精品解析：广东省珠海市第九中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

九年级入学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 3. 将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 方程的两根为、，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 6. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（　　） A. 2 B. 2或10 C. 4 D. 4或10 8. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 2 B. 10 C. 8 D. 6 9. 对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上． 11. 一元二次方程的一般形式是____________． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 13. 如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第______步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 14. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程______． 15. 若a，b是关于x的方程的两个实数根，则_________． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 18. 乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影票． 19. 据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． （1）求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； （2）某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 20. 定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ① ② ③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 21. 已知一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 22. 如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米宽的门，墙的最大可用长度为米，如果羊圈的总面积为平方米，求边的长． 23. 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级入学练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个进项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，含有一个未知数； 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 无实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据根的判别式，代入数据计算可得答案． 【详解】解：一元二次方程， ，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 将方程化成（m、n为常数）的形式，则m、n的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的方程利用配方法即可求出，本题考查解一元二次方程，配方法的应用，解题的关键是会用配方法解方程． 【详解】 故选：A． 4. 方程的两根为、，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．根据根与系数的关系直接求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为、， ∴，， 故选：A． 5. 若关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，根据一元二次方程根的情况，可得，解出的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得，解得， ， 的值可以为， 故选：A． 6. 某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，列出方程为， 故选A． 7. 已知等腰的底边长为5，其余两边长恰好是关于的方程的两个根，则的值是（　　） A. 2 B. 2或10 C. 4 D. 4或10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，以及三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的判别式，求得，再将的分别代入一元二次方程求出腰长，结合三角形的三边关系，即可确定m的值． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等， ∴方程有两个相等的实根， ，，， ， 解得：， ∴， 解得：， ，满足三角形的三边关系， 即m的值是2， 故选：A． 8. 《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（ ）尺． A. 2 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键． 利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可． 【详解】解：设竿长为尺，则门宽为尺，门高尺，门对角线是尺，根据勾股定理可得： ， 整理得：， 解得（舍去）或． 则门高：． 故选：C． 9. 对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A. ①②③④ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 10. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程； ②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程； ③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断． 【详解】解：①解方程 ， ∴或， 解得，，，得，， 方程不是倍根方程； 故①不正确； ②∵，则：， ，， ， 因此是倍根方程， 故②正确； ③若是倍根方程，， 因此或， 当时，， 当时，， ， 故③正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）请把答案直接填写在横线上． 11. 一元二次方程的一般形式是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握（其中a、b、c是常数，）是一元二次方程的一般形式是解题的关键，把原方程变形为一元二次方程的一般形式即可，． 【详解】解： ∴， ∴， 即一元二次方程的一般形式是， 故答案为： 12. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可求得代数式的值． 将代入到中求得的值，然后求代数式的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， ， ． 故答案为1. 13. 如图，图中展示了某位同学解方程的步骤，他是在第______步开始出错．（填序号） 解方程： 解：…① …② …③ 【答案】② 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解即可得出答案． 【详解】解：， ，， 故答案为：②． 14. 一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息条，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意可得一个人发送信息条，则人发送信息条，即可求解. 【详解】解：∵每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息， ∴一个人发送信息条， 则人发送信息条， ∴ 故答案为：. 15. 若a，b是关于x的方程的两个实数根，则_________． 【答案】2024 【解析】 【分析】根据根与系数关系定理，方程根的定义解答即可． 本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：∵ a，b是关于x的方程的两个实数根， ∴ ， ，， ∴ ， 故答案为：2024． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴． 【小问2详解】 解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 17. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的一个根为1，求的值及方程的另一个根； （2）求证：不论为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】（1），另一个根为2 （2）证明：，，， ， 不论为何值时，方程总有两个实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查方程根的定义、解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键． （1）把代入方程可求得的值，再解方程可求得另一根； （2）由方程根的情况可得到关于的不等式，即可证明． 【小问1详解】 解：把代入方程可得， 解得， 当时，原方程为， 解得， 即方程的另一根为2； 【小问2详解】 略 18. 乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入） 影片《万里归途》的部分统计数据 发布日期 10月8日 10月11日 10月12日 发布次数 第1次 第2次 第3次 票房 10亿元 12.1亿元 （1）平均每次累计票房增长的百分率是多少？ （2）在（1）的条件下，若票价每张40元，求从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出多少张电影票． 【答案】（1） （2）2500000张 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决本题的关键． （1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房第1次累计票房（平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用数量总价单价，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设平均每次累计票房增长的百分率是x， 依题意得，， 即， 可得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：平均每次累计票房增长的百分率是； 【小问2详解】 解： （张）， 答：从第1次发布数据后到第2次发布数据时，共卖出2500000张电影票． 19. 据调查，2021年“五一”南浔古镇累计接待游客为36万人次，但2023年“五一”假期，南浔古镇火出圈了，假期接待游客突破81万人次，位列江南六大古镇之首． （1）求2021年“五一”到2023年“五一”假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率； （2）某商店购进一批纪念品进行销售，已知每件纪念品的成本是30元．如果销售单价定为每件40元，那么日销售量将达到100件．据市场调查，销售单价每提高1元，日销售量将减少2件． ①若销售单价定为每件45元，求每天的销售利润； ②要使每天销售这种纪念品盈利1600元，同时又要让利给顾客，那么该纪念品的售价单价应定为每件多少元？ 【答案】（1）假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； （2）①元，②每件元 【解析】 【分析】（1）设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，根据2023年“五一”假期，假期接待游客突破81万人次，再建立方程求解即可； （2）①由每件利润乘以销售量可得利润；②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件，由题意得，，计算求解，然后判断即可． 【小问1详解】 解：设假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为，则 ， ∴， 解得：，（舍去）， ∴假期南浔古镇累计接待游客的年平均增长率为； 【小问2详解】 ①当销售单价定为每件45元，每天的销售利润为； （元）， ②设该纪念品的售价单价应定为每件元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， ∵，要让利给顾客， ∴该纪念品的售价单价应定为每件50元． 20. 定义：若，是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差方程”． （1）下列方程是“差方程”的是______；（填序号） ① ② ③； （2）若方程是“差方程”，求的值． 【答案】（1）② （2）或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； 【小问2详解】 解：方程因式分解得， 解得：，. ∵方程为“差方程”， ∴， 解得：或. 21. 已知一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系等知识点， （1）根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，由于，则，可先计算出解得，然后计算出，最后得到m的值； 熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【小问1详解】 根据题意， 解得； 【小问2详解】 根据题意得为，， ， ，解得， ， ． 22. 如图，用一段米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个米宽的门，墙的最大可用长度为米，如果羊圈的总面积为平方米，求边的长． 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设的长为米，则的长为米，根据题意列出方程即可求解，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为米，则的长为米， 由题意得，， 整理得，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ， 答：边的长为米． 23. 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36；120； （2）不能 （3）一共能摆放20排． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； 【小问2详解】 解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； 【小问3详解】 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $