精品解析：呼和浩特市实验集团启东2020-2021学年八年级下学期第一次月考数学试卷

呼和浩特市2020-2021实验集团启东初二（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：（3×10=30分） 1. 的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知是整数，当取最小值时，的值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 5. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2） 6. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 7. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 8. 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 9. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 10. 在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____． 13. 《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）为2寸（注：一尺为10寸），则门宽为________尺． 14. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm． 15. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________. 16. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______． 三、解答题 17. 计算． （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中x＝． 19. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 20. 如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点与重合，折痕，若长方形的长为，宽为，求的长． 21. 阅读下列材料并回答问题： 材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． ① 古希腊几何学家海伦（，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式． 我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：． ② 下面我们对公式②进行变形： ． 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式． 问题：如图，在中，，，，内切于，切点分别是D、E、F． （1）求的面积； （2）求的半径． 22. 在中，，，于点D． （1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长； （2）图2，点E、F分别在上，且，求证：． （3）如图3，点M在的延长线上，点N在上，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼和浩特市2020-2021实验集团启东初二（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：（3×10=30分） 1. 的值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根．根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2. 下列二次根式中能与2合并的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可． 【详解】A、＝2，不能与2合并，故该选项错误； B、能与2合并，故该选项正确； C、＝3不能与2合并，故该选项错误； D、＝3不能与2合并，错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3. 已知是整数，当取最小值时，的值是( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论． 【详解】解：∵，∴， 且与最接近的整数是5，∴当取最小值时，的值是5， 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键． 4. 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC= 3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A'B'C' ，则四边形ABC'A'的面积是 （ ） A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形ACB中，可用勾股定理求出BC边的长度，四边形ABC’A’的面积为平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’面积之和，分别求出平行四边形ABB’A’和直角三角形A’C’B’的面积，即可得出答案． 【详解】解：在ACB中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3， 由勾股定理可得：， ∵A’C’B’是由ACB平移得来，A’C’=AC=3，B’C’=BC=4， ∴， 又∵BB’=3，A’C’= 3， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、平移的概念、平行四边形与直角三角形面积的计算，解题的关键在于判断出所求面积为平行四边形与直角三角形的面积之和，且掌握平行四边形的面积为底高． 5. 如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　） A. （﹣1，2） B. （，2） C. （3﹣，2） D. （﹣2，2） 【答案】A 【解析】 【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依据∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，进而得出HG=-1，可得G（-1，2）． 【详解】如图，过点A作AH⊥x轴于H，AG与y轴交于点M， ∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（-1，2）， ∴AH=2，HO=1， ∴Rt△AOH中，AO=， 由题可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴MG=-1， ∴G（-1，2）， 故选A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 6. 如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为（ ） A. 28 B. 24 C. 21 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和中垂线定理，再结合题意进行计算，即可得到答案. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵平行四边形的周长为28， ∴ ∵， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴的周长， 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和中垂线定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和中垂线定理. 7. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 1，4，5 B. 2，3，5 C. 3，4，5 D. 2，2，4 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，，则小的两个正方形的面积等于大正方形的面积，再分别进行判断，即可得到面积最大的三角形． 【详解】解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c， 由勾股定理，得， A、∵1+4=5，则两直角边分别为：1和2，则面积为：； B、∵2+3=5，则两直角边分别为：和，则面积为：； C、∵3+4≠5，则不符合题意； D、∵2+2=4，则两直角边分别为：和，则面积为：； ∵， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，以及正方形的性质进行解题． 8. 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】由题意可知： , 解得：, 故选：． 【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 9. 实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）． A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案． 【详解】解：由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0， ∴ = = =-2 故选A. 【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断． 10. 在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3……按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3……在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3……则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过解直角三角形C1D1E1得到D1E1=，同样的方法解得B2C2=（ ）1， B3C3 =（ ）2，进而总结出变化规律． 【详解】解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3… ∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°， ∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2=（ ）1， 同理可得：B3C3= =（ ）2， 故正方形AnBnCnDn的边长是：（ ）n﹣1． 则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014． 故选：D． 【点睛】本题是探究几何图形的变化规律，解题的关键是从特殊情况出发，总结出一般情况得出结果． 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 若实数满足，且恰好是直角三角形的两条边，则该直角三角形的斜边长为_____． 【答案】或． 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出，再分情况求解即可． 【详解】， ∴， ， ①当是直角边时， 则该直角三角形的斜边， ②当是斜边时，则斜边为， 故答案为或． 【点睛】本题考查非负数的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）为2寸（注：一尺为10寸），则门宽为________尺． 【答案】 【解析】 【分析】解答此题的关键是弄清题意，画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】设OA=OB=AE=BF=，过E作EC⊥AB于C，过F作FD⊥AB于D，如图： 则须EC=1，OC=CD=0.1，AC= -0.1． 在Rt△ACE中， ，即， 解得：（尺）． 故门的宽度（两扇门的和）AB为10.1（尺）． 故答案为：10.1． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．难点在于理解题意，构造直角三角形，根据勾股定理进行计算． 14. 无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：＝15， 则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm）． 故答案为5． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键． 15. 对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________. 【答案】60 【解析】 【详解】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案． 详解：由题意可知：， 解得：． ∵x＜y，∴原式=5×12=60． 故答案为60． 点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型． 16. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），设，先根据直角三角形的面积公式、正方形的面积公式求出的值，再根据建立等式，然后根据建立等式求出a的值，最后代入求解即可． 【详解】如图，由题意得：，，，是直角三角形，且均为正数 则大正方形的面积为 小正方形的面积为 设 则 又，即 解得或（不符题意，舍去） 将代入得： 两边同除以得： 令 则 解得或（不符题意，舍去） 即的值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程与几何图形、勾股定理、三角形全等的性质等知识点，理解题意，正确求出的值是解题关键． 三、解答题 17. 计算． （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据二次根式的性质，分母有理化法则进行化简，然后合并即可求解； （）根据有理数除法，化简绝对值，二次根式的性质，完全平方公式，负整数指数幂进行化简，然后合并即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中x＝． 【答案】， 【解析】 【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式＝，然后把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值和二次根式的计算，解题的关键是掌握分式和二次根式的运算方法． 19. 如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港． （1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）； （2）确定C港在A港的什么方向． 【答案】（1）A、C两地之间的距离为14.1km;（2）C港在A港北偏东15°的方向上． 【解析】 【分析】（1）根据方位角的定义可得出∠ABC=90°，再根据勾股定理可求得AC的长为14.1. （2）由（1）可知△ABC为等腰直角三角形，从而得出∠BAC=45°，求出∠CAM=15°，所而确定C港在A港的什么方向. 【详解】（1）由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°． ∵AB=BC=10，∴AC==≈14.1． 答：A、C两地之间的距离为14.1km． （2）由（1）知，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°， ∴C港在A港北偏东15°的方向上． 【点睛】本题考查了方位角的概念及勾股定理及其逆定理，正确理解方位角是解题的关键. 20. 如图，把长方形纸片折叠，使其对角顶点与重合，折痕，若长方形的长为，宽为，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．设，则，在中利用勾股定理求出的值，过点作于，则四边形是长方形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵四边形为长方形， ∴， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 由图形翻折变换的性质可知，，， ∴， ∴， ∴． 过点作于，则四边形是长方形， ∴,, ∴， ∴在中，由勾股定理得 ． 21. 阅读下列材料并回答问题： 材料1：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为． ① 古希腊几何学家海伦（，约公元50年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名．他在《度量》一书中，给出了公式①和它的证明，这一公式称海伦公式． 我国南宋数学家秦九韶（约1202﹣﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：． ② 下面我们对公式②进行变形： ． 这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称①为海伦﹣﹣秦九韶公式． 问题：如图，在中，，，，内切于，切点分别是D、E、F． （1）求的面积； （2）求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的应用，切线的性质，三角形面积计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握切线的性质． （1）由已知的三边，，，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦﹣秦九韶公式求解即可； （2）连接、、、、、，根据切线的性质得出，，，，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接、、、、、，如图所示： 设的半径为r， ∵内切于，切点分别是D、E、F， ∴，，，， ∵ ， ， ∵， ∴， ∴． 22. 在中，，，于点D． （1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长； （2）图2，点E、F分别在上，且，求证：． （3）如图3，点M在的延长线上，点N在上，且，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴； （3） 证明：过点M作交的延长线于E， ∴，， 则， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质直角三角形的性质得到，求出，，根据直角三角形的性质和勾股定理计算即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明； （3）过点M作交的延长线于E，证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论． 【小问1详解】 解：，，， ，，， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，，即， 解得，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $