精品解析： 辽宁省抚顺市新宾县2021-2022学年九年级下学期教学质量检测（四）数学试题

2021～2022学年度第二学期教学质量检测（四） 九年级数学试卷 ※考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分150分 2、请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处．每小题3分，共30分） 1 （ ） A 2022 B. C. D. 2. 如图是由两个大小不一样的圆柱组成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，计算正确的是（　　） A. 3a•4a2＝7a2 B. 3a•4a2＝12a2 C. 3a•4a2＝7a3 D. 3a•4a2＝12a3 4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式是（ ） A. 了解某个班级学生的视力情况 B. 调查某批次日光灯的使用寿命 C. 调查市场上矿泉水的质量情况 D. 调查某市成年人的学历水平 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 7. 如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 函数y＝kx+b与y＝在同一坐标系的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　） A. 1600元 B. 1800元 C. 2000元 D. 2400元 10. 如图，，，，……是分别以，，，……为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，……，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共24分） 11. ______． 12. 2022年2月4日，第24届冬奥会在北京开幕，据统计中国地区观看开幕式的人数约为316000000人，请将数字316000000用科学记数法表示出来_________. 13. 已知一组数据3，7，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的中位数是______． 14. 将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为 _____． 15. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是 _____． 16. 如图，一次函数（）图象与反比例函数（m为常数，）的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为______． 17. 如图，是的直径，，，则_______． 18. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若．则下列结论：①；②；③；④点D到的距离为，其中正确的结论是 ____． 三、解答题（19题10分，20题12分，共22分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 20. 如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1各点坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　， （3）求△ABC面积． 四、解答题（21题12分，22题12分， 共24分） 21. 2021年7月24日，中共中央办公厅，国务院办公厅发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和课外培训负担的意见》，该意见要求初中生每天睡眠时间不低于9小时．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为__________． （2）将条形统计图补充完整； （3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不低于9小时？ （4）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 22. 滑雪是冬天人们最喜爱的运动项目之一，如图为一个滑雪场雪道的截面图，雪道由AB和BC两段组成，AB的坡角∠A＝17°，BC的坡角∠CBE＝25°，A、C两点间的水平距离AD＝2000米，铅直距离CD＝800米，求AB两点间的铅直距离BH．（参考数据：sin25°≈0.4，tan25°≈0.5，sin17°≈0.3，tan17°≈0.3） 五、解答题（本题12分） 23. 如图，为的直径，点，为上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线． （2）连接，若，，求阴影部分的面积． 六、解答题（本题12分） 24. 某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？ 七、解答题（本题12分） 25. 如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． （1）如图1，若点是中点， 求证：①；②． （2）如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； （3）如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 八、解答题（本题14分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A、C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线y＝x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t＝﹣时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ、DH交于点G，求G点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021～2022学年度第二学期教学质量检测（四） 九年级数学试卷 ※考生注意：1、考试时间120分钟，试卷满分150分 2、请在答题卡各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（下列各题只有一个答案是正确的，将正确答案填涂到答题卡的对应处．每小题3分，共30分） 1. （ ） A. 2022 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案． 【详解】解：2022． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 2. 如图是由两个大小不一样的圆柱组成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从前面看到的图形是主视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图． 根据从左面看到的图形是左视图作答即可． 【详解】这个几何体的左视图是， 故选：A． 3. 下列算式中，计算正确的是（　　） A. 3a•4a2＝7a2 B. 3a•4a2＝12a2 C. 3a•4a2＝7a3 D. 3a•4a2＝12a3 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用单项式乘单项式计算得出答案． 【详解】解：3a•4a2 ＝3×4a•a2 ＝12a3， A. 选项A3a•4a2＝7a2系数与指数都不对，故不正确； B. 3a•4a2＝12a2指数不对 ，故不正确； C. 3a•4a2＝7a3系数不对，故不正确； D. 3a•4a2＝12a3正确． 故选：D． 【点睛】本题考查单项式与单项式乘法，掌握单项式乘法法则是解题关键． 4. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 了解某个班级学生的视力情况 B. 调查某批次日光灯的使用寿命 C. 调查市场上矿泉水的质量情况 D. 调查某市成年人的学历水平 【答案】A 【解析】 【分析】根据普查（亦即全面调查）得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、了解某个班级学生的视力情况，适宜采用全面调查方式； B、调查某批次日光灯的使用寿命，适宜采用抽样调查方式； C、调查市场上矿泉水的质量情况，适宜采用抽样调查方式； D、调查某市成年人的学历水平，适宜采用抽样调查方式； 故选：A． 【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，求出其解集，再在数目表示这个解集即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ， 在数轴上表示解集为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解不等式组，利用数形结合思想表示不等式组解集是解题的关键． 6. 如图，在Rt△ABC中，若，AB＝10，则△ABC的面积为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，由勾股定理得，求出的值，根据，可得的面积． 【详解】解：∵ ∴ 由勾股定理得，即 解得 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查了正切，勾股定理．解题的关键在于求解的长． 7. 如图，的边经过圆心，与圆相切于点，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理. 连接，根据圆周角定理求出，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质计算，得到答案． 详解】解：连接， ， ， 与圆相切于点， ， ， 故选：C． 8. 函数y＝kx+b与y＝在同一坐标系的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象经过的象限判定k、b的符号，即可得kb的符号，再判定y＝的图象经过的象限，由此对四个选项依次判定即可求解. 【详解】选项A，由一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，可得k<0，b>0，所以kb<0，即可得y＝的图象过二、四象限，由此即可判选项A错误； 选项B，由一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，可得k<0，b<0，所以kb>0，即可得y＝的图象过一、三象限，由此即可判选项B错误； 选项C，由一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、三象限，可得k>0，b>0，所以kb>0，即可得y＝的图象过一、三象限，由此即可判选项C错误； 选项D，由一次函数y＝kx+b的图象经过二、三、四象限，可得k<0，b<0，所以kb>0，即可得y＝的图象过一、三象限，由此即可判选项D正确. 故选D. 【点睛】本题考查了一次函数图象及反比例函数图象与系数的关系，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限；反比例函数y＝的图象有两种情况：①当k＞0时，函数y=的图象经过第一、三象限；②当k<0时，函数y=的图象经过第二、四象限. 9. 某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元．根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（　　） A. 1600元 B. 1800元 C. 2000元 D. 2400元 【答案】C 【解析】 【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x，根据“实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x， 根据题意得：， 解得：x＝2000， 经检验：x＝2000是原方程的解， 答：每间直播教室的建设费用是2000元， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大． 10. 如图，，，，……是分别以，，，……为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上等腰直角三角形，其斜边的中点，，，……，均在反比例函数的图象上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和． 【详解】解：如图，过C1、C2、C3……分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…… 则 是等腰直角三角形 其斜边的中点在反比例函数中 即 设则 此时将代入得 解得即 同理 故选：B． 【点睛】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. ______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【详解】解：原式=， =， =． 故答案为：． 【点睛】本题考查特殊角三角函数值的计算，解决本题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值． 12. 2022年2月4日，第24届冬奥会在北京开幕，据统计中国地区观看开幕式的人数约为316000000人，请将数字316000000用科学记数法表示出来_________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】∵316000000=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值大于1的数的科学记数法，确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 13. 已知一组数据3，7，9，10，x，12的众数是9，则这组数据的中位数是______． 【答案】9 【解析】 【分析】先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：∵众数是9， ∴x=9， ∴从小到大排列此数据为：3，7，9，9，10，12， ∵处在第3、4位的数都是9， ∴9为中位数． 故答案为9． 【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 14. 将抛物线y＝3x2向上平移4个单位，再向右平移2个单位，所得抛物线的函数解析式为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式为：，顶点坐标为解题即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是， ∵将抛物线向上平移4个单位，然后向右平移2个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标是， ∴平移后抛物线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与几何变换的相关知识点． 15. 甲、乙、丙、丁四名同学进行跳高测试，每人10次跳高成绩的平均数都是1.28m，方差分别是s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45，则这四名同学跳高成绩最稳定的是 _____． 【答案】丁 【解析】 【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可． 详解】解：∵s甲2＝0.60，s乙2＝0.62，s丙2＝0.58，s丁2＝0.45， ∴s丁2＜s丙2＜s甲2＜s乙2， ∴这四名同学跳高成绩最稳定的是丁， 故答案为：丁． 【点睛】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键． 16. 如图，一次函数（）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，的取值范围是或， 关于的不等式的解集为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 17. 如图，是的直径，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tan∠B进行计算． 【详解】解：∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝132−52＝12， ∴tan∠ADC＝tanB＝=， 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想． 18. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若．则下列结论：①；②；③；④点D到的距离为，其中正确的结论是 ____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质及应用，涉及三角形的中位线定理、等腰直角三角形性质、锐角三角函数、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、点到直线的距离、勾股定理等知识． 首先得、都是等腰直角三角形，可得，故①正确；中，，故②正确，根据，得，故③不正确；求出面积为8，设点D到的距离为x，则，可得点D到的距离为，故④正确． 【详解】解：∵正方形中，对角线与相交于点O， ∴O是中点， ∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵正方形中， ∴ ∴是等腰直角三角形， 而， ∴是等腰直角三角形， ∴，故①正确； ∵， 在正方形中， ∴， 在中，，故②正确， ∵F是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，故③不正确； 在中， ， ∴， ∵的面积为， ∵F是斜边的中点， ∴面积为8， 设点D到的距离为x，则， ∴，解得， ∴点D到的距离为，故④正确； 故答案为：①②④． 三、解答题（19题10分，20题12分，共22分） 19. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）4；（2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊三角函数值，绝对值符号化简，零指数幂，合并同类二次根式和同类项即可； （2）去分母将分式方程化整式方程，解整式方程，检验即可． 【详解】（1）解：， ， =4； （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：． 经检验：是原方程的解． 【点睛】本题考查实数混合远算，与可化为一元一次方程的分式方程，掌握特殊角锐角三角函数，绝对值，零指数幂，二次根式，分式方程的解法，检验方法是解题关键． 20. 如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）写出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1各点坐标：A1　 　，B1　 　，C1　 　， （3）求△ABC面积． 【答案】（1）见解析 （2）（1，5），（3，0），（4，3） （3） 【解析】 【分析】（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1； （2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标； （3）根据网格利用割补法即可求△ABC的面积． 【小问1详解】 解：如图，△A1B1C1即为所求； 【小问2详解】 如图所示：A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）； 【小问3详解】 △ABC的面积为：． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质． 四、解答题（21题12分，22题12分， 共24分） 21. 2021年7月24日，中共中央办公厅，国务院办公厅发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和课外培训负担的意见》，该意见要求初中生每天睡眠时间不低于9小时．学完统计知识后，小明对同学们最近一周的睡眠情况进行随机抽样调查，得到他们每日平均睡眠时长（单位：小时）的一组数据，将所得数据分为四组，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）小明一共抽样调查了________名同学；在扇形统计图中，表示组的扇形圆心角的度数为__________． （2）将条形统计图补充完整； （3）小明所在学校共有1400名学生，估计该校最近一周大约有多少名学生睡眠时长不低于9小时？ （4）组的四名学生是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人了解最近一周睡眠时长不足8小时的原因，试求恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）40，18° （2）C组人数为 12（名），图形见详解 （3）该校最近一周大约有490名学生睡眠时长不低于9小时 （4）抽到1名男生和1名女生的概率是 ． 【解析】 【分析】（1）用B组的人数除以所占百分比即可求出调查的人数，求出D组人数所占百分比再乘以360°即可得到D组的扇形圆心角的度数； （2）求出C组人数即可补全条形统计图； （3）用1400乘以睡眠时长不低于9小时所占百分比即可得到结果； （4）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：22÷55%=40（名） 所以，小明一共抽样调查了40名同学； D组的扇形圆心角的度数为： 故答案为：40，18°； 【小问2详解】 解：C组人数为：40-4-22-2=12（名） 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：睡眠时长不低于9小时的学生有12+2=14人，抽查人数为40人， ∴（名）， ∴该校最近一周大约有490名学生睡眠时长不低于9小时； 【小问4详解】 解：用A和B表示男生，用C和D表示女生，画树状图如下， 因为共有12种等可能的情况数，其中抽到1名男生和1名女生的有8种， 所以抽到1名男生和1名女生的概率是：． 【点睛】本题考查从条形图与扇形统计图获取信息和处理信息，补画条形统计图，用样本的百分比含量估计总体的数量，以及画树状图或列表求概率，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏． 22. 滑雪是冬天人们最喜爱的运动项目之一，如图为一个滑雪场雪道的截面图，雪道由AB和BC两段组成，AB的坡角∠A＝17°，BC的坡角∠CBE＝25°，A、C两点间的水平距离AD＝2000米，铅直距离CD＝800米，求AB两点间的铅直距离BH．（参考数据：sin25°≈0.4，tan25°≈0.5，sin17°≈0.3，tan17°≈0.3） 【答案】AB两点间的铅直距离BH约为300米． 【解析】 【分析】根据正切的定义用x表示出AH，进而求出BE，再根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设BH=x米， 由题意得：四边形BHDE为矩形， ∴DE=BH=x米，BE=DH， ∴CE=（800-x）米， 在Rt△BAH中，tan∠BAH=， ∴AH=（米）， ∴BE=DH=（2000-x）米， 在Rt△CBE中，tan∠CBE=， ∴， 解得：x=300， 经检验，x=300是原方程的解， 答：AB两点间的铅直距离BH约为300米． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 五、解答题（本题12分） 23. 如图，为的直径，点，为上两点，且，连接，，过点作交的延长线于点． （1）求证：直线是的切线． （2）连接，若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据，求得，根据等腰三角形的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，于是得到是的切线； （2）过点O作于点F，连接，，根据，得出，由于，得出是等边三角形，得出，在中，由勾股定理：，根据． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过点O作于点F，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中：， ∴． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，等边三角形、垂径定理，扇形的面积的计算，解题的关键是正确地作出辅助线． 六、解答题（本题12分） 24. 某水果店以进价为每千克18元购进草莓，销售中发现，销售单价定为20元时，日销售量为50千克；当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克，设销售单价为x元，每天的销售量为y千克，每天获利为w元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式，并求该草莓售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果商家规定这种草莓每天的销售量不低于40千克，求每天销售利润的最大值是多少元？ 【答案】（1）； （2），该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元； （3）每天的销售利润最大值为160元． 【解析】 【分析】（1）根据“当销售单价每上涨1元，日销售量就减少5千克”可得减少的销售量为5(x— 20)千克，进而再根据题意列出函数解析式即可； （2）根据“总利润=(售价一进价)×销售数量”列出函数解析式，再根据求二次函数性质即可得答案； （3）根据题意“每天的销售量不低于40千克”列出不等式求得a的取值范围，再由二次函数的性质求最大值． 【小问1详解】 根据题意得，， 即； 【小问2详解】 根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为， 又∵， ∴当时，w有最大值，最大值为180． 答：w与x之间的函数关系式为：，该水果售价为每千克24元时，每天的销售利润最大，最大值为180元； 【小问3详解】 由题意得，， 解得，， ∴． ∵， ∵，开口向下， 在对称轴左侧，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，最大值为：， 答：商家每天销售利润的最大值是160元． 【点睛】本题是一次函数的实际应用与二次函数的实际应用的综合题，主要考查了从实际问题中正确列一次函数的解析式和二次函数的解析式，求二次函数的最值，解题的关键是在运用二次函数的性质求最值时，要思考顶点横坐标在实际的取值范围内没有，若在这个范围内，则顶点的函数值就是所求最值，否则要进一步根据二次函数的增减性求最值． 七、解答题（本题12分） 25. 如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作于点． （1）如图1，若点是中点， 求证：①；②． （2）如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； （3）如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）成立，见解析 （3）成立，见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形的综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加适当的辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论； （2） 仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论； （3）结论仍然成立，过点D作交AC于M，证明，可得结论． 【小问1详解】 证明：如图 ①∵为等边三角形， ∴， 又为中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， ∴； ②∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴． 【小问2详解】 仍然成立，理由如下： 如图，过点D作交AC于M ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴． 【小问3详解】 的结论仍然成立，理由如下：如图为所求作图． 作交的延长线于， ∴ ∴等边三角形， ，， 而， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 八、解答题（本题14分） 26. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴交于点A、C，且C(2，0)，与y轴交于点B(0，4)，直线y＝x+5与x轴交于点D、与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接PE，将线段PE绕点E逆时针旋转90°得到线段EF，过点F作FM⊥x轴于点M，设P点横坐标为t，FM的长为d，求d与t之间的函数解析式（不要求写自变量t的取值范围）； （3）在（2）的条件下，当t＝﹣时，过E点作EH⊥DE交MF的延长线于点H，Q是AC的中点，连接PQ、DH交于点G，求G点坐标． 【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+4； （2）d＝5+t； （3）（，）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）如图1，作辅助线构建两个直角三角形，利用斜边PE＝EF和两角相等证两直角三角形全等，得PA′＝EB′，则d＝FM＝OE﹣EB′代入列式可得结论，但要注意PA′＝﹣t； （3）如图2，根据直线EH的解析式表示出点P的坐标和H的坐标，发现点P和点H的纵坐标相等，则PH与x轴平行，证明△PGH≌△QGD，得PH＝DQ＝4，由此可得出点G是PQ的中点，利用线段中点公式求出结论． 【小问1详解】 解：把B（0，4），C（2，0）代入y＝ax2+2ax+c得， 解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x+4； 【小问2详解】 如图，分别过P、F向y轴作垂线，垂足分别为P′、F′， ∴∠EP′P＝∠EF′F＝90°， 由旋转可知，PE＝EF，∠PEF＝90°， 由直线DE的解析式为：y＝x+5，则E（0，5）， ∴OE＝5， ∵∠PEO+∠OEF＝90°，∠PEO+∠EPP′＝90°， ∴∠EPP′＝∠OEF， ∴△PEP′≌△EFF′（AAS）， ∴PP′＝EF′＝﹣t， 则d＝FM＝OF′＝OE﹣EF′＝5﹣（﹣t）＝5+t； 【小问3详解】 如图，由直线DE的解析式为：y＝x+5， ∵EH⊥ED， ∴直线EH的解析式为：y＝﹣x+5， ∵令y＝﹣x2﹣x+4＝0， ∴x＝﹣4或x＝2， ∴A（﹣4，0）． ∵t＝， ∴P（，+1）， ∴EP′＝5﹣（+1）＝4﹣， ∴FF′＝OM＝EP′＝4﹣， ∴H（4﹣，+1）， ∴P与H的纵坐标相等， ∴PH∥x轴，PH＝4， ∴∠PHD＝∠HDQ，∠QPH＝∠PQD， ∵点Q是AC的中点， ∴Q（﹣1，0）， ∴DQ＝4， ∴DQ＝PH＝4， ∴△PGH≌△QGD（AAS）， ∴PG＝GQ，即点G是PQ的中点， 作GI⊥x轴于I，作PR⊥x轴于R， ∴GI∥PR， ∴△QGI∽QPR， ∴, ∴,, ∴, ∴G（，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，直角三角形全等的性质和判定，相似三角形的判定与性质等知识，本题的关键是根据直角三角形全等对应边相等列式得出d与t的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $