过程如下：(1)组长小美首先从这 张正方形纸片上剪去一张宽度为6cm的长 方形纸条；(2)组员小明再从剩下的长方形 纸片上剪去一张宽为2cm的长方形纸条； (3)组员小创通过测量并计算，发现第一次 剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的 长方形纸条周长的3倍.请你求出原正方形 纸片的边长。 2 cm 6cm (典例8图) 分析 设原正方形纸片的边长为xcm,则小美剪 去的长方形纸条的周长为2(x十6)=(2x十 12)cm,小明剪去的长方形纸条的周长为2(.x 6十2)=(2x-8)cm,依题意列出一元一次方 程，求出x的值即可. 第4章一元一次方程 解答：设原正方形纸片的边长为xcm,则小 美剪去的长方形纸条的周长为2(x十6)= (2x+12)cm,小明剪去的长方形纸条的周 长为2(x-6十2)=(2x-8)cm.由题意，得 2x十12=3(2x一8)，解得x=9,以原正方 形纸片的边长为9cm. 小结 本题考查一元一次方程的实际应用，正确进 行计算是解题的关键， 典例9[2025湖北中考]幻方起源于中国， 月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并 完成填空 主 探究月历与幻方的奥秘 题 如图①所示为某月的月历，用方框（涂色部 分)选取了其中的9个数 (1)移动方框，若方框中的部分数如图②所 示，则a= 6= (2)移动方框，若方框中的部分数如图③所 示，则c= ,d= (用含n 的代数式表示) 日 二 四五六 1 3456 活 7 8 910 111213 14 15 1617 18 19 20 动 21 222324 252627 28293031 ① 4 a 6 b 20 ③ n c n+2 d n+16l ⑧ (典例9图) 27 数学（苏科版）七年级上 续表 主 探究月历与幻方的奥秘 题 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的 位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每 横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数 的和都相等 (3)若方框选取的数如图④所示，调整后， 部分数的位置如图⑤所示，则e= f= (4)若方框选取的数中最小的数是，调整 活 后，部分数的位置如图⑥所示，则g= 动 (用含n的代数式表示). 2 3 17 2 e 9 1011 10 161718 18f ④ ⑤ n+2 gn+16 ⑥ (典例9图) 分析 (1)利用“月历中左右相差1，上下相差7” 即可求出a,b的值；(2)利用“月历中左右相差 1,上下相差7”，即可用含n的代数式表示出c, d;(3)根据每一横行、每一竖列以及两条对角 线上的三个数的和都相等，可列出关于e和f 的一元一次方程，解之可得出e和f的值； (4)根据9个数的和是中间数的9倍，可列出关 于g的一元一次方程，解之即可得出结论 解答：(1)根据题意，得a=4+1=5,b=4十 7=11. (2)根据题意，得c=n十1，d=n十7. (3)根据题意，得17十2十e=2十10+18， 17+10+f=2+10+18,解得e=11,f=3. (4)根据题意，得9g=n十n+1+n+2十 28 n+7+n+8+n+9+n+14+n+15+n+ 16,所以g=n+8. 小结 本题考查一元一次方程的应用、列代数式以 及规律型的数字变化，解题的关键是(1)根据各 数之间的关系，求出a,b的值；(2)根据各数之 间的关系，用含n的代数式表示出c,d的值； (3)(4)找准等量关系，正确列出一元一次方程. 对应练习 8.[2026镇江期末]2026年是丙午马年，临 近学期结束，学校决定购买马年吉祥物用 于奖励品学兼优的学生.已知某文创店出 售的每个玩偶比挂件贵40元，学校购买 4个挂件和6个玩偶一共花费440元. （1)请你运用一元一次方程的知识，算一 算每个挂件和玩偶分别多少元， (2)临近春节，文创店推出了优惠活动， 有两种优惠方式可供顾客选择，甲方式： 玩偶和挂件均打8折出售；乙方式：保持 原价不变，但是购买1个玩偶可以赠送 1个挂件.学校计划购买玩偶10个，挂件 x个(x>10),经过测算，两种方式所付 的总费用相同，求学校计划购买挂件多 少个 (3)若学校打算购买10个玩偶和30个 挂件，选(2)中的哪种方式更合算？请你 通过计算说明理由. 第4章一元一次方程 9.学校举办的科技节中，一些同学分组参加 (2)若小亮家去年11月、12月共用水 魅力魔方游戏活动，原来每组8人，后来 24m3(12月用水量超过11月用水量，且 重新编组，每组12人，这样就比原来减少 11月用水量超过6m3),共缴水费 6组，则一共有多少人参加魅力魔方游戏 76元，则他家11月、12月各用水多少立 活动？ 方米？ 10.[2026宿迁宿城期末]某地居民用水收 费标准如下表： 家庭每月用水量 每立方米收费 不超过6m3的部分 2元 超过6m3但不超过12m3 4元 的部分 超过12m3的部分 6元 (1)已知小亮家去年10月共用水13m3, 则他家去年10月应缴水费多少元？ 閏综合素养提升 强化综合运用，融会贯通 1.已知整式A,B是关于x的多项式，整式A,B的值随x的取值变化而变化.当x取不同 值时对应的整式A,B的值如下表： -5 -1 10 A 2 -2 0 B 4 -4 0 则下列是关于x的方程A=B十2的解的为 A.x=-5 B.x=-1 C.x=1 D.x=10 2.七年级男生入住的一楼有x间宿舍，如果每间宿舍住6人，那么恰好空出1间宿舍：如果 每间宿舍住5人，那么就有4人没有宿舍住.一楼共有宿舍 A.7间 B.8间 C.9间 D.10间 29 数学（苏科版）七年级上 3.一艘轮船在A,B两港口之间航行，顺水航行要5小时，逆水航行要7小时，水流的速度是 5千米/时，则A,B两地之间的路程是 () A.105千米 B.175千米 C.180千米 D.210千米 4.已知a,b为有理数，定义一种运算：ab=2a一3b,等号右边为通常的混合运算.若 (5.x一3)（一3x)=29,则x的值为 5.某车间有22名工人，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，1个螺钉要配2个 螺母.为了使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，则应分配 名工人生产螺钉. 6已知代数式“一2与2。的老是最小的正整数，求2的值 7.已知关丁x的方程2=x十智与方程2-8x-2的解互为倒数，求2m一m十3 3 2 的值. 8.小明放学后沿某路公交车的行车路线以4k/h的速度步行回家.途中，这路公交车每 9min就有一辆从后面超过小明，每7min就有一辆向他迎面开来.如果这路公交车按相 同的时间间隔发车，且以同一速度行驶，那么这路公交车每隔多少分钟发一辆车？ 30