精品解析：浙江省宁波市钟公庙初级中学、雅戈尔中学等四校2022-2023学年八年级下学期7月联考数学竞赛试卷

初二数学思维拓展卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、填空题（每小题6分，共120分） 1. 用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设______． 【答案】两条边所对的角相等 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤，直接得出即可． 【详解】解：用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设两条边所对的角相等． 故答案为：两条边所对的角相等． 2. 已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查方差，中位数,标准差．由方差的计算公式得出这组数据为0，2，2，4，据此可得中位数．再求出平均数，求出方差，最后求出标准差即可． 【详解】解：由方差的计算公式知，这组数据为0，2，2，4， 所以中位数为．平均数． ∴， ∴标准差是， 故答案为：2，． 3. 设是方程的两个实数根，则_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系：先把代入整理得出，结合，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， 则 ∴ 故答案为：4 4. 化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，将原式平方后再开方即可得到答案． 【详解】解： ， 因为， 所以，， 故答案为：． 5. 计算：______． 【答案】4555 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简与运算，设，则，由此得，然后再将，代入代数式中进行计算即可得出答案． 【详解】解：设，则，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4555． 6. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 7. 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正n多边形的内角公式求解即可． 【详解】解：根据题意，这三种边长相等的正多边形的内角和为， 则， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的内角问题，理解题意，得到这三种边长相等的正多边形的内角和为是解答的关键． 8. 如图，P是正方形内一点，，，则的 值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作AP的垂线交AP延长线于点E，构造直角三角形ADE，直角三角形PDE．通过角的关系和勾股定理，可求出，再通过证明△APB≌△DEA得AP=DE，即可求的值． 【详解】如图，过点D作AP的垂线交AP延长线于点E， ∵四边形ABCD是正方形，CP=CD， ∴BC=CP=CD， ∴∠PBC=∠BPC，∠DPC=∠PDC． 设∠PCD=x，则 ，． ∴∠BPD=45°+90°=135°． ∵AP⊥BP， ∴∠APD=360°-135°-90°=135°． ∴∠DPE=45°． 设DE=PE=y，则． ∵∠DAE+∠BAP=∠BAP+∠ABP=90°， ∴∠DAE=∠ABP， 在△DAE与△ABP中，， ∴△APB≌△DEA（AAS）． ∴AP=DE=y， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质．解答本题的关键是正确作辅助线，构造直角三角形． 9. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是_____． 【答案】2≤k≤ 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可． 【详解】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A． ∵过点A（1，2）的反比例函数解析式为y=， ∴k≥2． 随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意， 经过B（2，5），C（6，1）的直线解析式为y=﹣x+7， 由，得：x2﹣7x+k=0． 根据△≥0，得：k≤． 综上可知：2≤k≤． 故答案为2≤k≤． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围． 10. 如图，点是平行四边形内一点，的面积为5，的面积为3，则的面积为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，根据平行四边形的性质得出，，根据，即可求解． 【详解】解：过点作于点，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，，， ， 即． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 11. 如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且，则k值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点、向轴作垂线交于点、，通过勾股定理可用点、的横坐标表示、，结合，得到两交点横坐标的乘积；再通过直线与双曲线在第一象限交于两点，列方程可得两交点横坐标的乘积与的等量关系，代入即可． 【详解】解：直线与轴交于点，则点， 设点，， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 在中，， 同理，， 又， ， 点和点是直线与双曲线的交点， ， 整理得，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点性质、一元二次函数根与系数的关系和勾股定理等；设交点坐标，利用勾股定理表示出斜边，再通过交点满足两个函数建立方程得到交点坐标与的等量关系是解题的关键． 12. 如图，在四边形中，已知，E、F分别是、的中点，，阴影部分分别是以为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，取的中点M，连接交于N，根据三角形的中位线定理推出，推出，，求出，根据勾股定理求出，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：连接，取的中点M，连接延长交于N， ∵， ∴， ∵E、F、M分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴阴影部分的面积． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出的值是解此题的关键． 13. 如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 【答案】27 【解析】 【分析】过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接，证得四边形为正方形，证明，得到，从而证明，则有，由勾股定理可求得，即可求得直角梯形的面积． 【详解】解：过C作，交延长线于G，延长至F，使，连接． 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形为正方形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：27． 【点睛】此题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握直角梯形的性质，正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握辅助线的作法，是解此题的关键． 14. 若两个整数x、y满足方程，就称数组为方程的一组整数解，则方程的整数解的组数为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了整数的奇偶性，二元一次方程的解，解题的关键是判断和的奇偶性以及的奇偶性，再分析的奇偶性，通过比较得出方程无解． 【详解】解：都是整数， 和同为奇数或者同为偶数， 和同为奇数或者同为偶数， 为偶数， 为奇数， 方程无解， 故答案为：0． 15. 已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于_______． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，先把原式化简，得，，再次化简得，，由正整数，得，，再按题意计算即可． 【详解】解： ∵的值大于，小于， ∴，， ∴，， ∴, , ∴，， ∴，， ∴，， ∵正整数， ∴，， ∴， ∴正整数n最大为574，正整数最小为529， ∴正整数n的最大值与最小值的差等于， 故答案为：45． 16. 已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，一元二次方程根与系数的关系，先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，从而把用， 表示出来，最后利用不等式的基本性质求出答案即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两根为， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 17. 如果方程只有一个实数解，则p的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是将所给方程的左边化为乘积的形式．将所给方程化为，则或，要使方程有且仅有一个实数满足，则方程有两个相等的实数根，且方程无实数根或方程无实数根，且方程有两个相等的实数根，根据根的判别式列出不等式组即可求解． 【详解】解： 或， 方程有且仅有一个实数解， 方程有两个相等的实数根，且方程无实数根或方程无实数根，且方程有两个相等的实数根， ，解得：， 或，无解， 综上，． 故答案为： 18. 如图，四边形为矩形，点A在第三象限，点A关于的对称点为D，点B，D都在函数上，轴于点E．若的延长线交y轴于点F，当矩形的面积为6时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义等知识，如图，连接，．首先证明，推出，推出． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形是矩形 ∴， ∵点A关于的对称点为D， ∴, ∴， 又， ∴， ∴，， ∵点A在第三象限，且， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∴， ∵点B在函数上，轴, ∴, ∴． 故答案为：． 19. 如图，四边形为矩形，连接，将矩形绕点B旋转至矩形使得边经过中点，并交于点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，，，先证和全等，得出，再证和全等，得出，进而证四边形为平行四边形，得出，设，，则，，，，，，根据得，由此得，进而得，，然后在中利用勾股定理求出，代入计算的值即可． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵四边形为矩形，点是对角线的中点， ∴经过点，，， ，， 由旋转的性质可知：，， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵为平行四边形的对角线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转及其性质，平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形． 20. 已知32个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查规律型-数字变化，设，可得 ，由，可得，分析的特点，可得时，t取得最小值，将其代入变形可得答案． 【详解】解：根据题意，设， ∴， 又由每个都只能取或两个值之一， ∴， ∴， 要使t取最小正值，的值需大于32， 而是32个奇数、1的和，其结果必为偶数， ∴要使所求值取最小正值，须使 ，因此t的最小值为； 故答案为：2． 二、解答题（共30分） 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，将等式两边平方，可得，再通过移项后，再进行两边平方，可得，令，即可得到的值，再解分式方程，即可解答，熟练地进行平方，对方程进行化简是解题的关键． 【详解】解：， 两边平方得， 整理可得， 两边平方得， 整理得， 令， 可得， 解得， ， 整理得 解得， 根据二次根式有意义的条件可得， ． 22. 已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）．的三边a，b，c满足：． （1）求m的值． （2）求的面积（结果允许保留双重根号）， 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题解题的关键是分类对，的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状． （1）先求出方程的两个根， 然后根据这两个根都是正整数写出的可能的情况， 求出的值． （2）由（1）得出的的值， 然后代入将进行化简， 得出的值． 然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的的值， 用三角形的面积公式得出三角形的面积． 【小问1详解】 解：关于x的方程有两个正整数根， ． 解方程得：， 即． ， ， ． 【小问2详解】 解：将代入两等式，化简得：． 当时，． 当时，a，b是方程的两根，显然此方程． 由韦达定理得：， ． 下分三种情况： ①当时， ， 是直角三角形，且， ∴． ②当时， ， ∴不能构成三角形，不合题意，故舍去． ③当时， ， ∴能构成三角形，符合题意． 从而． 综上，的面积为1或． 23. 如图，在中，，，，E在边上运动（不与点A重合），，将沿折叠至，分别与，交于G，H两点． （1）求证：； （2）如图1，若，求的周长； （3）如图2，设与交于点M，在整个运动过程中，记与的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵， ∴， ， ∴． （2）或. （3）y的值是变化的，变化范围为 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论； （2）根据勾股定理与直角三角形的性质，求得，，在上截取，连接，过点N作于P，证明，得，再，设，由，，然后在中，由勾股定理，求得x值，由或，代入即可求的值，即可由的周长求解． （3）作的平分线交于N，证明，得，，，再证明，得，，证明，得，从而求得，所以y随着的增大而减小，最后根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在上截取，连接，过点N作于P，如图1， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 设，由，， 在中，由勾股定理，得 解得：， ∴， ∴， ∴当时， 的周长． 当时， 的周长． 综上，的周长为或. 【小问3详解】 解：作的平分线交于N，如图2， ∵平分 ∴， 由（1）知：， ∴ ∵，， ∴，， ∴ ∴，，， ∵将沿DE折叠至， ∴，，， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ， ∵，， ∴ ∴y随着的增大而减小， ∵E在AC边上运动（不与点A重合），， ∴点M在线段上， ∴，即， 此时， 当时，此时DM最小， ∵， ∴ ∴ ∴由勾股定理，得， ∴ 此时y取得最大值为，即， ∴． 故y的值是变化的，变化范围为． 【点睛】本题考查折叠的性质，三解形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短．熟练掌握全等的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学思维拓展卷 （满分150分 考试时间120分钟） 一、填空题（每小题6分，共120分） 1. 用反证法证明命题“在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等”时，应假设______． 2. 已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______． 3. 设是方程的两个实数根，则_______． 4. 化简：______． 5. 计算：______． 6. 如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，则 与 的面积之差为___． 7. 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其顶点在一起，刚好能完全铺满地面，已知正多边形的边数为x、y、z，则的值为________． 8. 如图，P是正方形内一点，，，则的 值为______． 9. 如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，5），C（6，1）．若函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是_____． 10. 如图，点是平行四边形内一点，的面积为5，的面积为3，则的面积为 _______． 11. 如图，直线与y轴交于点A，与双曲线在第一象限交于B、C两点，且，则k值为______． 12. 如图，在四边形中，已知，E、F分别是、的中点，，阴影部分分别是以为直径的半圆，则这两个半圆面积之和是______． 13. 如图，在直角梯形中，（），，E是上一点，且，则直角梯形的面积为_______． 14. 若两个整数x、y满足方程，就称数组为方程的一组整数解，则方程的整数解的组数为_______． 15. 已知的值大于，小于，则正整数n的最大值与最小值的差等于_______． 16. 已知关于x的方程的两根为，其中，，则的取值范围是_______． 17. 如果方程只有一个实数解，则p的值为_______． 18. 如图，四边形为矩形，点A在第三象限，点A关于的对称点为D，点B，D都在函数上，轴于点E．若的延长线交y轴于点F，当矩形的面积为6时，的值为_______． 19. 如图，四边形为矩形，连接，将矩形绕点B旋转至矩形使得边经过中点，并交于点，若，则的值为_____． 20. 已知32个数，每个数只能取或两个值之一，那么它们的两两之积的和的最小正值为______． 二、解答题（共30分） 21. 解方程：． 22. 已知关于x的方程有两个正整数根（m是整数）．的三边a，b，c满足：． （1）求m的值． （2）求的面积（结果允许保留双重根号）， 23. 如图，在中，，，，E在边上运动（不与点A重合），，将沿折叠至，分别与，交于G，H两点． （1）求证：； （2）如图1，若，求的周长； （3）如图2，设与交于点M，在整个运动过程中，记与的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y． 第1页/共1页 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