2025－2026学年人教版数学九年级上册阶段性检测模拟试卷（一元二次方程、二次函数）

( 注意事项 1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号 填写清楚，并认真在规定位置贴好条形码。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0 . 5毫米及以上黑色字迹的签字笔书写， 要求字体工整，笔迹清楚。 3.严格按照题号在相应的答题区内作答 ， 超出答题区域书写的答案无效； 4.保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损。 ) ( 一、选择题 （每小 题 3分，共36分） ) ( 二、填空题 （每小题 3 分，共12分） ) ( 13. 、 14、 15、 16、 ) ( 三、解答题 （满分72分） ) ( 1 7 ．（ 8 分） ) ( 2025年九年级上册阶段性检测模拟试卷 九 年级 数学答题卡 ) 18 ．（ 10分） 学校： 姓名： 班级： 学号： 19 ．（ 10分） 20．（ 10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 九年级数学答题卡 第 1 页 共 2 页 23．（ 12 分） ( 21 ．（ 10 分） （1） x 1 ＝ 　 　 ， x 2 ＝ 　 　 ；（2） 　 　 ； （3） 　 　 ；（4） 　 　 ；（5） 　 　 ． 22 ．（ 12 分） ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 九年级数学答题卡 第 2 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025年九年级上册阶段性检测模拟试卷 九年级数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D D D B A C B B C B D 13.﹣1 14.﹣6 15.22 16.m≤﹣1 17.解： 参考答案第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （1）x2﹣4x+1＝0， x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝3， （x﹣2）2＝3，x﹣2＝±， 所以x1＝2，x2＝2；……4分 （2）2x2﹣3x+1＝0， （2x﹣1）（x﹣1）＝0， 2x﹣1＝0或x﹣1＝0， 所以x1，x2＝1．…………8分 18.（1）解：∵方程：x2+kx﹣（k+3）＝0的一个根为2， ∴4+2k﹣k﹣3＝0，∴k＝﹣1；……………………………5分 （2）证明：∵Δ＝k2+4（k+3）＝k2+4k+12＝（k+2）2+8， ∵（k+2）2≥0，∴Δ＞0，∴该方程总有两个不相等的实数根．………………10分 19.解：（1）∵y＝﹣x2+4x+6＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+6＝﹣（x﹣2）2+10， ∴当x＝2时，y有最大值，最大值为10；………………3分 （2）∵当x＜2时，y随x的增大而增大， ∴由﹣2≤x≤1知，当x＝﹣2时，y取得最小值，最小值y＝﹣4﹣8+6＝﹣6， 当x＝1时，y取得最大值，最大值y＝﹣1+4+6＝9；………………7分 （3）∵当x＞2时，y随x的增大而减小， ∴在x≥4范围内，当x＝4时，函数取得最大值，最大值y＝﹣16+16+6＝6，无最小值．………10分 20.解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 依题意得：10（1+x）2＝12.1，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．………………5分 （2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件），∵0.6×20＝12（万件），12＜13.31， ∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设需要增加y名快递投递员，依题意得：0.6（20+y）≥13.31，解得：y， 又∵y为正整数，∴y的最小值为3． 答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员．……………10分 21. 解：（1）﹣x2﹣2x+3＝0，（﹣x+1）（x+3）＝0， ∴x1＝1，x2＝﹣3，故答案为：﹣3，1；……………2分 （2）∵﹣x2﹣2x+3＝0的根为﹣3，1， ∴y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于点（﹣3，0），（1，0）， 由图象可得，y＞0时，x的取值范围为﹣3＜x＜1， 故答案为：﹣3＜x＜1；……………4分 （3）∵﹣x2﹣2x+3＝t有实数根， ∴方程﹣x2﹣2x+3﹣t＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×（3﹣t）≥0， 即：t≤4；故答案为：t≤4；……………6分 （4）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴x＝﹣1时，y的最大值为4， 把x＝3代入得，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣12，把x＝﹣3代入得，y＝﹣（x+1）2+4＝0， ∴当﹣3＜x＜3时，﹣12＜y≤4，故答案为：﹣12＜y≤4；……………8分 （5）﹣x2﹣2x+3＞n，∴x2+2x+n﹣3＜0， 令y＝x2+2x+n﹣3，∴不等式﹣x2﹣2x+3＞n无解，即x2+2x+n﹣3＜0无解， ∴问题转化为函数y＝x2+2x+n﹣3图象在x轴上或x轴上方时，求x的取值范围， ∴Δ＝22﹣4×（n﹣3）≤0，∴Δ＝4﹣4n+12≤0， ∴Δ＝﹣4n≤﹣16，解得：n≥4，故答案为：n≥4．……………10分 22.解：（1）①平面直角坐标系中，如图2即为所求．………2分 ②篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是3.8；理由如下： 设y与x满足的函数解析式为y＝m（x﹣3）2+3.8， 把点（0，2）代入，得2＝m（0﹣3）2+3.8．解得m＝﹣0.2． 故y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.2（x﹣3）2+3.8， 故答案为：3.8；……………6分 ③小宇这次投篮练习成功；理由如下： 当y＝3时，﹣0.2（x﹣3）2+3.8＝3．解得x1＝5，x2＝1． 故小宇距篮筐中心的水平距离为5m时，篮球的运行轨迹经过篮筐中心，即这一次投篮练习是成功的；……………10分 （2）把点（0，2）代入y＝a（x﹣3）2+4.25，得2＝a（0﹣3）2+4.25． 解得a＝﹣0.25．此时y与x满足的函数解析式为y＝﹣0.25（x﹣3）2+4.25． 当y＝3时，﹣0.25（x﹣3）2+4.25＝3．解得，（不合题意，舍去）． 由，可知要使投篮成功，小宇距篮筐中心的水平距离d＞5m， 故答案为：＞．……………12分 23．解：（1）∵B（4，m）在直线y＝x+2上， ∴m＝4+2＝6，∴B（4，6）， ∵A（，）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx+6上， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣8x+6．……………3分 （2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6）， ∴PC＝（n+2）﹣（2n2﹣8n+6）， ＝﹣2n2+9n﹣4，＝﹣2（n）2， ∵PC＞0，∴当n时，线段PC最大且为．……………7分 （3）∵△PAC为直角三角形， i）若点P为直角顶点，则∠APC＝90°． 由题意易知，PC∥y轴，∠APC＝45°，因此这种情形不存在；……………8分 ii）若点A为直角顶点，则∠PAC＝90°． 如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON，AN． 过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形， ∴MN＝AN，∴OM＝ON+MN3， ∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y＝kx+b，则：，解得， ∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y＝2x2﹣8x+6 ② 联立①②式，解得：x＝3或x（与点A重合，舍去） ∴C（3，0），即点C、M点重合．当x＝3时，y＝x+2＝5，∴P1（3，5）；……………10分 iii）若点C为直角顶点，则∠ACP＝90°． ∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． 如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x＝2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）． 当x时，y＝x+2．∴P2（，）． ∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上， ∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．………………12分 $ 2025年九年级上册阶段性检测模拟试卷 数 学 试 卷 考试范围：一元二次方程、二次函数 　　　 全卷共三大题，共4页，23题，全卷满分120分，考试用时120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 本考卷分试题卷和答题卡两部分.请将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效.考试 结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2. 选择题每小题选出答案后，考生用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑. 3. 非选择题，考生用直径0.5毫米黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答. 1、 选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上． 1．下列式子是关于x的一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．y＝2x2+3x﹣4 C．x（x﹣3）＝x2+1 D．x2﹣2x+1＝0 2．关于x的方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣3 B．k≥﹣3 C．k≥﹣3且k≠0 D．k≥﹣3且k≠1 3．将二次函数y＝x2﹣2x+3的图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度得到的抛物线相应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x+1）2+5 4．商场将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时每天能卖出30件．经调查发现，每降价1元，每天可多卖出5件，若降价x元，每天将盈利1120元，则可列方程为（　　） A．（80﹣x）（30+x）＝1120 B．（80﹣x）（30+5x）＝1120 C．（80﹣50﹣x）（30+x）＝1120 D．（80﹣50﹣x）（30+5x）＝1120 5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35＝0的根，则该三角形的周长为（　　） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 6．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺三项冠军，羽毛球在空中的运动路线可以看作是一条抛物线（如图），羽毛球行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（　　） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 7．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣2024＝0，将它转化为（x+a）2＝b的形式，则ab的值为（　　） A．﹣2024 B．2024 C．﹣1 D．1 8．一次函数y＝mx﹣n的图象如图所示，则二次函数y＝m（x﹣n）2的图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 10．如图，在平面直角坐标系中，小明从离地面高度为1.5m的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为y＝a（x﹣1）2+2，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．则弹力球第二次落地点C距第一次抛出点的水平距离OC是（　　） A．4.75m B．4.5m C．5m D．5.5m 11．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论： ①abc＜0；②（a+c）2＜b2； ③a+b＜m（am+b），其中m≠1； ④4a+2b+c＞0． 其中正确结论的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 12．已知二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1（a＜b），且x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣1＝0的两个根，则实数a，b，x1，x2的大小关系为（　　） A．a＜x1＜b＜x2 B．a＜x1＜x2＜b C．x1＜a＜x2＜b D．x1＜a＜b＜x2 2、 填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．请将答案填入答题卡相应的位置上． 13．已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 14．设x1，x2是关于x的方程x2+4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝　 　 ． 15．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为y（x﹣5）2+6，则CD的长为 　 　 m． 16．点A（m，y1），B（m+4，y2），C（1，y3）在二次函数y＝ax2﹣2ax+4的图象上，且y1≤y2≤y3，则m的取值范围是　 　. 三、解答题：本大题共7小题，满分共72分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑． 17．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+1＝0； （2）2x2﹣3x+1＝0． 18．（10分）已知关于x的方程：x2+kx﹣（k+3）＝0． （1）若该方程有一个根是2，求k的值； （2）证明：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19．（10分）已知二次函数y＝ - x2+4x+6． （1）当x为何值时，y有最值？是多少？ （2）当 - 2≤x≤1时，求函数的最值． （3）当x≥4时．求函数的最值． 20．（10分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 21．（10分）如图为二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程﹣x2﹣2x+3＝0的解为x1＝　 　 ，x2＝　 　 ； （2）当y＞0时，直接写出x的取值范围为　 　 ； （3）方程﹣x2﹣2x+3＝t有实数根，t的取值范围是　 　 ； （4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围是　 　 ； （5）若不等式﹣x2﹣2x+3＞n无解，则n的取值范围是　 　 ． 22．（12分）【综合与实践】 【问题情况】2024年10月12日，2024﹣2025赛季CBA“战火重燃”，辽宁队以123比112战胜了浙江队取得了揭幕战的胜利，小浩看了这场比赛，对投篮产生了兴趣．通过查询资料，他发现投篮时篮球以一定速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分（如图1）． 【收集数据】建立平面直角坐标系，篮球从出手到进入篮筐的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与它和投篮者的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．已知篮筐中心距离地面的竖直高度是3m，小浩记录了学校篮球队队员小宇两次定点投篮训练的数据． （1）第一次训练时，小宇投出的篮球的水平距离与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离x/m 0 1 2 3 4 … 竖直高度y/m 2.0 3.0 3.6 3.8 3.6 … 【建立模型】 ①在图2的平面直角坐标系中，描出以上表中各组数据为坐标的点，并用平滑的曲线连接这些点． ②结合表中数据或所画图缘，直接写出篮球运行的最高点距离地面的竖直高度是 　 　 m，并求y与x满足的函数解析式． ③已知此次定点投篮训练小宇距篮筐中心的水平距离为5m，则小宇这次投篮练习是否成功？请说明理由．【拓展应用】 （2） 第二次定点投篮训练时，小宇出手时篮球的竖直高度与第一次训练相同，此时投出的篮球的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝a（x﹣3）2+4.25．若投篮成功，求此时小宇距篮筐中心的水平 距离d 　 　 5m．（填“＞”“＜”或“＝”） 23．（12分）如图，直线y＝x+2与抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 九年级数学试卷 第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $