1.1 直线的斜率与倾斜角学案-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第一章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 课标要求 1. 了解直线的斜率和倾斜角的概念，理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性，了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率； 2. 掌握用代数方法解决几何问题的技能，掌握数形结合、分类讨论的方法； 3. 感悟倾斜角与斜率的关系，体会数形结合的思想． 课本新知 1．直线的斜率 对于直线l上的任意两点，如果，那么直线l的斜率为 ． 说明： （1）如果，那么直线l的斜率 ； （3）对于一条与x轴不垂直的直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的． 2．直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条 的直线，把x轴绕着 按 方向旋转到 时所转过的 称为这条直线的倾斜角. 规定：与x轴平行或者重合的直线的倾斜角为 ． 说明：（1）由定义可知，直线的倾斜角的取值范围是 ； （2）直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率. 3.当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角 之间满足 ． （1）当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角；当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角；当直线的倾斜角为0时，直线的斜率为0；当直线的倾斜角为直角时，直线的斜率不存在. （2）当直线的倾斜角为锐角时，倾斜角越大，直线越 ，相应的斜率随倾斜角的增大而 ；当直线的倾斜角为钝角时，倾斜角越大，直线越 ，斜率随倾斜角的增大而 .不难发现，直线越陡，直线斜率的绝对值 . 辨析诊断 1．如果过两点的直线的斜率为1，那么实数m的值是（ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 2. 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．（多选题）下列命题中，正确的有(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 D．任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 例题精析 题型一 直线的斜率 例1 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)， Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若点Q(a，3)在直线l1上，求a的值． 思维导图： 提炼小结： (1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”． (2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合． 变式演练 经过下列各组中的两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1) A(2,3)，B(4,5)； (2) C(－2,3)，D(2，－1)； (3) P(－3,1)，Q(－3,10)； (4) A(a，2)，B(3,6)． 题型二 直线的倾斜角 例2 （1）直线x＝1和直线y＝1的倾斜角分别是(　　) A．不存在，0°　　 B．0°，90° C．90°，0° D．90°，180° （2）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为 ． 思维导图： 提炼小结： (1) 解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答． (2) 求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意，画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． 变式演练 (多选题)下列命题中，正确的有(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 题型三 斜率和倾斜角的应用 例3 已知有A(－3,4)，B(3,2)两点，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． （1） 若直线l的斜率存在，求直线l的斜率k的取值范围； （2） 求直线l的倾斜角α的取值范围． 思维导图： 提炼小结： (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围), 利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率, 运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题, 常利用数形结合及公式求解． 变式演练 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)三点． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动，求直线AD的斜率的取值范围． 随堂练习 1.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A．[0°，90°] B．[90°，180°) C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°] 2.若过A(m，3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m=(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 3. (多选题)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 4. 已知m≥1，则经过点A(m，3)与点B(1,2)的直线的倾斜角α的取值范围是________ ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直线与方程 1.1 直线的斜率与倾斜角 【课本新知】 1． 不存在 2．与x轴相交 交点 逆时针 与直线重合 最小正角 0° 3.k＝tan（） 陡 增大 平缓 增大 越大 【辨析诊断】 1．A【解析】由题意，过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1.根据直线的斜率公式，可得，解得.故选A. 2. C【解析】由题意，可得直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角的取值范围是90°180°.故选C. 3. ABD 【例题精析】 例1【解】(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在．设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 则由斜率公式得k1＝＝，k2＝＝－4，k3＝＝0. (2)因为点Q(a，3)在直线l1上，所以直线PQ的斜率等于k1，所以，解得. 【变式演练】【解】(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率 (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在． (4)当a＝3时，斜率不存在；当a≠3时，直线的斜率k＝. 例2 （1）C 【解析】作出图象，故C正确． （2）60°或120°【解析】 有两种情况：①如图①，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图②，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 图① 图② 【变式演练】AC 【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确．D中，当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误．故选AC. 例3【解】如图，由题意可知，kPA＝＝－1，kPB＝＝1， (1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 变式演练【解】(1) 由斜率公式可得，直线AB的斜率kAB＝＝.直线AC的斜率kAC＝＝.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2) 如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 【随堂练习】 1.C【解析】结合图形根据倾斜角定义，可得C正确.故选C. 2.A【解析】由题意知，tan 45°＝，得m＝2.故选A. 3. AB【解析】根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知，当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 故选AB. 4. 【解析】当m＝1时，倾斜角α＝90°；当m>1时，tan α＝>0，所以0°<α<90°. 综上，的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $