专题03一元二次方程（15大高频考点）（期中真题汇编，北师大版）九年级数学上学期

专题03一元二次方程（15大高频考点） 15大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02根据一元二次方程的定义求参数的值 考点03一元二次方程的根 考点04一元二次方程的根的近似值 考点05直接开平方法 考点06配方法 考点07公式法 考点08因式分解法 考点09用适当方法解一元二次方程 考点10根据判别式判定根的情况考点 11由根的情况求参数的范围 考点12根与系数的关系 考点13判别式、根与系数的关系与三角形、四边形问题 考点14新定义问题 考点15配方法的应用与材料阅读题 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·青海西宁·期中）下列为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，方程是一元一次方程，该选项不符合题意； 、方程不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 、方程是一元二次方程，该选项符合题意； 、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法． 由常数项为2，求出m的值，再结合，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，由常数项为2， 则， 解得：或， ∵， ∴， ∴或都符合题意． 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式直接求出即可． 【详解】解：一元二次方程化为一般形式是， 故答案为：． 地 城 考点02 根据一元二次方程的定义求参数的值 4．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．a取任意实数 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得， ∴； 故选B． 5．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．一元二次方程的一般形式：，据此进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程是一元二次方程成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义得出且，然后求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：1． 地 城 考点03 一元二次方程的根 7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）若是方程的一个根，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解是解题的关键． 把代入方程，得到关于的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：代入方程，得：， 解得或． 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，直接将方程的解代入，正确运算是解题的关键．把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 9．（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题考查一元二次方程的根及求代数的值，根据a是方程的解可求出，将化为即可代值计算出答案． 【详解】若a是方程的解， 则， ∴， ∴， 故答案为：2023． 地 城 考点04 一元二次方程的根的近似值 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解：时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 11．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 地 城 考点05 直接开平方法 12．（24-25九年级上·福建·期中）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用平方根解方程，因为在中，左边是一个平方数，总是大于等于，即大于等于解答即可． 【详解】解：由可得， ∴， 故选：D． 13．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）已知方程，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握整体的思想是解题的关键．把看做一个整体，利用直接开平方的方法解方程得到或，再根据偶次方的非负性得到，则． 【详解】解：∵， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是直接开平方法解一元二次方程，涉及平方根的性质，利用平方根的含义解方程，根据非负数才有平方根可得答案． 【详解】解： ∵方程可以用直接开平方法求解， ∴． 故答案为． 地 城 考点06 配方法 15．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，利用配方法，首先移项，二次项系数化为1，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，于是可将配方成，结合已知条件，求出p和q的值，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴， ∵方程可以配方成的形式， ∴，， ∴， ∴为， ∴， 配方，得，即， 故答案为： ． 17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理及二次根式的应用，求得方程的两个根是关键．解一元二次方程，求得方程的两根，由勾股定理求得斜边的长． 【详解】解：解方程， 得：，， 即：直角三角形的两直角边分别和， 由勾股定理得斜边长为：． 故答案为：． 地 城 考点07 公式法 18．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程公式法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解答本题的关键． 首先转化成一元二次方程的一般形式，然后求解即可． 【详解】解： 整理得， ∴二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是1，3，． 故选：C． 19．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可 【详解】解：依题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） 故选：B 20．（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 【答案】 【分析】本题主要考查公式法解一元二次方程．根据求根公式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点08 因式分解法 21．（24-25九年级上·广东江门·期中）方程的解是（   ） A．， B．， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，每个因式分别等于0，可得到方程的解，据此进行分析计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴或， ∴， 故选：A． 22．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是 ． 【答案】9 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系确定第三边的值是解题的关键， 利用因式分解的方法得到，推出，，解得，，再根据三角形的三边关系得出第三边只能是9． 【详解】解：， ， ，， 解得：；， ， 由于三角形两边之和大于第三边， 只能取． 故答案为：9． 23．（21-22九年级上·四川泸州·期中）解方程： 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的几种常规解法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法是解题的关键，注意：要根据方程的特点，选择恰当的解法，使运算更简便．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 整理得， 因式分解得， 则，， 解得，． 地 城 考点09 用适当方法解一元二次方程 24．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)，； (3) (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据方程的特点选择合适的解法，如直接开平方法、因式分解法、公式法等． （1）方程，可先将方程两边同时除以4，再用直接开平方法求解； （2）方程，尝试用因式分解法求解； （3）方程，用公式法求解； （4）方程，把看成一个整体，用因式分解法求解． 【详解】（1）解：（1），即， 或， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， 设，则方程变形为， ， 即， 或， 或， 则或， 解得． 25．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法及求根公式是解题的关键． （1）根据因式分解法求解一元二次方程即可； （2）根据公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得， ， 即：， 则或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ． 26．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由直接开平方法解方程即可； （2）由因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 所以，； （2）解：， ， 或， 所以，． 27．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)； (4) ． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法和配方法． （1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程； （2）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （3）利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可； （4）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ， ∴或， 解得：，； （4）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 地 城 考点10 根据判别式判定根的情况 28．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程，其中，，， 则， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 29．（24-25九年级上·四川资阳·期中）关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程的判别式，判断其符号即可确定根的情况． 【详解】解：对于方程，，，， ∴ ， 由于，因此， 即对所有实数恒成立． 因此，方程总有两个不相等的实数根， 故选：B． 30．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 【答案】1或2 【分析】本题考查根据一次函数图象所过象限，求参数的范围，根的判别式，根据直线不经过第二象限，得到，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第二象限， ∴， 当时，方程化为，解得，有1个实数根； 当时，方程为一元二次方程，， ∴方程有2个不相等的实数根； 故答案为：1或2 31．（22-23九年级上·全国·期中）已知k为实数，关于x的方程为． (1)判断方程有无实数根． (2)当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根． 【答案】(1)有，理由见解析 (2)时，，;时，，（答案不唯一）． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式应用及有理数根的求解，解题的关键是将方程化为一般形式，正确计算判别式判断根的情况，再结合判别式为完全平方数的条件确定有理数及对应根． （1）将方程化为一般形式，计算判别式并配方，根据判别式恒正判断方程总有两个不相等实数根； （2）令判别式为完全平方数，选取有理数代入方程，求解得相应有理数根． 【详解】（1）解： 整理为，其中，，；； ∵， ∴，故方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由为完全平方数，取有理数计算： ①当时，方程为，因式分解得， 解得，； ②当时，方程为，求根得，． （答案不唯一，合理即可） 32．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可求解； （2）根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，分析即可． 【详解】（1）解：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ，∴一元二次方程有两个实数根； 综上：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）解：∵方程有两个整数根， ∴方程为一元二次方程，即， ， ， ∴或，解得：或， ∵为整数，方程的两个根也都为整数， ∴， 解得：或． 地 城 考点11 由根的情况求参数的范围 地 城 考点15 配方法的应用与材料阅读题 33．（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式小于0时，方程无实数根计算即可． 【详解】解：原方程移项得， 其中，，， ∴， ∵关于x的一元二次方程：没有实数根， ∴，即， 解得， 故选：A． 34．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程及根的判别式，根据一元二次方程的定义及根的判别式求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，且， ∴． 故选：B 35．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义．当，即时，原方程为一元一次方程，解得可得出x的值，进而可得出符合题意；当，即时，利用根的判别式，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出且．综上，即可得出m的取值范围． 【详解】解：当，即时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当，即时，， 解得：， ∴且． 综上所述，m的取值范围是． 故答案为：． 36．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，根的判别式，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键； （1）根据根的判别式即可求出答案． （2）通过因式分解法求出方程的两根，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵方程， ，，， ， ∴无论为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：由方程得， ∴或， ，， ∵方程有一个根为负数， ． ∴． ∴的取值范围是． 37．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知：关于的方程． (1)若方程有一根为2，求的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】(1)，； (2)3 【分析】本题考查根的判别式，以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）把代入一元二次方程中，求出的值，再根据根与系数关系，求出另外一个根即可； （2）根据方程有两个相等的实数根，，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴； ∴ 设方程的另一个根为， ∴， ∴； 即：方程的另一个根为； （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴m的值为3． 地 城 考点12 根与系数的关系 38．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 39．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 40．（24-25九年级上·福建三明·期中）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，即可求解． 【详解】解：根据题意设一元二次方程为：， ∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是6和1； ∴，即， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是． ∴， 原来的方程是， 故答案为： 41．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 【答案】(1)且； (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，且 ∴且； （2）由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 42．（23-24九年级上·北京东城·期中）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式； （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于1，即可得出关于的一元一次不等式，即可得出的取值范围． 【详解】（1）证明：在方程中， ， 方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 方程有一根小于1， ，解得：， 的取值范围为． 43．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于x的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)是否存在正数的值使等式成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在 【分析】本题主要考查根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意得到，进行计算即可； （2）根据根与系数的关系得到，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根、， ， 解得； （2）解：由题意可得：， ， ， 故， 即， 解得（均舍去） 故不存在． 地 城 考点13 判别式、根与系数的关系与三角形、四边形问题 44．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式和等腰三角形的性质． （1）根据判别式即可解答； （2）根据根与系数的关系得，，接着利用得到，进行求解即可； （3）分类讨论：若时，把代入方程，解得，，当时，由根与系数的关系，解得，根据三角形三边的关系，舍去；当时，，解得，则三角形周长为；若，则，方程化为，解得，根据三角形三边的关系，舍去． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； （2）解：，， ，即， ，即， 解得，， 而， 的值为6； （3）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得，解得，， 当时，，解得，而，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， 所以， 方程化为， 解得，则，故舍去， 这个三角形的周长为17． 45．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理： （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 46．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先由的长为2求出，进而可知原方程为，根据根与系数的关系求出、的和，即可求出平行四边形的周长. 【详解】（1）证明：∵， ∴无论m取何值方程总有两个实数根； （2）解：∵、的长是关于x的方程的两个实数根，的长为2， ∴， 解得：， 即， ∴、的和， ∵平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长． 地 城 考点14 新定义问题 47．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 【答案】(1)该方程不是邻近根方程，见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，新定义运算，解二元一次方程组，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，熟练掌握“邻近根方程”定义． （1）根据“邻近根方程”的定义进行判断即可； （2）设该方程的两个根分别为，，且，根据根与系数的关系和“邻近根方程”的定义得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：， ， 该方程不是邻近根方程； （2）解：设该方程的两个根分别为，，且， 该方程是邻近根方程， ， ， ， 解得， ， 的值为2． 48．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 地 城 考点15 配方法的应用与材料阅读题 49．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）先阅读下列例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ，． 的最小值是1． (1)求代数式的最大值； (2)某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？ 【答案】(1)33 (2)商场每天最多盈利4900元 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握配方法得到抛物线的最值是解题的关键． （1）利用配方法得到二次三项式的最值即可； （2）先根据利润单利润销售量列函数关系式，然后配方找最值即可解题． 【详解】（1）解：， 即代数式的最大值为33； （2）解：设降低x元时，盈利w最大， 由题意得： 故商场每天最多盈利4900元． 50．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 【答案】（1）2，（2）；（3） 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，解题的关键是掌握完全平方公式的应用． （1）利用非负数的性质确定代数式的最值； （2）利用完全平方公式变形，最后确定最值； （3）变形等式，利用非负数的性质，求出、的值，再利用三角形的三边关系确定边长的取值范围． 【详解】解：（1）∵代数式 ∴代数式的最小值是，这时相应的的值是； （2） ∵ ∴， ∴代数式有最小值； （3）∵a，，是的三边长，满足， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 51．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、完全平方公式的应用、代数式的最值等知识点，灵活运用完全平方公式是解本题的关键． （1）直接利用完全平方公式和材料求解即可； （2）先作差，再利用完全平方公式和材料求解即可； （3）根据题意表示出，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为，即A的最小值为． （2）解：，理由如下： ∵， ∵， ∴， ∴ （3）解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为4．即：当t的值为2时，的面积最大，最大值为． 52．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． (1)【类比探究】 代数式的最小值是 ； (2)【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； (3)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)； (2)见解析； (3)当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及配方法的应用，利用配方法找出代数式的最值是解题的关键． （1）利用配方法将原式变为，结合，可得出，进而求解； （2）利用配方法将变为，结合，可得出，进而求解； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则，，利用矩形的面积公式，可找出关于的函数关系式，即可解决最值问题． 【详解】（1）， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为． 故答案为：； （2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为， 又∵， ∴无论x取何实数，二次根式都有意义； （3）设，矩形养殖场的总面积为，则CF＝，， 根据题意得： ， ， ∵， ∴， ∴当时，的最大值为． 答：当为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03一元二次方程（15大高频考点） 15大高频考点概览 考点01 一元二次方程的定义 考点02根据一元二次方程的定义求参数的值 考点03一元二次方程的根 考点04一元二次方程的根的近似值 考点05直接开平方法 考点06配方法 考点07公式法 考点08因式分解法 考点09用适当方法解一元二次方程 考点10根据判别式判定根的情况考点 11由根的情况求参数的范围 考点12根与系数的关系 考点13判别式、根与系数的关系与三角形、四边形问题 考点14新定义问题 考点15配方法的应用与材料阅读题 地 城 考点01 一元二次方程的定义 1．（23-24九年级上·青海西宁·期中）下列为一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽安庆·期中）若关于x的一元二次方程的常数项为2，则m的值等于（   ） A．3 B．2 C．2或3 D．5 3．（24-25九年级上·福建漳州·期中）一元二次方程化为一般形式是： ． 地 城 考点02 根据一元二次方程的定义求参数的值 4．（23-24九年级上·广东揭阳·期中）要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A． B． C． D．a取任意实数 5．（24-25九年级上·四川巴中·期中）若是关于x的一元二次方程，则a可以为 ． 6．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则 ． 地 城 考点03 一元二次方程的根 7．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）若是方程的一个根，则的值是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）若一元二次方程的一个根为，则的值为 （    ） A． B． C． D．2 9．（25-26九年级上·广东广州·期中）若a是方程的解，则式子的值为 ． 地 城 考点04 一元二次方程的根的近似值 10．（24-25九年级上·山西运城·期中）已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 地 城 考点05 直接开平方法 12．（24-25九年级上·福建·期中）方程有解的条件是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）已知方程，则 ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是 ． 地 城 考点06 配方法 15．（24-25九年级上·北京海淀·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）已知方程可以配方成的形式，那么可以配方成 ． 17．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知直角三角形的两条直角边的长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边的长等于 ． 地 城 考点07 公式法 18．（24-25九年级上·云南曲靖·期中）用公式法解方程时，二次项系数、一次项系数和常数项的值依次是（   ） A．0，， B．1，， C．1，3， D．1，， 19．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（   ） A． B． C． D．或 20．（24-25九年级上·四川·期中）一元二次方程有实数根，其根为 （用a，b，c表示） 地 城 考点08 因式分解法 21．（24-25九年级上·广东江门·期中）方程的解是（   ） A．， B．， C． D． 22．（22-23九年级上·江苏·期中）已知三角形的两边长分别是4和 7，第三边长是方程的根，则第三边的边长是 ． 23．（21-22九年级上·四川泸州·期中）解方程： 地 城 考点09 用适当方法解一元二次方程 24．（25-26九年级上·全国·期中）用适当方法解下列方程∶ (1)． (2)． (3)． (4)． 25．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）解下列方程： (1)； (2)． 26．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）用适当的方法解方程： (1)； (2)． 27．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）解方程： (1)（用配方法）； (2)（用公式法）； (3)； (4) ． 地 城 考点10 根据判别式判定根的情况 28．（24-25九年级上·重庆合川·期中）对于一元二次方程的根的情况，描述准确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法判定根的情况 29．（24-25九年级上·四川资阳·期中）关于x的一元二次方程的实数根情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 30．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）若直线不经过第二象限，则关于的方程的实数根的个数为 ． 31．（22-23九年级上·全国·期中）已知k为实数，关于x的方程为． (1)判断方程有无实数根． (2)当方程的根和k都是有理数时，请直接写出其中k的两个值和相应方程的根． 32．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知关于的方程 (1)求证：不论取什么实数值，这个方程总有实数根； (2)当为何整数时，关于的方程有两个整数根？ 地 城 考点11 由根的情况求参数的范围 33．（24-25九年级上·吉林·期中）若关于x的一元二次方程：没有实数根，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．（24-25九年级上·广东江门·期中）一元二次方程有两个相等的实数根，则等于（   ） A．1 B． C．3 D． 35．（24-25九年级上·北京海淀·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 36．（24-25九年级上·北京·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论k为何值，该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根是负数，求k的取值范围． 37．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知：关于的方程． (1)若方程有一根为2，求的值及方程的另一个根； (2)若方程有两个相等的实数根，求的值． 地 城 考点12 根与系数的关系 38．（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 39．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·福建三明·期中）小影与小冬一起写作业，在解一道二次项系数为1的一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．原来的方程是 ． 41．（24-25九年级上·四川资阳·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． (1)求m的取值范围； (2)当时，求m的值． 42．（23-24九年级上·北京东城·期中）关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． 43．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期中）已知关于x的方程有两个实数根、． (1)求的取值范围； (2)是否存在正数的值使等式成立，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 地 城 考点13 判别式、根与系数的关系与三角形、四边形问题 44．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）综合与探究 已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，求m的值； (3)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 45．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 46．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）已知：平行四边形的两边、的长是关于x的方程的两个实数根， (1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根． (2)若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 地 城 考点14 新定义问题 47．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否为“邻近根方程”并说明理由； (2)若关于的方程（是常数）是“邻近根方程”，求的值． 48．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 地 城 考点15 配方法的应用与材料阅读题 49．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）先阅读下列例题，再按要求解答问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ，． 的最小值是1． (1)求代数式的最大值； (2)某商场将进价为2000元的某品牌电视机以2500元售出，平均每天能售出8台．为了促销，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出2台．试问商场每天最多盈利多少元？ 50．（24-25九年级上·宁夏中卫·期中）阅读理解并解答： 【方法呈现】 （1）配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用． 例如：， ∵ ． 则这个代数式的最小值为_______，这时相应的x的值是________． 【尝试应用】 （2）求代数式的最小或最大值． 【拓展提高】 （3）已知a、b、c是的三边长，满足，求c的取值范围． 51．（24-25九年级上·广东梅州·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】已知代数式，求A的最小值； (2)【类比应用】比较代数式与的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】如图，中，，，，点，分别是线段和上的动点，点从A点出发以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为，则当的值为多少时，的面积最大，最大值为多少？ 52．（24-25九年级上·福建漳州·期中）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵，∴， ∴当时，的最小值是． (1)【类比探究】 代数式的最小值是 ； (2)【灵活运用】 试说明：无论取何实数，二次根式都有意义； (3)【拓展应用】 如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为：的矩形，栅栏的总长度为．当为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $